2019年中考数学一轮复习：第四章图形的认识4.2三角形及其全等ppt课件

1、第四章 图形的认识4.2三角形及其全等中考数学中考数学 (江苏公用江苏公用)(2021江苏,22,10分)(1)发现如图1,点A为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b.填空:当点A位于时,线段AC的长获得最大值,且最大值为(用含a,b的式子表示).图1(2)运用点A为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1.如图2所示,分别以AB,AC为边,作等边三角形ABD和等五年中考A组 2021-2021年江苏中考题组五年中考边三角形ACE,衔接CD,BE.请找出图中与BE相等的线段,并阐明理由;直接写出线段BE长的最大值.图2(3)拓展如图3,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(

2、5,0),点P为线段AB外一动点,且PA=2,PM=PB,BPM=90.请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标.解析解析(1)CB延伸线上延伸线上;a+b.(2分分)(2)DC=BE.理由如下理由如下:ABD和和ACE为等边三角形为等边三角形,AD=AB,AC=AE,BAD=CAE=60.BAD+BAC=CAE+BAC,即即CAD=EAB.(5分分)CAD EAB.DC=BE.(6分分)BE长的最大值是长的最大值是4.(8分分)(3)AM的最大值为的最大值为3+2,点点P的坐标为的坐标为(2-,).(10分分)【提示】如图【提示】如图a,构造构造BNP MAP,那么那么NB=AM.由由(

3、1)知知,当点当点N在在BA的延伸线上时的延伸线上时,NB获得最获得最大值大值(如图如图b).易得易得AN=2,AM=NB=3+2.过点过点P作作PEx轴于轴于E,PE=AE=,P(2-,).22222222思绪分析思绪分析(1)当当AC为线段为线段AB与与BC的和时的和时,线段线段AC的长获得最大值的长获得最大值.(2)根据条件断定根据条件断定CAD EAB,得出得出DC=BE.当当CD的长度等于的长度等于BD+BC时时,线段线段BE获得最获得最大值大值.(3)类比第类比第(2)问的图形问的图形,构造出全等三角形构造出全等三角形,结合等腰直角三角形的有关性质求解结合等腰直角三角形的有关性质求

4、解.评析此题属类比探求题评析此题属类比探求题,主要调查三角形的全等主要调查三角形的全等,等边三角形的性质等边三角形的性质.考点一三角形的相关概念考点一三角形的相关概念B组 2021-2021年全国中考题组1.(2021河北河北,1,3分分)以下图形具有稳定性的是以下图形具有稳定性的是() 答案答案 A三角形具有稳定性三角形具有稳定性.应选应选A.2.(2021吉林吉林,5,2分分)如图如图,在在ABC中中,以点以点B为圆心为圆心,以以BA长为半径画弧交边长为半径画弧交边BC于点于点D,衔接衔接AD.假设假设B=40,C=36,那么那么DAC的度数是的度数是()A.70 B.44 C.34 D.

5、24答案答案 C由作图知由作图知BA=BD,BAD=BDA=70,BDA=C+DAC,DAC=BDA-C=34,应选应选C.3.(2021江苏南京江苏南京,4,2分分)以下长度的三条线段能组成钝角三角形的是以下长度的三条线段能组成钝角三角形的是()A.3,4,4 B.3,4,5C.3,4,6 D.3,4,7答案答案 C由三角形的三边关系知由三角形的三边关系知A,B,C能构成三角形能构成三角形,D不能构成三角形不能构成三角形.设一个三角形的三边长分别为设一个三角形的三边长分别为a,b,c,且且abc2,那么那么三角形为锐角三角形三角形为锐角三角形;假设假设a2+b2c2,那么三角形为钝角三角形那

6、么三角形为钝角三角形.32+4262,长为长为3,4,6的三条线段可组成钝角三角形的三条线段可组成钝角三角形,应选应选C.4.(2021四川绵阳四川绵阳,5,3分分)如图如图,在在ABC中中,B、C的平分线的平分线BE、CD相交于点相交于点F,ABC=42,A=60,那么那么BFC=()A.118 B.119 C.120 D.121答案答案 C在在ABC中中,ACB=180-A-ABC=180-60-42=78.BE、CD分别平分分别平分ABC、ACB,FBC=ABC=21,FCB=ACB=39,BFC=180-FBC-FCB=180-21-39=120.应选应选C.1212评析此题主要调查三

7、角形内角和定理评析此题主要调查三角形内角和定理,角平分线的概念角平分线的概念,属容易题属容易题.5.(2021福建福建,12,4分分)如图如图,ABC中中,D,E分别是边分别是边AB,AC的中点的中点,衔接衔接DE,假设假设DE=3,那么线段那么线段BC的的长等于长等于 . 答案答案6解析解析D,E分别是边分别是边AB,AC的中点的中点,DE是是ABC的中位线的中位线.BC=2DE,DE=3,BC=6.6.(2021江苏南京江苏南京,21,8分分)用两种方法证明用两种方法证明“三角形的外角和等于三角形的外角和等于360.如图如图,BAE、CBF、ACD是是ABC的三个外角的三个外角.求证求证:

8、BAE+CBF+ACD=360.证法证法1: ,BAE+1+CBF+2+ACD+3=1803=540.BAE+CBF+ACD=540-(1+2+3). ,BAE+CBF+ACD=540-180=360.请把证法请把证法1补充完好补充完好,并用不同的方法完成证法并用不同的方法完成证法2.解析解析BAE+1=CBF+2=ACD+3=180;1+2+3=180.证法证法2:如图如图,过点过点A作射线作射线AP,使使APBD.APBD,CBF=PAB,ACD=EAP.BAE+PAB+EAP=360,BAE+CBF+ACD=360.(8分分)1.(2021浙江绍兴浙江绍兴,7,4分分)如图如图,小敏做了

9、一个角平分仪小敏做了一个角平分仪ABCD,其中其中AB=AD,BC=DC,将仪器上的将仪器上的点点A与与PRQ的顶点的顶点R重合重合,调整调整AB和和AD,使它们分别落在角的两边上使它们分别落在角的两边上,过点过点A,C画一条射线画一条射线AE,AE就是就是PRQ的平分线的平分线.此角平分仪的画图原理是此角平分仪的画图原理是:根据仪器构造根据仪器构造,可得可得ABC ADC,这样这样就有就有QAE=PAE.那么阐明这两个三角形全等的根据是那么阐明这两个三角形全等的根据是()A.SASB.ASAC.AASD.SSS考点二三角形全等考点二三角形全等答案答案 D由于在由于在ABC和和ADC中中,AB

10、=AD,BC=CD,AC=AC,所以所以ABC ADC(SSS),应选应选D.2.(2021江苏南京江苏南京,14,2分分)如图如图,四边形四边形ABCD的对角线的对角线AC、BD相交于点相交于点O,ABO ADO.下下列结论列结论:ACBD;CB=CD;ABC ADC;DA=DC.其中一切正确结论的序号是其中一切正确结论的序号是 . 答案答案解析解析ABO ADO,BAC=DAC,AOB=AOD,AB=AD.AOB+AOD=180,AOB=90,ACBD,正确正确.AB=AD,BAC=DAC,AC=AC,ABC ADC,正确正确.ABC ADC,CB=CD,正确正确.DA与与DC不一定相等不

11、一定相等,不正确不正确.3.(2021江西南昌江西南昌,9,3分分)如图如图,OP平分平分MON,PEOM于于E,PFON于于F,OA=OB,那么图中有那么图中有 对全等三角形对全等三角形. 答案答案3解析根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到解析根据题图的特征以及角平分线的性质可以得到AOP BOP,EOP FOP,AEP BFP,所以题图中有所以题图中有3对全等三角形对全等三角形.4.(2021陕西陕西,18,5分分)如图如图,ABCD,E、F分别为分别为AB、CD上的点上的点,且且ECBF,衔接衔接AD,分别与分别与EC、BF相交于点相交于点G、H.假设假设AB=CD,求证求证:AG=

12、DH. 证明证明ABCD,A=D.ECBF,BHA=CGD.(2分分)AB=CD,ABH DCG,AH=DG,AG=DH.(5分分)思绪分析首先利用平行线的性质得出思绪分析首先利用平行线的性质得出A=D,BHA=CGD,进而断定进而断定ABH DCG,最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等最后根据全等三角形的性质及等量减等量差相等,得出结果得出结果.归纳总结全等三角形的断定定理有归纳总结全等三角形的断定定理有SSS、SAS、ASA、AAS和和HL.要根据知条件恰中选要根据知条件恰中选择断定定理择断定定理.当知两边对应相等时当知两边对应相等时,可思索证夹角相等或第三边相等可思索证夹角相等或第

13、三边相等.当知两角对应相当知两角对应相等时可思索证夹边相等或一角对边相等等时可思索证夹边相等或一角对边相等.当知角及邻边对应相等时可选用当知角及邻边对应相等时可选用SAS、ASA或或AAS.5.(2021黑龙江哈尔滨黑龙江哈尔滨,24,8分分)知知:ACB和和DCE都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,衔接衔接AE、BD交于点交于点O.AE与与DC交于点交于点M,BD与与AC交于点交于点N.(1)如图如图1,求证求证:AE=BD;(2)如图如图2,假设假设AC=DC,在不添加任何辅助线的情况下在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图请直接写出图2中四对全等的直角三角形中四

14、对全等的直角三角形. 图1图2解析解析(1)证明证明:ACB和和DCE都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,ACB=DCE=90,AC=BC,DC=EC,ACB+ACD=DCE+ACD,即即BCD=ACE,ACE BCD,AE=BD.(2)ACB DCE,AON DOM,AOB DOE,NCB MCE.6.(2021河北河北,21,9分分)如图如图,点点B,F,C,E在直线在直线l上上(F,C之间不能直接丈量之间不能直接丈量),点点A,D在在l异侧异侧,测得测得AB=DE,AC=DF,BF=EC.(1)求证求证:ABC DEF;(2)指出图中一切平行的线段指出图中一切平行的线段,并阐明理由并阐

15、明理由. 解析解析(1)证明证明:BF=EC,BF+FC=EC+CF,即即BC=EF.(3分分)又又AB=DE,AC=DF,ABC DEF.(5分分)(2)ABDE,ACDF.(7分分)理由理由:ABC DEF,ABC=DEF,ACB=DFE.ABDE,ACDF.(9分分)评析此题调查全等三角形的断定与性质评析此题调查全等三角形的断定与性质,根据条件用根据条件用“SSS断定三角形全等断定三角形全等,再由全等三再由全等三角形的性质得到对应角相等角形的性质得到对应角相等,然后由角相等得到边之间的位置关系然后由角相等得到边之间的位置关系.7.(2021江苏南京江苏南京,27,11分分)【问题提出】【

16、问题提出】学习了三角形全等的断定方法学习了三角形全等的断定方法(即即“SAS“ASA“AAS“SSS)和直角三角形全等的和直角三角形全等的断定方法断定方法(即即“HL)后后,我们继续对我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等的情形进展研讨情形进展研讨.【初步思索】【初步思索】我们无妨将问题用符号言语表示为我们无妨将问题用符号言语表示为:在在ABC和和DEF中中,AC=DF,BC=EF,B=E.然后然后,对对B进展分类进展分类,可分为可分为“B是直角、钝角、锐角三种情况进展探求是直角、钝角、锐角三种情况进展探求.【深化探求】【深化探求】第

17、一种情况第一种情况:当当B是直角时是直角时,ABC DEF.(1)如图如图,在在ABC和和DEF中中,AC=DF,BC=EF,B=E=90,根据根据 ,可以知道可以知道RtABC RtDEF.第二种情况:当B是钝角时,ABC DEF.(2)如图,在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是钝角.求证:ABCDEF.第三种情况:当B是锐角时,ABC和DEF不一定全等.(3)在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,请他用尺规在图中作出DEF,使DEF和ABC不全等.(不写作法,保管作图痕迹)(4)B还要满足什么条件,就可以使ABC DEF?请直接填

18、写结论:在ABC和DEF中,AC=DF,BC=EF,B=E,且B、E都是锐角,假设,那么ABCDEF.解析解析(1)HL.(2分分)(2)证明证明:如图如图,分别过点分别过点C、F作对边作对边AB、DE上的高上的高CG、FH,其中其中G、H为垂足为垂足.ABC、DEF都是钝角都是钝角,G、H分别在分别在AB、DE的延伸线上的延伸线上.CGAG,FHDH,CGA=FHD=90.CBG=180-ABC,FEH=180-DEF,ABC=DEF,CBG=FEH.在在BCG和和EFH中中,CGB=FHE,CBG=FEH,BC=EF,BCG EFH.CG=FH.又又AC=DF,RtACG RtDFH.A=

19、D.在ABC和DEF中,ABC=DEF,A=D,AC=DF,ABC DEF.(6分)图(3)如图,DEF就是所求作的三角形.图(9分)(4)此题答案不独一,以下解法供参考.BA.(11分)考点一三角形的相关概念考点一三角形的相关概念C组 教师公用题组1.(2021福建福建,3,4分分)以下各组数中以下各组数中,能作为一个三角形三边边长的是能作为一个三角形三边边长的是()A.1,1,2 B.1,2,4 C.2,3,4 D.2,3,5答案答案 C三角形的三边边长要满足三角形的三边边长要满足“恣意两边之和大于第三边恣意两边之和大于第三边,恣意两边之差小于第三恣意两边之差小于第三边边,选项选项A、B、

20、D均不符合均不符合,应选应选C.2.(2021湖南长沙湖南长沙,7,3分分)假设一个三角形的两边长分别为假设一个三角形的两边长分别为3和和7,那么第三边长能够是那么第三边长能够是()A.6 B.3 C.2 D.11答案答案 A设第三边长为设第三边长为x,根据三角形的三边关系根据三角形的三边关系,可得可得7-3x7+3,即即4x10,应选应选A.3.(2021河北河北,10,3分分)如图如图,知钝角知钝角ABC,依以下步骤尺规作图依以下步骤尺规作图,并保管作图痕迹并保管作图痕迹.步骤步骤1:以以C为圆心为圆心,CA为半径画弧为半径画弧;步骤步骤2:以以B为圆心为圆心,BA为半径画弧为半径画弧,交

21、弧于点交弧于点D;步骤步骤3:衔接衔接AD,交交BC延伸线于点延伸线于点H.以下表达正确的选项是以下表达正确的选项是()A.BH垂直平分线段垂直平分线段AD B.AC平分平分BADC.SABC=BCAH D.AB=AD答案答案 A由作图可知点由作图可知点B、C到线段到线段AD的两个端点的间隔分别相等的两个端点的间隔分别相等,点点B、C都在线段都在线段AD的垂直平分线上的垂直平分线上,即直线即直线BC垂直平分线段垂直平分线段AD.应选应选A.4.(2021广东广州广东广州,10,3分分)知知2是关于是关于x的方程的方程x2-2mx+3m=0的一个根的一个根,并且这个方程的两个根并且这个方程的两个

22、根恰好是等腰三角形恰好是等腰三角形ABC的两条边长的两条边长,那么三角形那么三角形ABC的周长为的周长为()A.10 B.14C.10或或14 D.8或或10答案答案 B 把把2代入方程得代入方程得m=4,解方程解方程x2-8x+12=0得另外一个根是得另外一个根是6;根据三角形三边之间的关根据三角形三边之间的关系可知系可知:当当6是腰是腰,2是底边时是底边时,周长是周长是6+6+2=14;当当2是腰是腰,6是底边时是底边时,2+26,不能构成三角不能构成三角形形,ABC的周长是的周长是14,应选应选B.评析此题调查了一元二次方程的解法评析此题调查了一元二次方程的解法,三角形三边之间的关系三角

23、形三边之间的关系,等腰三角形的性质等知识等腰三角形的性质等知识,属属于容易题于容易题.5.(2021江苏连云港江苏连云港,6,3分分)如图如图,假设假设ABC和和DEF的面积分别为的面积分别为S1、S2,那么那么()A.S1=S2 B.S1=S2 C.S1=S2 D.S1=S2 127285答案答案 C过点过点A作作AMBC于点于点M,过点过点D作作DNEF交交FE的延伸线于点的延伸线于点N,S1=BCAM=85sin 40,S2=EFDN=58sin 40,所以所以S1=S2,应选应选C. 121212126.(2021河北河北,12,3分分)如图如图,知知ABC(ACBC),用尺规在用尺规

24、在BC上确定一点上确定一点P,使使PA+PC=BC,那么符那么符合要求的作图痕迹是合要求的作图痕迹是() 答案答案 D由选项由选项A可得可得PB=AB,所以所以BC=AB+PC;由选项由选项B可得可得PA=PC,所以所以BC=PB+PA;由选由选项项C可得可得PC=AC,所以所以BC=PB+AC;由选项由选项D可得可得PB=PA,所以所以BC=PA+PC.应选应选D.7.(2021湖北黄冈湖北黄冈,12,3分分)一个三角形的两边长分别为一个三角形的两边长分别为3和和6,第三边长是方程第三边长是方程x2-10 x+21=0的根的根,那么三角形的周长为那么三角形的周长为 .答案答案16解析解析x2

25、-10 x+21=(x-3)(x-7)=0,x1=3,x2=7,3+3=6,3不能作为该三角形的第三边长不能作为该三角形的第三边长,三角形的第三边长为三角形的第三边长为7,三角形的周长为三角形的周长为3+6+7=16.8.(2021四川成都四川成都,11,4分分)等腰三角形的一个底角为等腰三角形的一个底角为50,那么它的顶角的度数为那么它的顶角的度数为 .答案答案80解析解析等腰三角形的两底角相等等腰三角形的两底角相等,180-502=80,顶角为顶角为80.9.(2021湖北武汉湖北武汉,16,3分分)如图如图,在在ABC中中,ACB=60,AC=1,D是边是边AB的中点的中点,E是边是边B

26、C上一上一点点.假设假设DE平分平分ABC的周长的周长,那么那么DE的长是的长是 . 答案答案 32解析延伸解析延伸BC至点至点F,使使CF=AC,衔接衔接AF,D是是AB的中点的中点,AD=DB.DE平分平分ABC的周长的周长,AC+CE+AD=DB+BE,AC+CE=BE,BE=CF+CE=EF,DE是是ABF的中位线的中位线,DEAF,ACB=60,ACF=120,又又AC=CF=1,FAC=AFC=30,作作CHAF,那么那么AH=AC,AF=AC=,DE=AF=. 32331232思绪分析延伸思绪分析延伸BC至点至点F,使使CF=AC,利用知条件证明利用知条件证明DE为为ABF的中位

27、线的中位线,由知条件求由知条件求得得AF的长的长,从而求得从而求得DE的长的长.解题技巧对于求线段长度的问题解题技巧对于求线段长度的问题,假设条件涉及三角形边的中点假设条件涉及三角形边的中点,可以思索运用中位线性质来可以思索运用中位线性质来解答解答.10.(2021河北河北,17,3分分)如图如图,A,B两点被池塘隔开两点被池塘隔开,不能直接丈量其间隔不能直接丈量其间隔.于是于是,小明在岸边选一点小明在岸边选一点C,衔接衔接CA,CB,分别延伸到点分别延伸到点M,N,使使AM=AC,BN=BC,测得测得MN=200 m,那么那么A,B间的间隔为间的间隔为 m. 答案答案100解析解析AM=AC

28、,BN=BC,AB是是CMN的中位线的中位线,AB=MN,MN=200 m,AB=100 m.1211.(2021陕西陕西,12A,3分分)如图如图,在在ABC中中,BD和和CE是是ABC的两条角平分线的两条角平分线.假设假设A=52,那么那么1+2的度数为的度数为 . 答案答案64解析解析BD平分平分ABC,CE平分平分ACB,1=ABC,2=ACB,又又ABC+ACB=180-A,21+22=180-A=128,1+2=64.121212.(2021江西江西,14,3分分)在在RtABC中中,A=90,有一个锐角为有一个锐角为60,BC=6.假设点假设点P在直线在直线AC上上(不与不与点点

29、A,C重合重合),且且ABP=30,那么那么CP的长为的长为 .答案答案2或或4或或633解析图解析图1中中,ABC=60,BC=6,那么那么AB=3,AC=3,又又ABP=30,那么那么AP=,所以所以CP=2或或CP=4;图图2中中,ACB=60,ABP=30,CBP是等边三角形是等边三角形,CP=CB=6.3333图1图213.(2021天津天津,18,3分分)在每个小正方形的边长为在每个小正方形的边长为1的网格中的网格中,点点A,B,C,D均在格点上均在格点上,点点E,F分别为分别为线段线段BC,DB上的动点上的动点,且且BE=DF.(1)如图如图,当当BE=时时,计算计算AE+AF的

30、值等于的值等于 ;(2)当当AE+AF获得最小值时获得最小值时,请在如图所示的网格中请在如图所示的网格中,用用的直尺的直尺,画出线段画出线段AE,AF,并简要并简要阐明点阐明点E和点和点F的位置是如何找到的的位置是如何找到的(不要求证明不要求证明) . 52无刻度答案答案(1);(2)如图如图,取格点取格点H,K,衔接衔接BH,CK,相交于点相交于点P.衔接衔接AP,与与BC相交于点相交于点E.取格点取格点M,N,衔接衔接DM,CN,相交于点相交于点G.衔接衔接AG,与与BD相交于点相交于点F.线段线段AE,AF即为所求即为所求. 5612解析解析(1)由题图可知由题图可知,AD=4,AB=3

31、,那么那么DB=5,由于由于BE=,BE=DF,所以所以DF=,所以所以F是是RtABD斜边斜边BD的中点的中点,所以所以AF=BD=.由于由于AE=,所以所以AE+AF=.(2)如图如图,取格点取格点H,K,衔接衔接BH,CK,相交于点相交于点P.衔接衔接AP,与与BC相交于点相交于点E.取格点取格点M,N,衔接衔接DM,CN,相交于点相交于点G.衔接衔接AG,与与BD相交于点相交于点F.线段线段AE,AF即为所求即为所求 223452521252225326125612思绪提示在求两条线段长度之和的最小值时思绪提示在求两条线段长度之和的最小值时,常用方法是利用两点之间线段最短常用方法是利用

32、两点之间线段最短,题中题中E、F均为动点均为动点,不能直接运用两点之间线段最短这一结论不能直接运用两点之间线段最短这一结论,可思索利用三角形全等把可思索利用三角形全等把AE+AF转化为转化为两个定点到一个动点的间隔之和两个定点到一个动点的间隔之和.先思索一条边为先思索一条边为AF的的AFD.由于由于ADBC,所以所以FDA=DBC,设设D点关于点关于BC的对称点为的对称点为H,那么有那么有HBC=DBC=FDA,由于由于AD=4,为了在为了在BH上找一点上找一点P到到B的间隔也等于的间隔也等于4,可取格点可取格点K,衔接衔接CK,设设BH与与CK相交于相交于P,那么有那么有BP=4.在在AFD

33、与与PEB中中,ADBPBEDFADFPBE 所以AFD PEB,所以AF=PE,故AF+AE=PE+AE,要使PE+AE有最小值,那么衔接AP,AP与BC的交点就是要求的点E.与找E点类似,要找到符合条件的点F,思索一条边为AE的ABE,想法构造一个与ABE全等的三角形,取格点M,衔接DM,易知DMDF,为了在DM上找一点G,使DG=AB=3,取格点N,连接CN,设DM与CN相交于G,那么DG=AB=3,在ABE与GDF中,所以ABE GDF,所以GF=AE,故AE+AF=GF+AF,要使GF+AF最小,只需衔接AG,AG与BD交于F,那么F就是所求使得AE+AF最小的点F.3,DGABGD

34、FABEBEDF 14.(2021福建福建,19,8分分)如图如图,ABC中中,BAC=90,ADBC,垂足为垂足为D.求作求作ABC的平分线的平分线,分别分别交交AD,AC于于P,Q两点两点,并证明并证明AP=AQ.(要求要求:尺规作图尺规作图,保管作图痕迹保管作图痕迹,不写作法不写作法) 解析如图解析如图,BQ是所求作的是所求作的ABC的平分线的平分线,P,Q是所求作的点是所求作的点.证明如下证明如下:ADBC,ADB=90,BPD+PBD=90.BAC=90,AQP+ABQ=90.ABQ=PBD,BPD=AQP.BPD=APQ,APQ=AQP,AP=AQ.15.(2021广东广东,19,

35、6分分)如图如图,知知ABC中中,D为为AB的中点的中点.(1)请用尺规作图法作边请用尺规作图法作边AC的中点的中点E,并衔接并衔接DE(保管作图痕迹保管作图痕迹,不要求写作法不要求写作法);(2)在在(1)的条件下的条件下,假设假设DE=4,求求BC的长的长. 解析解析(1)如图如图.(2分分)E点点,DE即为所求即为所求.(3分分)(2)DE是是ABC的中位线的中位线,且且DE=4,BC=2DE=24=8.(6分分)评析此题主要调查平面几何中尺规作图的根本方法评析此题主要调查平面几何中尺规作图的根本方法(中点的作法中点的作法),以及三角形中位线的性质以及三角形中位线的性质.1.(2021河

36、北河北,16,2分分)如图如图,AOB=120,OP平分平分AOB,且且OP=2.假设点假设点M,N分别在分别在OA,OB上上,且且PMN为等边三角形为等边三角形,那么满足上述条件的那么满足上述条件的PMN有有()A.1个个 B.2个个 C.3个个 D.3个以上个以上考点二考点二 三角形全等三角形全等答案答案 D如下图如下图,过点过点P分别作分别作OA,OB的垂线的垂线,垂足分别为垂足分别为C,D,衔接衔接CD,那么那么PCD为等边三为等边三角形角形.在在OC,DB上分别取上分别取M,N,使使CM=DN,那么那么PCM PDN,所以所以CPM=DPN,PM=PN,MPN=60,那么那么PMN为

37、等边三角形为等边三角形,由于满足由于满足CM=DN的的M,N有无数个有无数个,所以满足题意的三角所以满足题意的三角形形有无数个有无数个. 2.(2021湖北武汉湖北武汉,18,8分分)如图如图,点点E、F在在BC上上,BE=CF,AB=DC,B=C,AF与与DE交于点交于点G,求求证证:GE=GF. 证明证明BE=CF,BF=CE.在在ABF和和DCE中中,ABF DCE.AFB=DEC,GF=GE.,ABDCBCBFCE 3.(2021云南昆明云南昆明,15,6分分)如图如图,在在ABC和和ADE中中,AB=AD,B=D,1=2.求证求证:BC=DE. 证明证明1=2,1+DAC=2+DAC

38、,即即BAC=DAE,(1分分)在在ABC和和ADE中中,(3分分)ABC ADE(ASA),(5分分)BC=DE.(6分分)(其他证法参照此规范给分其他证法参照此规范给分),BACDAEABADBD 4.(2021河北河北,23,9分分)如图如图,A=B=50,P为为AB中点中点,点点M为射线为射线AC上上(不与点不与点A重合重合)的恣意一的恣意一点点,衔接衔接MP,并使并使MP的延伸线交射线的延伸线交射线BD于点于点N,设设BPN=.(1)求证求证:APM BPN;(2)当当MN=2BN时时,求求的度数的度数;(3)假设假设BPN的外心在该三角形的内部的外心在该三角形的内部,直接写出直接写

39、出的取值范围的取值范围. 解析解析(1)证明证明:P为为AB中点中点,PA=PB.又又A=B,MPA=NPB,APM BPN.(2)由由(1)得得PM=PN,MN=2PN,MN=2BN,PN=BN,=B=50.(3)4090.详解详解:BPN的外心在该三角形的内部的外心在该三角形的内部,BPN是锐角三角形是锐角三角形,BPN和和BNP都为锐角都为锐角,又又B=50,40BPN90,即即4090.思绪分析思绪分析(1)根据根据ASA可证明可证明:APM BPN;(2)根据根据APM BPN得得MN=2PN,结合结合MN=2BN得出得出PN=BN,由等边对等角可得结果由等边对等角可得结果;(3)只

40、需锐角三角形的外心在三角形的内部只需锐角三角形的外心在三角形的内部,根据根据BPN和和BNP都为锐角及都为锐角及B=50可得可得的的取值范围取值范围.1.假设知两边:(1)找夹角,利用SAS求解;(2)找直角,利用HL或SAS求解;(3)找另一条边,利用SSS求解.方法归纳证明三角形全等的普通思绪方法归纳证明三角形全等的普通思绪:2.知一边和一角:(1)边为角的对边,那么找任一角,利用AAS求解;(2)边为角的一条边:找角的另一边,利用SAS求解,找边的另一角,利用ASA求解,找边的对角,利用AAS求解.3.知两角:(1)找夹边,利用ASA求解;(2)找两角中恣意一角的对边,利用AAS求解.5

41、.(2021云南云南,15,6分分)如图如图,点点E、C在线段在线段BF上上,BE=CF,AB=DE,AC=DF.求证求证:ABC=DEF. 证明证明BE=CF,BE+EC=CF+EC,即即BC=EF.在在ABC与与DEF中中,ABC DEF,ABC=DEF.,ABDEBCEFACDF6.(2021吉林吉林,18,5分分)如图如图,点点E,F在在BC上上,BE=CF,AB=DC,B=C.求证求证:A=D. 证明证明BE=CF,BE+EF=CF+EF.BF=CE.(2分分)又又B=C,AB=DC,ABF DCE.(4分分)A=D.(5分分)7.(2021湖北武汉湖北武汉,18,8分分)如图如图,

42、点点C,F,E,B在一条直线上在一条直线上,CFD=BEA,CE=BF,DF=AE.写出写出CD与与AB之间的关系之间的关系,并证明他的结论并证明他的结论. 解析解析 CD与与AB之间的关系为之间的关系为CD=AB,且且CDAB.证明证明:CE=BF,CF=BE.在在CDF和和BAE中中,CDF BAE,CD=BA,C=B,CDBA.,CFBECFDBEADFAE 思绪分析先证明思绪分析先证明CDF BAE,再利用全等三角形的性质得到再利用全等三角形的性质得到CD与与AB之间的关系之间的关系.易错警示易错警示 CD与与AB之间的位置关系是平行之间的位置关系是平行,数量关系是相等数量关系是相等,

43、此题容易出现的错误是只得到此题容易出现的错误是只得到CD与与AB之间的一种关系之间的一种关系.8.(2021重庆重庆,19,7分分)如图如图,点点A,B,C,D在同一条直线上在同一条直线上,CEDF,EC=BD,AC=FD.求证求证:AE=FB. 证明证明CEDF,ACE=D.(3分分)在在ACE和和FDB中中,EC=BD,ACE=D,AC=FD,(5分分)ACE FDB.(6分分)AE=FB.(7分分)9.(2021福建福州福建福州,21,8分分)一个平分角的仪器如下图一个平分角的仪器如下图,其中其中AB=AD,BC=DC.求证求证:BAC=DAC. 证明在证明在ABC与与ADC中中,ABC

44、 ADC(SSS).BAC=DAC.,ABADBCDCACAC10.(2021湖北武汉湖北武汉,18,8分分)如图如图,点点B,E,C,F在同一条直线上在同一条直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.求证求证ABDE. 证明证明BE=CF,BC=EF.(2分分)在在ABC和和DEF中中,(5分分)ABC DEF(SSS).(6分分)B=DEF,ABDE.(8分分),ABDEBCEFACDF11.(2021四川南充四川南充,19,8分分)知知ABN和和ACM位置如下图位置如下图,AB=AC,AD=AE,1=2.(1)求证求证:BD=CE;(2)求证求证:M=N. 证明证明(1)在在ABD和和

45、ACE中中,ABD ACE(SAS).(3分分)BD=CE.(4分分)(2)ABD ACE,ADB=AEC.(5分分)又又MDO=ADB,NEO=AEC,MDO=NEO.(6分分)MOD=NOE,(7分分)180-MDO-MOD=180-NEO-NOE,即即M=N.(8分分),12,ABACADAE 评析此题调查了全等三角形的断定与性质评析此题调查了全等三角形的断定与性质,要根据题意选择适宜的断定方法要根据题意选择适宜的断定方法.12.(2021福建福州福建福州,19,8分分)如图如图,1=2,3=4,求证求证:AC=AD. 证明证明3=4,ABC=ABD.在在ABC和和ABD中中,ABC A

46、BD(ASA).AC=AD.12,ABABABCABD 13.(2021重庆重庆,20,7分分)如图如图,在在ABD和和FEC中中,点点B,C,D,E在同不断线上在同不断线上,且且AB=FE,BC=DE,B=E.求证求证:ADB=FCE. 证明证明BC=DE,BC+CD=DE+CD,即即DB=CE.(3分分)又又AB=FE,B=E,ABD FEC.(6分分)ADB=FCE.(7分分)14.(2021陕西陕西,19,7分分)如图如图,在在ABC中中,AB=AC.作作ADAB交交BC的延伸线于点的延伸线于点D,作作AEBD、CEAC,且且AE、CE相交于点相交于点E.求证求证:AD=CE. 证明证

47、明AEBD,EAC=ACB.AB=AC,B=ACB.EAC=B.(4分分)又又BAD=ACE=90,ABD CAE.(6分分)AD=CE.(7分分)15.(2021江苏苏州江苏苏州,24,8分分)如图如图,在在ABC中中,AB=AC.分别以分别以B、C为圆心为圆心,BC长为半径在长为半径在BC下方下方画弧画弧,设两弧交于点设两弧交于点D,与与AB、AC的延伸线分别交于点的延伸线分别交于点E、F,衔接衔接AD、BD、CD.(1)求证求证:AD平分平分BAC;(2)假设假设BC=6,BAC=50,求求、 的长度之和的长度之和(结果保管结果保管). DEDF解析解析(1)证明证明:由题意可知由题意可

48、知BD=CD,在在ABD和和ACD中中,ABD ACD(SSS).BAD=CAD,即即AD平分平分BAC.(2)AB=AC,BAC=50,ABC=ACB=65.BD=CD=BC,BDC为等边三角形为等边三角形.DBC=DCB=60,DBE=DCF=55,BC=6,BD=CD=6.的长度的长度=的长度的长度=.、的长度之和为的长度之和为+=.,ABACBDCDADADDEDF556180116DEDF11611611316.(2021陕西陕西,18,6分分)如图如图,在在RtABC中中,ABC=90.点点D在边在边AB上上,使使DB=BC,过点过点D作作EFAC,分别交分别交AC于点于点E、CB

49、的延伸线于点的延伸线于点F.求证求证:AB=BF. 证明证明EFAC,F+C=90.A+C=90,F=A.(3分分)又又FBD=ABC,DB=BC,FBD ABC.AB=BF.(6分分)17.(2021江苏苏州江苏苏州,23,6分分)如图如图,在在RtABC中中,ACB=90,点点D,F分别在分别在AB,AC上上,CF=CB.衔接衔接CD,将线段将线段CD绕点绕点C按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转90后得后得CE,衔接衔接EF.(1)求证求证:BCD FCE;(2)假设假设EFCD,求求BDC的度数的度数. 解析解析(1)证明证明:CD绕点绕点C按顺时针方向旋转按顺时针方向旋转90后得后得CE

50、,CD=CE,DCE=90.ACB=90,BCD=90-ACD=FCE.在在BCD和和FCE中中,BCD FCE.(2)由由BCD FCE得得BDC=E.EFCD,E=180-DCE=90.BDC=90.,CBCFBCDFCECDCE 评析此题调查全等三角形的断定及性质评析此题调查全等三角形的断定及性质,平行线的性质平行线的性质,属容易题属容易题.考点一三角形的相关概念考点一三角形的相关概念(2021(2021江苏无锡一模江苏无锡一模,9),9)如图如图, ,用四条线段首尾相接连成一个框架用四条线段首尾相接连成一个框架, ,其中其中AB=12,BC=14,CD=18,DAAB=12,BC=14

51、,CD=18,DA=24,=24,那么那么A A、B B、C C、D D恣意两点之间的最长间隔为恣意两点之间的最长间隔为( () )A.24A.24 B.26B.26 C.32C.32 D.36D.36三年模拟A组 20212021年模拟根底题组答案C知AB=12,BC=14,CD=18,DA=24;选12+14、18、24作为三角形,那么三边长分别为26、18、24;26-241826+24,能构成三角形,此时两个端点间的最长间隔为26.选12、14+18、24作为三角形,那么三边长分别为12、32、24;32-241232+24,能构成三角形,此时两个端点间的最大间隔为32.选12、14、

52、18+24作为三角形,那么三边长分别为12、14、42;1242-14,不能构成三角形.应选C.1.(2021新乡二模新乡二模,4)用直尺和圆规作一个角等于知角用直尺和圆规作一个角等于知角,如图如图,能得出能得出AOB=AOB的根据是的根据是()A.SSSB.SASC.AASD.ASA考点二三角形全等考点二三角形全等答案答案 A由题意知由题意知,OC=OD=OC=OD,CD=CD,所以所以OCD OCD,根据是根据是SSS,故故AOB=AOB.应选应选A.2.(2021郑州一模郑州一模,8)知知:如图如图,在矩形在矩形ABCD中中,AB=4,AD=6.延伸延伸BC到到E,使使CE=2,衔接衔接

53、DE,动点动点F从点从点B出发出发,以每秒以每秒2个单位的速度沿个单位的速度沿BCCDDA向终点向终点A运动运动.设点设点F的运动时间为的运动时间为t秒秒,当当t为为 秒时秒时,ABF和和DCE全等全等()A.1 B.1或或3 C.1或或7 D.3或或7答案答案 C当点当点F在在BC上上,且满足且满足BF=CE=2时时,在在ABF和和DCE中中,BF=CE,ABF=DCE=90,AB=DC,ABF DCE(SAS),此时点此时点F运动的路程运动的路程BF=2,t=22=1.(见图见图1) 图图1当点当点F在在AD上上,且满足且满足AF=CE=2时时,在在BAF和和DCE中中,AB=CD,BAF

54、=DCE=90,AF=CE,BAF DCE(SAS),此时点此时点F运动的路程为运动的路程为BC+CD+DF=6+4+4=14,t=142=7.(见图见图2)图2当点F在CD上时,不存在全等.t=1或7,应选C.3.(2021安阳一模安阳一模,22)如图如图,点点A是直线是直线PQ上一动点上一动点,BCPQ,垂足为垂足为C,线段线段AB的垂直平分线的垂直平分线DE交交PCB的角平分线于点的角平分线于点E,交交AB于点于点D.衔接衔接AE,BE.(1)如图如图1,AE与与BE的数量关系是的数量关系是 ;过点过点E作作EMPQ于点于点M,作作ENBC于点于点N,经过经过证明证明AEM BEN,可知

55、可知AE与与BE的位置关系是的位置关系是 .(2)当点当点A在点在点C的下方如图的下方如图2所示的位置时所示的位置时,(1)中的结论还成立吗中的结论还成立吗?请阐明理由请阐明理由;(3)当点当点A位于如图位于如图3的位置时的位置时,过点过点A作作AFCB交交PCB的平分线于点的平分线于点F,设设AC=a,CB=b,请直接请直接写出写出EF的长的长(用含用含a,b的式子表示的式子表示).图2图1图3解析解析(1)相等相等;垂直垂直.(2)成立成立.理由如下理由如下:过点过点E作作EMPQ于点于点M,作作ENBC于点于点N,如下图如下图.PQBC,四边形四边形MCNE是矩形是矩形,MEN=90.C

56、E是是PCB的平分线的平分线,ME=EN.又又ED是是AB的垂直平分线的垂直平分线,AE=BE,AME BNE,MEA=NEB.MEA+AEN=90,NEB+AEN=90,AEBE.综上,AE=BE,AEBE.(3)EF=(b-a).224.(2021河北邯郸一模河北邯郸一模,21)知知:如图如图,ABC和和EFC都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,ACB=ECF=90,点点E在在AB边上边上.(1)求证求证:ACE BCF;(2)假设假设BFE=60,求求AEC的度数的度数. 解析解析(1)证明证明:ABC和和EFC都是等腰直角三角形都是等腰直角三角形,CA=CB,CE=CF.ACB=EC

57、F=90,ACE+ECB=ECB+BCF,ACE=BCF.ACE BCF(SAS).(2)ECF是等腰直角三角形是等腰直角三角形,ECF=90,CEF=CFE=45.BFE=60,BFC=BFE+CFE=105.ACE BCF,AEC=BFC=105.B组 20212021年模拟提升题组(时间:25分钟分值:30分)一、选择题每题3分，共6分1.(2021商丘一模商丘一模,5)如图如图,将一副三角板叠放在一同将一副三角板叠放在一同,使直角的顶点重合于点使直角的顶点重合于点O,ABOC,DC与与OB交于点交于点E,那么那么DEO的度数为的度数为()A.85 B.70 C.75 D.60答案答案

58、C由题意得由题意得,B=30,C=45,由于由于ABOC,所以所以BOC=B=30.所以所以DEO=BOC +C =30+45=75.应选应选C.思绪分析此题调查角的性质思绪分析此题调查角的性质,平行线的性质平行线的性质,三角形外角定理三角形外角定理,属根底题属根底题.2.(2021安阳一模安阳一模,8)如图如图,知知ABC,按如下步骤作图按如下步骤作图:先分别以先分别以A,B两点为圆心两点为圆心,以大于以大于AB的长为半径作弧的长为半径作弧,两弧相交于两弧相交于M,N两点两点,作直线作直线MN;再分别以再分别以B,C两点为圆心两点为圆心,以大于以大于BC的长的长为半径作弧为半径作弧,两弧相交

59、于两弧相交于G,H两点两点,作直线作直线GH,GH与与MN交于点交于点P.假设假设BAC=66,那么那么BPC等于等于()A.66 B.99 C.132 D.1141212答案答案 C由作图知由作图知MN,GH分别是分别是AB,BC边的垂直平分线边的垂直平分线,衔接衔接PA,那么那么PA=PB=PC,PAB,PAC为等腰三角形为等腰三角形.PAB=PBA,PAC=PCA.APB=180-2PAB,APC=180-2PAC,APB+APC=360-2BAC=228,BPC=360-(APB+APC)=132,应选应选C.3.(2021安阳一模安阳一模,12)如图如图,ABC中中,B=35,BCA

60、=75,请根据尺规作图的作图痕迹请根据尺规作图的作图痕迹,计算计算= . 二、填空题(共3分)答案答案75解析解析B=35,BCA=75,BAC=70.由作图痕迹可知由作图痕迹可知,AD是是BAC的角平分线的角平分线,CAD=BAC=35.由作图痕迹可知由作图痕迹可知,EF是线段是线段BC的垂直平分线的垂直平分线,BCF=B=35,ACF=ACB-BCF=40,=CAD+ACF=75.12思绪分析根据三角形的内角和得出思绪分析根据三角形的内角和得出BAC=70,由角平分线的定义求出由角平分线的定义求出CAD的度数的度数,再由再由EF是线段是线段AC的垂直平分线得出的垂直平分线得出B=BCF,最