相似专题六圆与相似分享资料

1、2021/3/29127.2.1常见圆中相似问题常见圆中相似问题2021/3/292第一部分 圆中的相似模型母子型（尤其是直角三角形的母子型）2021/3/293 如图，AB是 O的直径，点C在圆上，CDAB，DEBC，则图中与ABC相似的三角形的个数有( ) A.4个B.3个C.2个D.1个2021/3/294如图，A、B、C、D是 O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4， ACEBDE (2) ABEADB (2)求AB的长度 2021/3/295如图，AB是 O的直径，点E是 上的一点，DBC=BED （1）求证：BC是 O的切线； （2）已知AD=3，CD=2，

2、求BC的长 AD2021/3/296如图，在ABC中，BA=BC，以AB为直径作 O，交AC于点D，连接DB，过点D作DEBC，垂足为E（1）求证：DE为 O的切线；（2）求证：DB2=AB * BE2021/3/297第二部分 圆中辅助线1.直径所对的圆周角是90度2.有切线连切点和圆心2021/3/298如图，直线 与半径为4 的 相切于点 ， 是 上 的一个动点（不与点重合），过点 作 ，垂足为 ，连接 。 设 ， ，则 的最大值是_ 2021/3/299如图，在 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 。 （1）求证： 。（2）若 ， ，求 的长。2021/3/2910如图，以 的

3、一边 直径的半圆与其它两边 ， 的交点分别为 ， ，且 。 （1）试判断 的形状。（2）已知半圆的半径为5， ，求AD的值。2021/3/2911如图， 是 的直径， 点在 上， 的平分线交 于点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ，连接 交 于点 （1）猜想 与 的位置关系，并证明你的猜想。（2）若 ， ，求 的长。2021/3/2912DEFPCBA2021/3/2913回顾与反思圆与相似三角形综合题解题思路圆与相似三角形综合题解题思路平行法SSSSASHLAA圆ABCDEF三角形相似对应角相等对应边成比例2021/3/2914 在在 O中，弦中，弦AB，CD相交于点相交于点P,连连接接

4、AC.已知已知AC=2，BD=4，AP=1。 (1) 证明证明ACP DBP; (2) 求线段求线段DP的长的长.OPDCBA基础练习同弧所对的圆周角相等同弧所对的圆周角相等.2021/3/2915 在在 O中，弦中，弦AB，CD相交于点相交于点P,点点A为为CD弧中点弧中点,连接连接AC,BD,AD,已知已知AP=2，BP=4. (1) 证明证明ADP ABD (2) 求线段求线段AD 的值的值OPDCBA中考变式2等弧所对的圆周角相等等弧所对的圆周角相等.2021/3/2916 如图如图,已知已知AB是是 O的直径的直径,点点C是是 O上一点上一点,连接连接AC,过点过点C作作CDAB于于

5、D点，点，E是是AB上一上一点点,直线直线CE与与 O相交于点相交于点F,连接连接AF与线段与线段CD的延长线交于点的延长线交于点G.(1)试说明试说明:ACGAFC.(2)若若AG=2，AF=6，求以，求以AC为边的正方形面积为边的正方形面积.AEDCBFGO中考链接2021/3/29172021/3/29182021/3/2919 在半径为在半径为r r的的O O中，直径中，直径ABAB直径直径CDCD，P P为弧为弧BCBC上任意一点，上任意一点，PD PD 交交ABAB于于E E点，点，PAPA交交CDCD于于F F点点. .求证求证: :(1)(1) (2) (2)四边形四边形ADE

6、FADEF的面积为的面积为r r2 2DEFPCBA思维拓展2ADAEDF 圆结合三角形外角内角等知识综合演绎找等角.O2021/3/2920 小结圆与相似三角形综合题解题思路圆与相似三角形综合题解题思路平行法SSSSASHLAA圆ABCDEF三角形相似对应角相等对应边成比例在圆中找到相等角的方法在圆中找到相等角的方法:（ 作辅助线构造）作辅助线构造） 同弧或等弧所对圆周角相等。同弧或等弧所对圆周角相等。 结合三角形外角内角等知识综合演绎。结合三角形外角内角等知识综合演绎。直径配垂直。直径配垂直。2021/3/2921练习练习1 如图，如图，AD是是ABC的高，的高，AE是是ABC外接圆外接圆

7、 O的直径，且的直径，且AC=5，AD=4，AB=求圆的直径求圆的直径AE的长（改为求圆的面积呢）的长（改为求圆的面积呢）4 2巩固练习2021/3/2922中考题解析中考题解析练习练习22021/3/2923中考题解析中考题解析考查了圆周角定理、垂径定理考查了圆周角定理、垂径定理 ,相似三角形的相似三角形的判定与性质判定与性质分析：分析：（1）证明：如图）证明：如图A与与B都是对弧都是对弧CD的圆周角，的圆周角， A=B， 又又1=2， ADEBCE； 2021/3/2924中考题解析中考题解析考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形考查了圆周角定理、垂径定理一相似三角形的判定与性质此题难度不

8、大，注意数形结的判定与性质此题难度不大，注意数形结合思想的应用合思想的应用 2）证明：如图，）证明：如图，AD2=AEAC，又又A=A，ADEACD，AED=ADC，又，又AC是是 O的直径，的直径，ADC=90，即，即AED=90，直径直径ACBD，CD=CB2021/3/2925练习练习3ABC中，中，AB=AC，以，以AB为直径为直径的的 O交交BC于于D，交，交AC于于E。若若AB=6，CD=2，求，求CE的长。的长。ABCDO图图12021/3/2926证明：证明：AB是是 O的直径，的直径， ACB=90，又又CDAB于于D，BCD=A，A=F，F=BCD=BCG，在，在BCG和和

9、BFC中，中，BCGBFC练习练习4 （湖北（湖北黄冈卷）如图，已知黄冈卷）如图，已知AB是是 O的直的直径，点径，点C是是 O上一点，连结上一点，连结BC，AC，过点，过点C作直作直线线CDAB于点于点D，点，点E是是AB上一点，直线上一点，直线CE交交 O于点于点F，连结，连结BF，与直线，与直线CD交于点交于点G求证：求证：BFBGBC2BCBFBGBC2BCBGBF2021/3/2927解：延长解：延长CG交交 O于点于点M,ABCM直径BCBM,MCBCFB是公共角，又CBFGCBCFBBFBGBC2BCBFBGBC2021/3/2928练习练习5 ABC内接于内接于 O，D是是 O

10、上一点，连结上一点，连结BD、CD、AC、BD，交，交于点于点E。(1)请找出图中的相似三角形，并加以证请找出图中的相似三角形，并加以证明；明；(2)若若D=45，BC=2，求，求 O的的面积。面积。ABCDOE2021/3/2929相似基本图形相似基本图形1. 平行相似平行相似 2.两角相等两角相等“A”字型字型“X”字型字型（1=C）(DEBC)平移平移双垂图双垂图 角特殊化角特殊化特别注意直角三角形的相似特别注意直角三角形的相似2021/3/2930中考题如图中考题如图3，在，在RtABC中，中，C=90，点，点D是是AC的中点，且的中点，且A+CDB=90，过点，过点A，D作作 O，使

11、圆心，使圆心O在在AB上，上， O与与AB交于点交于点E（1）求证：直线）求证：直线BD与与 O相切；相切；（2）若）若AD：AE=4：5，BC=6，求，求 O的直径的直径分析：连接分析：连接OD，由，由A=ADO,进而得到进而得到ODB=90,直线直线BD 与与 O相切；连接相切；连接DE,利用利用ADEACB,进而得到进而得到AC：AB=4：5,求出结果。求出结果。2021/3/2931 1.如图，已知如图，已知 O的两条弦的两条弦AB、CD交于交于E，AE=BE=6,ED=4，则，则CE=_.CDBAE9OAEBCD2021/3/29322、已知：如图，、已知：如图，ABC内接于内接于

12、O，AD是是 O的直径，的直径，AEBC于点于点E，AB=6，AC=5，AE=4，求，求AD的长。的长。CABDOE2021/3/29333、如图，、如图，ABC是是 O的内接三角的内接三角形，形，D是是AC的中点，的中点，BD交交AC于点于点E。(1)CDE与与BDC相似吗？为什么？相似吗？为什么？(2)若若DEDB=16，求，求DC的长。的长。DCABOE2021/3/2934练习1：如图，A、B、C、D是 O上的四个点，AB=AC，AD交BC于点E，AE=3，ED=4，则AB的长为_2021/3/2935练习2：如图,等边ABC中内接于圆O,D为弧AC上一点,CD的延长线与BA的延长线交

13、于E,若AB=根号15,DE=2,则CD的长为2021/3/29364.（ 2012 黄冈）如图，在 ABC中， BA BC，以 AB为直径作半圆 O，交 AC于点 D连接 DB，过点 D作 DE BC，垂足为点 E（ 1 ）求证： DE为 O的切线（2 ）求证： DB 2 AB BE2021/3/29375.如图，AB是O的直径，C是O上一点，AD垂直于过点C的直线，垂足为D，且AC平分BAD(1)求证：CD是 O的切线；(2)若AC2根号6，AD4，求AB的长2021/3/2938练习1（2012大连）如图，AB是O的直径，点C在O上，CAB的平分线交O于点D，过点D作AC的垂线交AC的延

14、长线于点E，连接BC交AD于点F（1）猜想ED与O的位置关系，并证明你的猜想；（2）若AB=6，AD=5，求AF的长2021/3/2939练习2 如图，AB是O的直径，点C为O上一点，AE和过点C的切线互相垂直，垂足为E，AE交O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，BC，PBPC12.（1）求证：AC平分BAD；（2）探究线段PB，AB之间的数量关系，并说明理由；（3）若AD3，求ABC的面积.2021/3/2940练习3如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切O于点C，BDPD，垂足为D，连接BC（1）求证：BC平分PDB；（2）求证：BC2=ABBD；（3）若PA

15、=6，PC=6根号2，求BD的长2021/3/29416.如图，已知如图，已知AB为为 O的直径，点的直径，点C是是 O上上一点（不与一点（不与A、B重合），过点重合），过点C作作 O的切的切线线CD,过点过点A作作CD的垂线，垂足是的垂线，垂足是M点点. 若若AB=6，AM=4，求，求AC的长的长. MBOACD2021/3/29427已知：如图，已知：如图，AB为为 O的直径，弦的直径，弦ACOD, BD切切 于于B,联结联结CD（1）判断）判断CD是否为是否为 O的切线，若是请证明；若的切线，若是请证明；若不是请说明理由不是请说明理由（2）若）若AC=2,OD=6,求求 O的半径的半径D

16、CBAO2021/3/29438. 如图，如图，AB为为 O的直径，的直径，AB=4，点，点C在在 O上，上， CFOC，且，且CF=BF. v求证：求证：BF是是 O的切线的切线;v设设AC与与BF的延长线交于点的延长线交于点M，若，若MC=6，求求AC的长；求的长；求M的大小；的大小；MCF的大小的大小.AFCOBM2021/3/2944题型分类题型分类深度剖析深度剖析【例例 1 1】(2014(2014玉林玉林) )如图的如图的O O中，中，ABAB为直径，为直径，OCABOCAB， 弦弦CDCD与与OBOB交于点交于点F F，过点，过点D D、A A分别作分别作O O的切线交于点的切线

17、交于点 G G，并与，并与ABAB延长线交于点延长线交于点E.E. (1) (1)求证：求证：1 12.2. (2) (2)已知：已知：OFOBOFOB1313，O O的的 半径为半径为3 3，求，求AGAG的长的长 典例精析典例精析2021/3/2945题型分类题型分类深度剖析深度剖析【例例 2 2】(2014(2014咸宁咸宁) )如图，已知如图，已知ABAB是是O O的直径，直线的直径，直线CDCD 与与O O相切于点相切于点C C，ADCDADCD于点于点D.D. (1) (1)求证：求证：ACAC平分平分DABDAB； (2)(2)若点若点E E为为 的中点，的中点，ADAD ，AC

18、AC8 8，求，求ABAB和和CECE的长的长 典例精析典例精析2021/3/2946题型分类题型分类对点训练对点训练1. 1. (2014(2014荆门荆门) )如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，D D、E E是半圆上任是半圆上任 意两点，连接意两点，连接ADAD、DEDE、AEAE与与BDBD相交于点相交于点C C，要使，要使ADCADC与与 ABDABD相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错相似，可以添加一个条件下列添加的条件中错 误的是误的是 ( () ) A. ACD A. ACDDAB DAB B. ADB. ADDEDE C. AD C. AD2 2BDCD

19、 BDCD D. ADABD. ADABACBD ACBD 对点训练对点训练2021/3/2947题型分类题型分类对点训练对点训练2. 2. (2014(2014内江内江) )如图，如图，RtRtABCABC中，中，ACBACB9090，ACAC4 4， BCBC6 6，以斜边，以斜边ABAB上的一点上的一点O O为圆心所作的半圆分别与为圆心所作的半圆分别与 ACAC、BCBC相切于点相切于点D D、E E，则，则ADAD为为 ( () ) A. 2.5 A. 2.5 B. 1.6 B. 1.6 C. 1.5 C. 1.5 D. 1 D. 1 对点训练对点训练2021/3/2948题型分类题型

20、分类对点训练对点训练3. 3. (2014(2014绵阳绵阳) )如图，如图，ABAB是半圆是半圆O O的直径，的直径，C C是半圆是半圆O O上一点，上一点， OQBCOQBC于点于点Q Q，过点，过点B B作半圆作半圆O O的切线，交的切线，交OQOQ的延长线于的延长线于 点点P P，PAPA交半圆交半圆O O于于R R，则下列等式中正确的是，则下列等式中正确的是 ( () ) 对点训练对点训练2021/3/2949题型分类题型分类对点训练对点训练4. 4. (2014(2014南宁南宁) )如图，如图，ABCABC是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ACACBCBC a a，以斜边，以斜

21、边ABAB上的点上的点O O为圆心的圆分别与为圆心的圆分别与ACAC、BCBC相切于点相切于点 E E、F F，与，与ABAB分别交于点分别交于点G G、H H，且，且EHEH的延长线和的延长线和CBCB的延长的延长 线交于点线交于点D D，则，则CDCD的长为的长为_ 对点训练对点训练2021/3/2950题型分类题型分类对点训练对点训练6. 6. (2014(2014陕西陕西) )如图，如图，O O的半径为的半径为4 4，B B是是O O外一点，连接外一点，连接 OBOB，且，且OBOB6 6，过点，过点B B作作O O的切线的切线BDBD，切点为，切点为D D，延长，延长BOBO 交交O O于点于点A A，过点，过点A A作切线作切线BDBD的垂线，垂足为的垂线，垂足为C. C. (1) (1)求证：求证：ADAD平分平分BACBAC； (2)(2)求求ACAC的长的长 对点训练对点训练2021/3/2951题型分类题型分类对点训练对点训练7. 7. (2014(2014资阳资阳) )如图，如图，ABAB是是O O的直径，过点的直径，过点A A作作O O的切线的切线 并在其上取一点并