工程力学第15章(组合变形)

1、 中南大学土木建筑学院力学系中南大学土木建筑学院力学系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第十五章第十五章 组合变形组合变形 15-1 15-1 引言引言 叠加原理叠加原理 叠加原理的前提是线弹性范围的小变形。变形过大，叠加原理的前提是线弹性范围的小变形。变形过大，造成外力、内力、变形间的非线形关系。造成外力、内力、变形间的非线形关系。 将外力进行简化或分解，转化为几组静力等效载将外力进行简化或分解，转化为几组静力等效载荷，每组载

2、荷对应一种基本变形，分别计算各基本变形荷，每组载荷对应一种基本变形，分别计算各基本变形引起的内力、应力、应变和位移，进行叠加得组合变形引起的内力、应力、应变和位移，进行叠加得组合变形下的内力、应力、应变和位移。下的内力、应力、应变和位移。 15-2 15-2 平面弯曲组合平面弯曲组合 斜弯曲斜弯曲弯矩作用平面与惯性主轴平面不重合的弯曲。弯矩作用平面与惯性主轴平面不重合的弯曲。 外力都作用在通过梁轴外力都作用在通过梁轴线的两个不同的主轴平面内线的两个不同的主轴平面内 外力作用在通过轴线外力作用在通过轴线的非惯性主轴平面内的非惯性主轴平面内 斜弯曲为若干平面弯曲的组合变形斜弯曲为若干平面弯曲的组合

3、变形 一、内力与应力的计算一、内力与应力的计算 cosyFF sinzFF xy平面内的弯曲，中性轴为平面内的弯曲，中性轴为z xz平面内的弯曲，中性轴为平面内的弯曲，中性轴为y zyMFxyzMFx任意截面任意截面x上的内力上的内力( xy平面内的弯曲平面内的弯曲 ) ( xz平面内的弯曲）平面内的弯曲）zyMFxyzMFx任取截面任取截面x上任意点，坐标为上任意点，坐标为( y , ,z )yzyzM zM yIIyyM zI zzM yI yzyzM zM yII 中性轴方程中性轴方程 0yzyzM zM yII二、最大正应力与强度条件二、最大正应力与强度条件 设危险截面上危险点（正应力

4、最大点）的坐标为设危险截面上危险点（正应力最大点）的坐标为( y0 , ,z0) 00maxmax()yzyzM zM yII1.1.矩形截面矩形截面 00maxmax()yzyzM zM yII max()yzyzMMWW maxmax()yzyzMMWW2.2.圆截面圆截面 22maxmaxmax()()yzMMMWW 22maxmaxmax()()yzMMMWW 正应力分布规律同前，离中性轴最远的点应力最正应力分布规律同前，离中性轴最远的点应力最大。对于圆形截面两个最大正应力值的位置不重合在大。对于圆形截面两个最大正应力值的位置不重合在一点，但圆截面对于任意直径轴的抗弯截面系数是一一点，

5、但圆截面对于任意直径轴的抗弯截面系数是一样的，同时有一根直径轴必为截面中性轴，所以截面样的，同时有一根直径轴必为截面中性轴，所以截面的最大正应力可求出截面的合弯矩后采用上述公式计的最大正应力可求出截面的合弯矩后采用上述公式计算。算。 例：例：图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度图所示一矩形截面悬臂梁，截面宽度b = 90mm ，高，高度度h = 180mm ，两在两个不同的截面处分别承受水平力，两在两个不同的截面处分别承受水平力F1和和铅垂力铅垂力F2。已知。已知F1 = 800N ，F2 = 1650N ，l = 1m ，求梁内的，求梁内的最大正应力并指出其作用位置。最大正应力并指出其作用位置。

6、 maxmaxtmaxyzyzMMWW 9.98MPa maxmaxcmax()9.98MPayzyzMMWW 解：解：经分析固定端处经分析固定端处A 点拉点拉应力最大，应力最大，B 点压应力最大点压应力最大 21222/6/6F lF lbhhb29291650 12 800 190 18010/6180 9010/6 例：例：图示吊车梁，跨度图示吊车梁，跨度l = 4m ，用，用No.20a 工字钢制成。当起工字钢制成。当起吊时，由于被吊物体位置偏斜，致使载荷偏离梁截面的铅垂对称吊时，由于被吊物体位置偏斜，致使载荷偏离梁截面的铅垂对称轴。若载荷轴。若载荷F = 20kN ，偏斜角，偏斜角=

7、5o，试计算梁内的最大弯曲正应，试计算梁内的最大弯曲正应力。力。 解：解：当载荷位于梁中点时，梁截面的弯矩当载荷位于梁中点时，梁截面的弯矩My 、Mz 在中点位在中点位置同时有最大值置同时有最大值3omax20 10sin541743N m44zyF lM3omax20 10cos541992N m44yzF lM查型钢表查型钢表 433.15 10 mmyW 532.37 10 mmzW maxmaxmaxyzyzMMWW 4959174319923.15 10102.37 1010139.4MPa 15-3 15-3 弯拉（压）组合弯拉（压）组合 轴向力与横向力同时作用轴向力与横向力同时作

8、用 拉（压）与弯曲的组合拉（压）与弯曲的组合 不通过截面形心的纵向不通过截面形心的纵向力，即偏心拉伸与压缩力，即偏心拉伸与压缩一、轴向力与横向力同时作用引起的弯拉（压）组合一、轴向力与横向力同时作用引起的弯拉（压）组合 1.1.内力与应力的计算内力与应力的计算 轴向力轴向力 NF横向力横向力 SFM（对实心截面引起切应力很小，忽略）（对实心截面引起切应力很小，忽略） NNFA MzM yI NNMzFM yAI 2.2.最大正应力与强度条件最大正应力与强度条件 轴力为拉力轴力为拉力 NmaxtmaxzFMAW NmaxcmaxzFMAW 轴力为压力轴力为压力 NmaxcmaxzFMAW Nma

9、xtmaxzFMAW 危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力），强度危险点为单向应力状态（忽略弯曲切应力），强度条件：条件： tmaxt cmaxc 二、偏心载荷引起的弯拉（压）组合二、偏心载荷引起的弯拉（压）组合 1.1.内力与应力的计算内力与应力的计算 偏心力偏心力F 向截面形心平移向截面形心平移NFF yzMF ezyMF eFzF e yF e NyzzyMzMyFAII 2.2.最大正应力与强度条件最大正应力与强度条件 矩形截面矩形截面 轴力为拉力轴力为拉力 Ntmax66yyzzyzMFeMFeFFAWWAAhAb cmax66yyzzNyzMFeMFeFFAWWAAhAb 66(1

10、)yzeeFAbh 66(1)yzeeFAbh 轴力为压力轴力为压力 Ncmax66yyzzyzMFeMFeFFAWWAAhAb 66(1)yzeeFAbh 66(1)yzeeFAbh Ntmax66yyzzyzMFeMFeFFAWWAAhAb 危险点为单向应力状态，强度条件：危险点为单向应力状态，强度条件： tmaxt cmaxc 例：例：小型压力机的铸铁框架如图，已知材料的许用拉应力小型压力机的铸铁框架如图，已知材料的许用拉应力t = 30MPa ，许用压应力，许用压应力c = 160MPa 。试按立柱的强度确。试按立柱的强度确定压力机的最大许用压力定压力机的最大许用压力F 。 解：解：

11、计算截面的几何性质计算截面的几何性质 217.5 10 mz 2212.5 10 mz 3215 10 mA 845310 10 myI 求截面内力求截面内力 由平衡条件可得截面的轴力和弯矩分别为由平衡条件可得截面的轴力和弯矩分别为 NFF 21(35) 100.42N myMzFF 求截面最大拉、压应力，以抗拉、压强求截面最大拉、压应力，以抗拉、压强度条件求最大许用压力度条件求最大许用压力 21tmaxt380.4257.5 1015 105310 10yNyM zFFFAI 45.1kNF 解得：解得： 22cmaxc380.42512.5 1015 105310 10yNyM zFFFA

12、I 171.3kNF 解得：解得： 所以压力机的最大许用压力所以压力机的最大许用压力 F = 45.1kN 。 例：例：图示梁承受集中载荷图示梁承受集中载荷F 作用，已知载荷作用，已知载荷F = 10kN ，梁长，梁长l = 2m ，载荷作用点与梁轴的距离，载荷作用点与梁轴的距离e = l / 10 ，方位角，方位角=30o ，许用应力，许用应力=160MPa 。试选择合适的工字钢型号。试选择合适的工字钢型号。 解：解： 计算简图确定计算简图确定 ocos10cos308.66kNxFF osin10sin305kNyFF e28.661.732kN m10M 轴向拉伸轴向拉伸 xy 平面内弯

13、曲平面内弯曲 作各变形对应的内力图作各变形对应的内力图 N8.66kNxFFA5 21.7328.268N mMB1.732kN mM 由内力图及强度公式可判断由内力图及强度公式可判断A 截面为危险截面截面为危险截面 FN 图图 M 图图 根据弯曲强度条件初步选择工字钢型号根据弯曲强度条件初步选择工字钢型号 AmaxzMW 353A68.268 105.17 10 m160 10zMW 查型钢表初步选择查型钢表初步选择No.12.6 工字钢工字钢 537.75 10 mzW 321.81 10 mA 按弯拉组合受力校核强度按弯拉组合受力校核强度 33NAmax358.66 108.268 10

14、111.5MPa1.81 107.75 10zFMAW所以选择所以选择No.12.6 工字钢满足强度要求。工字钢满足强度要求。 15-4 15-4 弯扭组合与弯拉（压）弯扭组合与弯拉（压）扭组合扭组合 一、弯扭组合一、弯扭组合 1.1.内力与应力的计算内力与应力的计算 横向力横向力 SyFyMMyzyzMzMyII SzFzM力偶矩力偶矩 TPTI 不考虑不考虑危险截面为危险截面为A截面截面 yMMyzyzMzMyII zMTPTI 2.2.强度条件强度条件 弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面第三或第

15、四强度理论建立强度条件。分析危险截面A上危险点上危险点D1 1的应力状态，求得的应力状态，求得 2211(4)220 2231(4)2 22r34 22r43 在圆轴表面处两点正应力和切应力同时有最大值，强在圆轴表面处两点正应力和切应力同时有最大值，强度条件的相当应力有最大值度条件的相当应力有最大值 MMW TPTW 3(32dW 3P)16dW 按第三强度理论，强度条件按第三强度理论，强度条件 22r3MT4 22r3MTW 按第四强度理论，强度条件按第四强度理论，强度条件 22r4MT3 22r40.75MTW 危险截面的判定：危险截面的判定：22max()MT 22max(0.75)MT

16、 22maxr3()MTW 22maxr4(0.75)MTW 强度条件：强度条件：或或的截面的截面 例：例：图所示传动轴图所示传动轴AB 由电动机带动。已知电动机通过联由电动机带动。已知电动机通过联轴器作用在截面轴器作用在截面A 上的扭力偶矩为上的扭力偶矩为M1 = 1kNm ，皮带紧边与，皮带紧边与松边的张力分别为松边的张力分别为FN 与与 ，且，且 ，轴承，轴承C 、B 间的距间的距离离l = 200mm ，皮带轮的直径，皮带轮的直径D = 300mm ，轴用钢制成，许用，轴用钢制成，许用应力应力 = 160MPa 。试按第四强度理论确定轴。试按第四强度理论确定轴 AB 的直径。的直径。

17、NF NN2FF 解：解： 确定计算简图确定计算简图 以轴为研究对象，建立平衡方程以轴为研究对象，建立平衡方程 ()0:xMF NN1022F DF DM ()0:xMF NN1022F DF DM 解得：解得： NN2FF N6.67kNF 将力将力 与与 向向AB 轴简化轴简化NFNF NN20.01kNFFF NN21kN m22F DF DM 作用在截面作用在截面E 上的横向力上的横向力作用在截面作用在截面E 上的扭转力偶矩上的扭转力偶矩 作各变形对应的内力图作各变形对应的内力图 T 图（扭转）图（扭转） M 图（铅垂平面内的弯曲）图（铅垂平面内的弯曲） 1kN mT max20.01

18、0.21kN m22M由内力图及强度公式可判断危险截面在由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处处 1kN mT max20.010.21kN m22M由内力图及强度公式可判断危险截面在由内力图及强度公式可判断危险截面在E 处处 确定确定AB 轴的直径轴的直径 2222r430.75320.75MTMTWd 0.0438m 所以所以AB 轴的直径轴的直径d = 44mm 。 223320.75MTd 32323632 (1.0 10 )0.75 (1.0 10 )160 10 例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮例：图所示齿轮传动轴，用钢制成。在齿轮1 上作用有径上作用有径向力向力Fy =

19、3.64kN，切向力，切向力Fz = 10.0kN，在齿轮，在齿轮2 上作用有径向上作用有径向力力 ，切向力，切向力 。若轴的直径。若轴的直径d = 52mm ，直径直径D1 = 200mm ，D2 = 400mm ，许用应力，许用应力 = 100MPa ，按第四强度理论校核轴的强度。按第四强度理论校核轴的强度。 1.82kNzF 5.0kNyF （左视图）（左视图） 将力将力 向轴简化向轴简化zF作用在截面作用在截面A 上上xz 平面内的横向力平面内的横向力作用在截面作用在截面A 上的扭转力偶矩上的扭转力偶矩 解：解： 确定计算简图，计算轴承约束力确定计算简图，计算轴承约束力 10.0kNz

20、F 111kN m2zF DM Fy滑移滑移 将力将力 向轴简化向轴简化yF 作用在截面作用在截面C 上上xy 平面内的横向力平面内的横向力作用在截面作用在截面C 上的扭转力偶矩上的扭转力偶矩 5.0kNyF 2211kN m2yF DM 滑移滑移zF以轴为研究对象，建立平衡方程以轴为研究对象，建立平衡方程 ()0:zMF D0.10.30.60yyyFFF ()0:yMF D0.10.30.60zzzFFF 解得：解得： D1.893kNyF D0.757kNzF T 图（扭转）图（扭转） Mz 图（图（xy 平面内的弯曲）平面内的弯曲） My 图（图（xz 平面内的弯曲）平面内的弯曲） 1

21、kN mT A0yM B10 0.11.0kN myMC0.757 0.30.227kN myMD0yM A0zM B3.64 0.10.364kN mzM C1.893 0.30.568kN mzMD0zM 作各变形对应的内力图作各变形对应的内力图 强度校核强度校核 由内力图及强度公式可判由内力图及强度公式可判断危险截面在断危险截面在B 处处 22BBr4222BBB0.75()0.75yzMTWMMTW 22626332(0.3641.0 ) 100.75 1.0100.052 99.4MPa 所以轴的强度满足要求。所以轴的强度满足要求。 二、弯拉（压）扭组合二、弯拉（压）扭组合 横向力横

22、向力 SyFyM（对实心截面引起切应力很小，忽略）（对实心截面引起切应力很小，忽略） MyzyzMzMyII SzFzM力偶矩力偶矩 TPTI 1.1.内力与应力的计算内力与应力的计算 F轴向力轴向力 NFNNFA 危险截面为危险截面为A截面截面 2.2.强度条件强度条件 弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用弯扭组合受力的圆轴一般由塑性材料制成，采用第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面第三或第四强度理论建立强度条件。分析危险截面A上危险点上危险点D1 1的应力状态，求得的应力状态，求得 2211(4)220 2231(4)2 22r34 22r43 在圆轴表面处一点正应力和切应力同时有最大值，强在圆轴表面处一点正应力和切应力同时有最大值，强度条件的相当应力有最大值度条件的相当应力有最大值 MMW TPT