医用高等数学：复习２

1、第一章第一章分析基础分析基础 函数函数 极限极限 连续连续 研究对象研究对象 研究方法研究方法 研究桥梁研究桥梁函数与极限函数与极限（Function & Limit） :掌握初等函数的概念掌握初等函数的概念,并会判断并会判断:极限的概念极限的概念,左右极限的概念左右极限的概念,会求一个函数在会求一个函数在某点的极限某点的极限,分段函数的左右极限分段函数的左右极限;:两个重要极限两个重要极限:无穷小量无穷小量,无穷大量的概念无穷大量的概念,等价无穷小量及其运算性等价无穷小量及其运算性质质,同阶无穷小量同阶无穷小量,高阶无穷小量高阶无穷小量,低阶无穷小量的概念低阶无穷小量的概念:掌握连续

2、的概念掌握连续的概念,初等函数的连续性初等函数的连续性,并会并会利用连续性求极限利用连续性求极限初等函数初等函数(1) 基本初等函数基本初等函数常函数、幂函数、常函数、幂函数、指数函数、指数函数、对数函数、对数函数、三角函数、三角函数、反三角函数反三角函数(2) 初等函数初等函数由六类基本初等函数由六类基本初等函数否则称为否则称为非初等函数非初等函数 . 并可用并可用一个式子一个式子表示的函数表示的函数 ,经过经过有限次有限次四则运算和复合步四则运算和复合步骤所构成骤所构成 ,称为称为初等函数初等函数 .222lnsin,4,(arctan)3arccosxxxxxxeyeyex000( )x

3、xxxxf x定义如果 从 的左侧（）无限趋于 时，函数0( )f xx无限趋于常数A，则称A为函数在点 处的左极限00lim( )(0)xxf xAf xA（left limit）,记为或000000( )( )(lim ),lim( )(0)xxxxxxxf xf xxrightitf xAf xA如果 从 的右侧（）无限趋于 时，函数无限趋于常数A，则称A为函数在点 处的右极限记为，x00 x0 xx0 xx0( )f xxx函数当时极限存在的充分必要条件是它的左极限和右极限同时存在且相等；0lim( )xxf xA00lim( )lim( )xxxxf xf xA推论推论:左右极限不存

4、在或左右极限存在不相等左右极限不存在或左右极限存在不相等 极限不存在给定函数给定函数1,0( )0,01,0 xxf xxxx讨论讨论 0 x时时)(xf的极限是否存在的极限是否存在 . 解解: 利用定理利用定理 3 .因为因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1显然显然, )0()0( ff所以所以)(lim0 xfx不存在不存在 .xyO11 xy11 xy结论结论mmmnnnxbxbxbaaxxa 11010lim（a00，b00，m,n0).解：解： 1）m=n, 原式原式0010101111limbaxbxbbxaxaannnnx

5、2）mn, 原式原式011lim1010 mmmnmnmnxxbxbbxaaxxa3）mn，原式，原式=.可见可见 , 函数函数)(xf在点在点0 x一、一、 函数连续性的定义函数连续性的定义定义定义:)(xfy 在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , , )()(lim00 xfxfxx则称函数则称函数.)(0连续在xxf(1) )(xf在点在点0 x即即)(0 xf(2) 极限极限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;00limsinsinxxxx00lim

6、coscosxxxx初等函数的连续性初等函数的连续性基本初等函数在定义区间内连续基本初等函数在定义区间内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,21xy的连续区间为的连续区间为1, 1(端点为单侧连续端点为单侧连续)一元初等函数在其定义域内连续，其图形是一条连续不断一元初等函数在其定义域内连续，其图形是一条连续不断的曲线；的曲线；0sinlim1.xxx两个重要极限两个重要极限e)1(lim1xxx说明利用复合函数求极限的运算法则说明利用复合函数求极限的运算法则此结论可推广

7、到此结论可推广到( )05sin ( )sin(1)lim1lim1( )(1)xxxxxx ( )1( )( )lim (1)e,xxx10lim(1)ezzz例例. 求求.)1 (lim1xxx解解: 令令,xt则则xxx)1 (lim1ttt )1 (lim1 1limttt)1 (1e1说明说明 ：若利用若利用, e)1 (lim)()(1)(xxx则则 原式原式111e)1 (limxxxlim 1xkxkex一、一、 无穷小无穷小（极限为（极限为0的量）的量）定义定义1 . 若若0 xx 时时, 函数函数,0)(xf则称函数则称函数)(xf0 xx )x(或为为时的时的无穷小量无穷

8、小量(dimensionless)，简称无穷小，简称无穷小 .)x(或二二:无穷大量的概念无穷大量的概念三三:无穷大量与无穷小量的关系无穷大量与无穷小量的关系根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证根据无穷小量的定义以及极限的定义和运算法则，可以证明无穷小量有如下性质：明无穷小量有如下性质：性质性质1 有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘有限个无穷小量的和、差、积以及常数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。积仍为无穷小量。性质性质2 有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量。 定义定义.,0lim若若则称则称 是比是比 高阶高阶的无穷小的无穷小

9、,)(olim, 若若若若, 1lim若若lim0,C或或,设设是自变量同一变化过程中的无穷小是自变量同一变化过程中的无穷小,记作记作则称则称 是比是比 低阶低阶的无穷小的无穷小;则称则称 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小;则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作若若lim0,C例如例如 , sin xx1,sin(1)(1)xxx在时, 1lim若若或或则称则称 是是 的的等价等价无穷小无穷小, 记作记作0sinlim1,xxx时时当当0 x000tan1ln(1)lim1; lim1; lim1;xxxxxexxxx结合复合函数求极限的性质结合复合函数求极限的性质,我们有我们有利

10、用等价无穷小量来计算极限利用等价无穷小量来计算极限00000, ,()( )( )(1)lim( ) ( ),lim( ) ( );( )( )(2)lim,lim( )( )oxxxxxxxxf g hU xf xg xf x h xAg x h xAh xh xBBf xg x定理：设函数在内有定义，且有若则若则第二章微分学第二章微分学掌握掌握:导数的概念导数的概念,导数的几何意义导数的几何意义基本初等函数的求导公式基本初等函数的求导公式微分的概念微分的概念,求函数的微分求函数的微分利用洛必达法则求极限利用洛必达法则求极限利用导数判断函数的单调区间利用导数判断函数的单调区间,判断极值的两个

11、充判断极值的两个充分条件分条件,驻点的概念驻点的概念导数的定义导数的定义定义定义1 . 设函数设函数)(xfy 在点在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0 xfxfy0 xxx存在存在,)(xf并称此极限为并称此极限为)(xfy 记作记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxf即即0 xxy)(0 xf xyx0limxxfxxfx)()(lim000hxfhxfh)()(lim000则称函数则称函数若若的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 在点在点0 x处处可导可导, 在点在点0 x的的导数导数. xyx0limxxfxxfx)(

12、)(lim000右导数右导数:左导数左导数:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 单侧导数单侧导数定理定理. 函数函数在点在点0 x)(xfy ,)()(00存在与xfxf且且)(0 xf. )(0 xf可导的可导的充分必要条件充分必要条件是是)(0 xf 存在存在)(0 xf)(0 xf二、二、 导数的几何意义导数的几何意义曲线曲线)(xfy 在点在点),(00yx的切线斜率为的切线斜率为)(tan0 xf 若若,)(0 xf切线与切线与 x

13、轴垂直轴垂直 .曲线在点曲线在点处的处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xf,)(0时 xfxyO)(xfy CT0 xM0limxyx 00( )(,()f xxf xx曲线在的切线存在，也不垂直与 轴；几何意义：几何意义：2021-12-14三、四则运算求导法则 定理定理1.的和、 差、 积、 商 (除分母为 0的点外) 都在点 x 可导, 且可导都在点及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()

14、()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv2021-12-14 )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例. 求证求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc类似可证:,csc)(cot2xx.tansec)(secxxx2021-12-14四、反函数的求导法则 )arcsin(x211x )arccos(x211x )arctan(x211x )cotarc(x211x2021-12-1

15、4在点 x 可导,五、复合函数求导法则定理定理3.( )ug x)(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy ( )g x且在点 x 可导,d( )( )dyf u g xx或，xuxuyy dxdududydxdy2021-12-14例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvuddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广：此法则可推广到多个中间变量的情形此法则可推广到多个中间变量的情形.2021-12-14, )cos(elnxy 求.ddxy解解:xydd)cos(e1x)sin(e(xxe)tan(eexx2021-12-1

16、4六:隐函数的导数若由方程0),(yxF可确定 y 是 x 的函数 ,隐函数求导法则隐函数求导法则:用复合函数求导法则；直接对方程两边用复合函数求导法则；直接对方程两边求导求导.函数为隐函数隐函数 （implicit function ）.则称此隐函数求导方法求导方法: 0),(yxFd( , ( )0dF x y xx两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )(含导数 的方程)y2021-12-14例. 求求sincos3(0)xyxx（）的导数 . 解解: 两边取对数 , 化为隐式lnsinlncos3yxx两边对 x 求导yy1coslncos3xx1sin( sin3 )3cos3

17、xxxsincos3(coslncos33sintan3 )xyxxxxx七:取对数的求导2021-12-14二、微分运算法则二、微分运算法则三、微分在近似计算中的应用三、微分在近似计算中的应用第三节第三节一、微分的概念及几何意义一、微分的概念及几何意义 函数的微分2021-12-14的微分微分,定义定义2.7: 若函数若函数)(xfy 在点 的增量可表示为0 x)()(00 xfxxfy( A 为不依赖于为不依赖于x 的常数的常数)则称函数)(xfy 而 称为xA在)(xf0 x点记作,dy即dyA x)( xoxA在点0 x可微可微,0()lim0 xoxx 2021-12-14定理 :

18、函数函数)(xfy 在点 可微的充要条件充要条件是0 x)(xfy 在点 处可导,0 x且, )(0 xfA即0d()yfx dx2021-12-141. .基本初等函数的微分公式基本初等函数的微分公式dc =微分的基本公式及其运算法则微分的基本公式及其运算法则0.dx = x - -1dx.dex =exdx.dax =axlnadx.d1xx.dln1xaxdsin x =cos xdx.dcos x = - - sin xdx.dtan x =sec2 xdx.dcot x =- - csc2 xdx.dsec x =sec xtan xdx.dcsc x =- - csc xcot x

19、dx.ln x dax dlog2021-12-14.d112xx .d112xx .d112xx .d112xx arcsin x darccosx darctan x dcot x darc2021-12-14三、其他未定式三、其他未定式 二、二、 型未定式型未定式一、一、 型未定式型未定式00导数的应用导数的应用洛必达法则 2021-12-14一、1) lim( )lim ( )0 xaxaf xg x( )3) lim( )xafxg x存在 (或为 )( )( )limlim( )( )xaxaf xfxg xg x2)( )( ),f xg x与可导( )0g x且定理定理1 型未

20、定式型未定式00(洛必达法则) 2021-12-14二、型未定式型未定式1) lim( )lim( )xaxaf xg x ( )3) lim( )xafxg x存在 (或为)( )lim( )xaf xg x定理定理 2.( )lim( )xafxg x(洛必达法则)2)( )( ),f xg x与可导( )0g x且2021-12-14用洛必达法则应注意的事项用洛必达法则应注意的事项,00)1(才可能用法则才可能用法则的未定式的未定式或或只有只有 ,00 或或只要是只要是则可一直用下去则可一直用下去; ;(3) (3) 每用完一次法则每用完一次法则, ,要将式子整理化简要将式子整理化简;

21、;(5) (5) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限的其它性质结合使用限的其它性质结合使用. .(2) (2) 在用法则之前在用法则之前, ,式子是否能先化简式子是否能先化简; ;(4) (4) 运算过程中有非零极限因子，可先算出极限运算过程中有非零极限因子，可先算出极限; ;2021-12-14三、其他未定式:,0 ,00,1型0解决方法解决方法:通分转化转化000取倒数转化转化0010取对数转化转化例例. 求).0(lnlim0nxxnx型0解解: 原式nxxxlnlim0110limnxxxn0)(lim0nxnx洛洛2021-12-14型型00,

22、1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取对数取对数.0 通过通过)(ln)()()(xfxgxgexf 将三种不定式转化为将三种不定式转化为0.型。型。例例解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 0e . 1 xxxe1lnlim0 2021-12-14练习练习解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式2021-

23、12-14第三节第三节 函数的单调性函数的单调性 与极值与极值 一、单调性的判别法 二、函数的极值及其求法2021-12-14确定某个函数单调性的一般步骤是确定某个函数单调性的一般步骤是：（1）确定函数的定义域确定函数的定义域。）不不存存在在的的点点，并并（和和）（）求求出出使使（xfxf 02这些点为分界点，将定义域分为若干个区间这些点为分界点，将定义域分为若干个区间。（3）确定）确定)(xf 在各个子区间内的符号，从而判断在各个子区间内的符号，从而判断）的的单单调调性性。（出出xf2021-12-14定理 1 (极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时

24、由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf0( )f xx则在处没有极值点(3) )(xf 的符号保持不变的符号保持不变,xyo0 x xyo0 x 2021-12-14xyo0 x0 x 求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数(2)( )0;fx求驻点，即方程的根 与不可导点；;,)()3(判断极值点判断极值点在驻点左右的正负号在驻点左右的正负号检查检查xf .)4(求极值求极值( (不是极值点情形不是极值点情形) )xyo2021-12-14定理定理4(4(

25、第二充分条件第二充分条件) )第三章积分学第三章积分学:原函数的概念原函数的概念;:不定积分的概念不定积分的概念;:会用换元积分法会用换元积分法,分部积分法分部积分法;:定积分的概念定积分的概念,性质性质,几何意义几何意义;:微积分基本公式微积分基本公式;:定积分的换元积分法和分部积分法定积分的换元积分法和分部积分法;2021-12-14一、 原函数与不定积分的概念定义定义3. 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x)满足)()(xfxF,d)()(dxxfxF或在区间 I 上的一个原函数 .则称 F (x) 为f (x) 存在原函数 .上在则Ixf)( 定理定理 ,

26、)(上连续在区间若函数Ixf2021-12-14定义3. 2. )(xf在区间 I 上的原函数全体称为Ixf在)(上的不定积分,d)(xxf其中若, )()(xfxF则CxFxxf)(d)( C 为任意常数 )C 称为积分常数积分常数,不可丢不可丢 !记作2021-12-14(1)( )d( )f xxf xdxxfd)(xxfd)( )( )fx dxf xC( )( )df xfx dx( )( )fx dxdf xd ( )( )f xf xC(2)dxxC特别是：( )( )ff xx无论是先求导再积分；还是先积分后求导；都参加了两种运算，而这两种运都会被算是互逆的；两还原出来种运算互

27、相抵消；只；积分要是加常数C（4）（3）不定积分与导数的关系2021-12-14基基本本积积分分表表 kCkxkdx()1(是常数是常数););1(1)2(1Cxdxx;|ln)3(Cxxdx dxx211)4(;arctanCx dxx211)5(;arcsinCx xdxcos)6(;sinCx 2021-12-14 xdxsin)7(;cosCx xdx2cos)8( xdx2sec;tanCx xdx2sin)9( xdx2csc;cotCx (10);xxe dxeC(11); (01)lnxxaa dxCaaa且不定积分不定积分 掌握第一类,第二类换元法; 掌握分部积分法2021-

28、12-14 dxxxf)()(CxFduufxu)()()( 第一类换元公式第一类换元公式（凑微分法）说明：使用此公式的目的在于化难为易CxFCuFduufdxxxfxu)()()()()()(定理定理1 1难难易易换元公式可导，则有，具有原函数设)()()(xuuFuf2021-12-14常用的几种配元形式: 1)()df axbx()f axb)(dbxa a112)()dnnf xxx)(nxfnxdn13)(sin )cos dfxx x )(sin xfxsind4)(cos )sin dfxx x )(cosxfxcosd2021-12-145)(e )e d(e )dexxxxf

29、xf16)(ln ) d(ln )dlnfxxfxxx例 求求.)ln21 (dxxxxln21xlnd解解: 原式 =xln2121)ln21 (dxCx ln21ln212021-12-14设设)(tx 是是单单调调、可可导导函函数数，且且0)( t)(,)()()(1xtctFdtttf 又又设设)()(ttf 具具有有原原函函数数，即即定理定理2 2.)()(1cxFdxxf 则则注：注：1）保证代换）保证代换x= (t)的单调连续（有反函数）；的单调连续（有反函数）；第二类积分换元公式第二类积分换元公式 )(1)()()()2xtdtttfdxxf 代换代换 x= (t)，一起换。，

30、一起换。代回原变量2021-12-14小结:1. 第二类换元法常见类型第二类换元法常见类型: ,d),() 1xbaxxfn令nbxat,d),()2xxfndxcbxa令ndxcbxat,d),()322xxaxf令taxsin,d),()422xxaxf令taxtan,d),()522xaxxf令taxsec2021-12-14(16)tan dxx xxdcot)17(Cx coslnCx sinln2. 常用基本积分公式的补充常用基本积分公式的补充 7) 分母中因子次数较高时, 可试用倒代换倒代换 ,d)()6xafx令xat 2021-12-14xxad1)20(22xxad1)22

31、(22xaxd1)23(22xaxd1)21(22Caxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22xaxd1)24(22Caxx22ln22d(0)axxaaxarcsinCxax222122a2021-12-14分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudduvvuvudd分部积分法 “ 反对幂指三反对幂指三” badxxf)(01lim( )niiifx）据定积分的定义，在）据定积分的定义，在a，b上连续非负函数的定积上连续非负函数的定积分总表示由分总表示由y=f(x)，x=a，x=b与与x轴围成的单曲边梯形的轴围成的单曲边梯形的面积，即面积，即badxxf

32、)(的几何意义是由的几何意义是由y=f(x)，x=a，x=b与与x轴围成区域的轴围成区域的代数面积代数面积）定积分是一个数，定积分是一个数，不定积分是一个函数的原函数的全体不定积分是一个函数的原函数的全体 因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念因此，定积分和不定积分是两个完全不同的概念定积分存在定理定积分存在定理定理定理3.4上连续在函数,)(baxf.,)(可积在baxf定理定理3.5,)(上有界在函数baxf且只有有限个间断点 (证明略).,)(可积在baxf( ),( ),f xa bf xa b在上可积 则在上连续定积分的性质(设所列定积分都存在)abbaxxfxxfd)(d)(. 10d)(a