必修五一元二次不等式及其解法

1、3.2 一元二次不等式及其解法学习目标：1.掌握一元二次不等式的解法(重点).2. 能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点).自主预习探新知1. 一元二次不等式的概念只含有未知数，并且未知数的最高次数是的不等式，称为一元二次 不等式.2. 一元二次不等式的一般形式2(1) ax + bx+ c>0(a0).2(2) ax + bx+ c 0(a0).2(3) ax + bx+ CV 0(a 0).2(4) ax + bx+ c 0(a 0).思考：不等式x2 y2>0是一元二次不等式吗？提示此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不 是一元二次不等式.3. 一元

2、二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解， 其解的集合，称为这个一元二次不等式的 .思考：类比“方程X2= 1的解集是1， 1,解集中的每一个元素均可 使等式成立”.不等式x2>1的解集及其含义是什么？提示不等式x2>1的解集为xx< 1或x>1,该集合中每一个元素都 是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立.4 三个“二次”的关系:设 f(x) = ax2 + bx+ c(a> 0),方程 ax2 + bx+ C = 0 的判别式 = b2- 4ac判别式 > 0 = 0 V 0解不 等式 f(x)> 0

3、或f(x)V 0的步骤求方程f (x) = 0的解有两个不等的实数解x, X2有两个相等的实数解Xi = X2没有实数解解不等式f(x)> 0或f(x)V 0的 步骤画函数y=f(x)的示意图V得等 的集不 式 解f(x)> 0Rf(x)V 0思考：若一元二次不等式ax2+ X-1>0的解集为R ,贝U实数a应满足什 么条件？提示结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 ax2+ X- 1>0的解集a>0C为R ,贝U'解得a ?,所以不存在a使不等式ax2+ X- 1>0的解1 + 4a<0,集为R.基础自测 1思考辨析(1) mx2 5x&l

4、t;0 是一元二次不等式 ( )2若a>0,则一元二次不等式 ax + 1>0无解.()若一元二次方程 ax2+ bx + C= 0的两根为X,X2(x<X2),则一元二次不等式 ax2+ bx+ c<0 的解集为xx1vvx2.()(4)不等式 x22x+ 3>0 的解集为 R.()提示： (1)错误当 m= 0 时,是一元一次不等式；当 m 0 时,是一元二 次不等式.错误.因为a>0 ,所以不等式ax2 + 1>0恒成立，即原不等式的 解集为R.(3)错误.当a>0时，ax2+ bx+ c<0的解集为xx1<x<x2,否则

5、不成 立正确.因为 = ( 2)2 12<0,所以不等式x2 2x+ 3>0的解集为R.2. (2018 全国卷 I )已知集合 A = x|x2 X 2>0,则？RA=()A . x| 1v XV2B . x| 1 x 2C. x|xv 1 U xX>2D . xx 1 U xX2B 通解 A = x(x 2)(x+ 1) >0 = x|xv 1 或 x>2,所以？RA = x 1 x 2,故选 B.优解 因为 A = xx2 X 2 > 0,所以？RA = xx2 X 2 0 = x 1 x 2,故选 B.3. 不等式x2 2x 5>2x的解

6、集是.xX>5 或 x< 1由 X2 2x 5>2x,得 x24x 5>0,因为 x24x5=0 的两根为 1,5,故 x2 4x 5>0 的解集为 x|x< 1 或 x>5 4不等式 3x2+ 5x 4>0 的解集为 .?原不等式变形为 3x2 5x+ 4<0.因为 = ( 5)2 4× 3× 4= 23<0,所以 3x2 5x+ 4 = 0 无解.由函数y= 3x2 5x + 4的图象可知，3x2 5x+ 4<0的解集为？.合作探究攻重难一元二次不等式的解法I类型11例1解下列不等式：(1) 2x规律方法

7、解不含参数的一元二次不等式的一般步骤 化标准通过对不等式的变形，使不等式右侧为0,使二次项系数为正 判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式 求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. 画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. 写解集.根据图象写出不等式的解集+ 7x+ 3>0;(2) -4x2 + 18x-81 0;(3) - 2x2 + 3x- 2<0.解(1)因为 72- 4 × 2 × 3= 25>0 ,所以方程 2x2+ 7x+ 3 = 0有两个1 2不等实根X=- 3, X2=-

8、2又二次函数y= 2x + 7x+ 3的图象开口向上，所1以原不等式的解集为 xx>-2或x<- 3 .9 29原不等式可化为2x-2 0 ,所以原不等式的解集为XX=4 .原不等式可化为 2x2- 3x+ 2>0 ,因为 = 9-4× 2× 2=- 7<0,所以 方程2x2- 3x+ 2= 0无实根，又二次函数y = 2x2- 3x+ 2的图象开口向上，所 以原不等式的解集为 R.跟踪训练1解下列不等式(1)2x2 3x 2>0; x2 4x+ 4>0;x2+ 2x 3<0;一3x2 + 5x 2>0.2 1解(1)v &g

9、t;0,方程 2x 3x 2= 0 的根是 xi= 2，X2= 2,不等式2x2 3x 2>0的解集为X x< 2或 x>2. V = 0 ,方程 x2 4x + 4 = 0 的根是 Xi = X2= 2, 不等式x2 4x+ 4>0的解集为xx2 .原不等式可化为x2 2x+ 3>0 , 由于<0,方程x2 2x+ 3= 0无解， 不等式x2+ 2x 3<0的解集为R.2原不等式可化为3x 5x+ 2<0,由于>0,方程3x2 5x + 2= 0的两根为Xi= 3, X2= 1,2 2不等式3x2+ 5x 2>0的解集为X 3<

10、;x<1.含参数的一元二次不等式的解法l2例2、解关于X的不等式ax2 (a + 1)x+ 1<0.思路探究：对于二次项的系数 a是否分a= 0, a<0, a>0三类进行讨论？当a0时，是否还要比较两根的大小?解当a= 0时，原不等式可化为x>1.当a 0时，原不等式可化为(ax 1)(x 1)<0.1当a<0时，不等式可化为x 1(x 1)>0,a1V 1<1,. x<1或 x>1.a1当a>0时，原不等式可化为x a(x 1)<0.11若一<1，即 a>1，贝U -<x<1;aa'

11、;1若-=1 ,即 a= 1，则 x ?;a11若一>1，即P 0<a<1 ,则 1<x<-. aa1综上所述，当a<0时，原不等式的解集为 X XW或x>1;当a = 0时，a1原不等式的解集为xx>1;当0<a<1时，原不等式的解集为 X 1<x<-;当 a1a= 1时，原不等式的解集为？；当a>1时，原不等式的解集为 XaVXVI .a跟踪训练2. 解关于X的不等式：ax2 22x ax(a<O).解原不等式移项得ax + (a 2)x 2 O,化简为(x+ 1)(ax 2) O.2TavO, . (x+

12、 1) x一 0.a2当一2<a<0 时， x 1;a当 a= 2 时，x= 1;2当 a< 2 时，一1xWa综上所述，2当一2<a<0时，解集为x2x 1;a当a= 2时，解集为x|x= 1;2当a< 2时，解集为X 1x2.a一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系类鑿探究问题1.利用函数y= x2 2x 3的图象说明当y>0、y<0、y= 0时X的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不 等式有何关系？提示：y = x2 2x 3的图象如图所示.函数y= x2 2x 3的值满足y>0时自变量X组成的集合，亦即二次函数 y

13、= 2 2x 3的图象在X轴上方时点的横坐标 X的集合xX< 1或x>3;同 理，满足y<0时X的取值集合为x| 1<x<3,满足y= 0时X的取值集合，亦 即y= X2 2x 3图象与X轴交点横坐标组成的集合 1,3 这说明：方程 ax2+ bx + C= 0(a0)和不等式 ax2 + bx+ c>O(a>O)或 ax2 + bx + c<0(a>0)是函数y= ax2 + bx+ c(a0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含 关系，也就是当 y= 0时，函数y= ax2+ bx+ c(a 0)就转化为方程，当 y>0 或y<

14、;0时，就转化为一元二次不等式2方程X2 2x 3= 0与不等式X2 2x 3>0的解集分别是什么？观察结 果你发现什么问题？这又说明什么？提示：方程X2 2x 3= 0的解集为 1,3.不等式X2 2x 3>0的解集为xx< 1或x>3,观察发现不等式 x2 2x 3>0解集的端点值恰好是方程 X2 2x 3 = 0的根.3. 设一元二次不等式 ax2+ bx + c>0(a>0)和 ax2 + bx+ c<0(a>0)的解集分 别为XX<X1 或 X>X2， X|X1<X<X2(X1<X2)，贝U X1 +

15、 X2， X1X2 为何值？提示：一元二次不等式 ax2+ bx+ c>0(a>0)和ax2 + bx+ c<0(a>0)的解集分X1+ X2 =别为XX<X1 或 X>X2， xX1<X<X2(X1<X2),则a'Cx1x2=a，即不等式的解集的端点值是相应方程的根.例3、已知关于X的不等式ax2+ bx+ c>0的解集为x2<x<3,求关于X 的不等式cx2+ bx+ a<0的解集解 法一：由不等式ax2+ bx+ c>0的解集为x2<x<3可知，a<0,且2和3是方程ax2 +

16、bx+ C= 0的两根，由根与系数的关系可知 =- 5, C = 6.由a<0 aa知 c<0, b= 5,故不等式 cx2+ bx + a<0,即 x2+ bx+ a>0,即 x2-x+1>0,C 6CC66解得x<3或 x>2,所以不等式Cx2+ bx+ a<0的解集为-, 3 U 1,+ 例3、已知关于X的不等式ax2+ bx+ c>0的解集为x2<x<3,求关于X 的不等式cx2+ bx+ a<0的解集.法二：由不等式ax2+ bx+ c>0的解集为x2<x<3可知，a<0,且2和3 是方程

17、 ax2 + bx+ C= 0 的两根，所以 ax2 + bx+ C= a(x- 2)(x 3) = ax2- 5ax+2 2 16a? b=- 5a, C = 6a,故不等式 CX + bx+ a<0,即 6ax 5ax+ a<0? 6ax-31 1 1X- 2 <0,故原不等式的解集为 -, 3 2，+ .母题探究：1.(变结论)本例中的条件不变，求关于 X的不等式cx2- bx+a>0的解集.bC解由根与系数的关系知a= - 5, a=6且a<0aab 5.c<0, =-二，故不等式 cx2- bx+ a>0C 62 b a251即 X - ：x

18、+：<0 ,即 X +2x + 2<0.C c ,661 1解之得 X - 1<x< -1.2.(变条件)若将本例中的条件“关于 X的不等式ax2+ bx+ c>0的解集为21x2<x<3变为“关于X的不等式ax2+ bx + c0的解集是X -3X2 .求不等式CX2+ bx+ a<0的解集.2 11解法一：由ax-+ + bx+ c 0的解集为X 3 x 2 知av O.又一3C× 2=v 0,贝U C>0.a1 2 又一 3, 2为方程ax + bx + C= 0的两个根,3b_5. b_ 5a 3' a 3又C =

19、 一 12 2, 一 3.X1 = 1 = 3, X2=1，. b = I、1.不等式 Cx2+ bx+ av 0(c>0)的解集为 X 3v XV-a, c= Ia,.不等式变为 Ia x2+ Ia x+ av 0,即 2ax2+ 5ax 3a> 0.又 T av 0, . 2x2 + 5x 3v 0,1所求不等式的解集为 X 3v XV -.法二：由已知得 av 0 且一15 + 2= b,1 × 2 = C知 c> 0,3 a 3 a设方程Cx2+ bx + a = 0的两根分别为X1, X2,贝 U x1 + X2 =X1 x2=C,32'其中a规律

20、方法已知以a, b, C为参数的不等式如ax2+ bx+ c>0的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；根据根与系数的关系把b，C用a表示出来并代入所要解的不等式；(3)约去a，将不等式化为具体的一元二次不等式求解.当堂达标固双基1. ( 2019年兴庆区校级月考)不等式6x2+ X-2 0的解集为 .2 1【答案】X 3 x 2因为 6x2+ X-2 0? (2x- 1)(3x + 2) 0 ,所以、 2 1原不等式的解集为X 3 x 2.2. ( 2019年白山期末)不等式一2x2 + x+ 1<0的解集是.1【答案】 一'- 2 U (1'+ )由 2x2 X- 1>0,得(X- 1)(2x+ 1)>0,1 、 1解得x>1或X<-2，从而得原不