等差数列前n项和公式

1、复习回顾(1) 等差数列的通项公式等差数列的通项公式: 已知首项已知首项a1和公差和公差d,则有则有: an=a1+ (n-1) d 已知第已知第m项项am和公差和公差d,则有则有: an=am+ (n-m) d, d=（an-am）/（n-m） (2) 等差数列的性质等差数列的性质: 在等差数列在等差数列an中中,如果如果m+n=p+q (m,n,p,qN),那么那么: an+am=ap+aq问题问题1：1+2+3+100=？ 这个问题，德国著名数学家高斯（这个问题，德国著名数学家高斯（1777年年1855年）年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）岁时曾很快求出它的结果。（你

2、知道应如何算吗？） 这个问题，可看成是求等差数列这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前的前100项的和。项的和。假设1+2+3+ +100=x, (1)那么100+99+98+ +1=x. (2)由(1)+(2)得101+101+101+ +101=2x,100个101所以,1001012xx=5050.设等差数列设等差数列a1,a2,a3,它的前它的前n 项和是项和是 Sn=a1+a2+an-1+an (1)若把次序颠倒是若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1 (2) 由等差数列的性质由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由由(1)+(2) 得得

3、2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+. 即即 Sn=n(a1+an)/2 因为因为 an= a1+（n-1）d所以所以 Sn=na1+n (n-1)d/2下面将对等差数列的前下面将对等差数列的前n项和公式进行推导项和公式进行推导即前即前n项的和与首项末项及项数有关项的和与首项末项及项数有关若已知若已知a1，n，d，则如何表示，则如何表示Sn呢？呢？由此得到等差数列的由此得到等差数列的 an 前前n n项和的公式项和的公式2)(1nnaanS即：等差数列前即：等差数列前n项的和等于项的和等于首末项首末项的的和和与与项数项数乘乘积积的一半。的一半。上面的公式又可以写成上面的公式

4、又可以写成dnnnaSn2)1(1由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an = a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。个个可求另已知其中个量：公式共涉及到23.,51nnSanda知三求二例例1 如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的 V形形架的最下面一层放一支铅笔，往架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放最上面一层放120支。这个支。这个V形架形架上共放着多少支铅笔？上共放着多少支铅笔？解解：由题意可知，这个由题意可知，这个V形架上共放着形架上共放着120层铅层铅笔，且

5、自下而上各层的铅笔数成等差数列，记笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为为an,其中其中 a1=1 , a120=120.根据等差数列前根据等差数列前n项项和的公式，得和的公式，得260 72)1201 (120120S答：答：V形架上共放着形架上共放着 7 260支铅笔。支铅笔。例例2 等差数列等差数列 10， 6， 2，2，前多少项的和是前多少项的和是54？解解：设题中的等差数列为设题中的等差数列为an，前，前n项和是项和是 Sn， 则则a1= 10，d= 6 ( 10) 4,设设 Sn=54， 根据等差数列前根据等差数列前 n项和公式，得项和公式，得5442) 1(10nnn0276

6、2 nn n1 9，n23 (舍去舍去)等差数列等差数列-10，-6，-2，2，前前9项的和是项的和是54。已知等差数列已知等差数列a an n中中, ,已知已知a a6 6=20,=20,求求S S1111=?=?例例3 已知等差数列已知等差数列an中中a2+a5+a12+a15=36. 求前求前16项的和项的和?解解: 由等差数列的性质可得由等差数列的性质可得: a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2 ） 18=144 答答:前前16项的和为项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式项和公式例例4 已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310，前，前20项项的和是的和是1220，求，求Sn.220 1190203102451011dada6, 41da解： S10=310，S20=1 220nnnnnSn2362)1(41：在：在a，b之间插入之间插入10个数，使它们同这两个数成个数，使它们同这两个数成AP,求这求这10个数的和。个数的和。)(52)(10,2)(5)(2)(12)(1101101baxxSbaxxbabababaSSn：解法：解法巩固练习巩固练习并求这