贝叶斯公式实用教案

1、定理1 (全概率公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组并且(bngqi)都具有正概率，则对任何一个事件B,有iiiP BP A P B A( )() (|)证：A1,A2,两两互斥，故A1B,A2B,两两互斥BB且iiBA()iiA B由加法(jif)法则iiP BP A B( )()再由乘法(chngf)法则iiiP A BP A P B A()() (|)iiiP BP A P B A( )() (|)故第1页/共20页第一页，共21页。定理2 (贝叶斯公式)若事件A1,A2,构成一个完备事件组，且都具有正概率(gil)，则对任何一个概率(gil)不为零的事件B,有mmmiiiP AP

2、 B AP A |BP A P B A() (|)()() (|)mmP A BP ABP B证：()(|)( )mmiiiP AP B AP A P B A() (|)() (|)各原因下条件(tiojin)概率已知 求事件发生概率求是某种原因造成得概率 事件(shjin)已发生全概率贝叶斯第2页/共20页第二页，共21页。例2 设5支枪中有2支未经试射校正，3支已校正。一射手(shshu)用校正过的枪射击，中靶率为0.9，用未校正过的枪射击，中靶率为0.4。(1)该射手(shshu)任取一支枪射击，中靶的概率是多少？(2)若任取一支枪射击，结果未中靶，求该枪未校正的概率。解：设A表示枪已校

3、正(jiozhng)，B表示射击中靶3P A5( ),则2P A5( ) P B A0 9(|).P B A0 1(|).P B A0 4(|).P B A0 6(|).1 P BP A P B AP A P B A( ) ( )( ) (|)( ) (|)320 90 455.0 7 .P A P B A2 P A BP A P B AP A P B A( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)20 65230 60 155.0 8 .第3页/共20页第三页，共21页。例3 有三个同样的箱子，A箱中有4个黑球1个白球，B箱中有3个黑球3个白球，C箱中有3个黑球5个白球。现任(x

4、inrn)取一箱，再从中任取一球，求(1)此球是白球的概率(2)若取出的是白球，求它取自B箱的概率。解：用A、B、C表示(biosh)A、B、C三个箱子取球用D表示(biosh)取出的是白球。则A、B、C是完备事件组。1P AP BP C3( )( )( )且115P D AP D BP D C528(|)(|)(|)第4页/共20页第四页，共21页。1 P DP A P D AP B P D BP C P D C( ) ( )( ) (|)( ) (|)( ) (|)111115353238531200 442.P B P D B2 P B DP A P D AP B P D BP C P

5、D C( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)( ) (|)113211111535323820530 378.第5页/共20页第五页，共21页。4P A0 410( ).例4 (抽签的公正性)设10支签中有4支难签。甲、乙、丙依次不放回的抽取(chu q)。求各人抽到难签的概率。解：分别(fnbi)用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。P BP A P B AP A P B A( )( ) (|)( ) (|)436410910936900 4 .P CP AB P C ABP AB P C ABP AB P C ABP AB P C AB( )() (|)() (|)() (

6、|)() (|)P A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C ABP A P B A P C AB( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)( ) (|) (|)432463643643654109810981098109810982887200 4 .第6页/共20页第六页，共21页。例5 设验血诊断某种疾病的误诊率仅为5，即若用A表示验血阳性，B表示(biosh)受验者患病，则P A BP A B5(|)(|)%。若受检人群中仅有0.5患此病，即P(B)=0.005。求一个验血阳性的人确患此病的概率。P B P A BP

7、 B AP B P A BP B P A B解：( ) (|)(|)( ) (|)( ) (|)0 005 0 950 005 0 950 995 0 05.0 087.若有10000人受检，患病者仅50人，其中验血(yn xu)阳性约47.5人而9950健康人中，验血(yn xu)阳性者为99500.05497.5人第7页/共20页第七页，共21页。7 7 独立试验概型独立试验概型(一)事件(shjin)的独立性故若A独立于B，则B也独立于A,称事件(shjin)A与事件(shjin)B相互独立。P AP A B( )(|)若P ABP B()( )P ABP BP A()( )( )则P

8、B A(|)关于独立性有如下(rxi)性质：定义1 若事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响，即P(A|B)=P(A),则称事件A独立于事件B。定义2 若n (n2)个事件A1,An中任何一个事件发生的可能性都不受其它一个或几个事件发生与否的影响，称A1,A2,An相互独立。第8页/共20页第八页，共21页。(1)事件A与B独立的充分(chngfn)必要条件是P(AB)=P(A)P(B)证：必要性若A与B中有一个事件概率(gil)为零，结论成立。设A与B的概率(gil)都不为零，由独立性P(B|A)=P(B)而由乘法法则可得P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B)充分性设P(B)0

9、,则P ABP A BP B()(|)( )P A P BP B( ) ( )( )=P(A)即A与B独立。第9页/共20页第九页，共21页。(2)若事件A与B独立，则A与B， A与B， A与B中的每一对事件都相互独立。证：P ABP AAB()()P AP AB( )()P A P B( ) ( )类似可证其它(qt)两对事件独立。=P(A)-P(A)P(B)=P(A)(1-P(B)由(1)可知，A与B独立。第10页/共20页第十页，共21页。(3)若事件(shjin)A1,A2,An相互独立，则有P(A1An)=P(A1)P(An)证：P(A1An)P(A1)P(A2|A1)P(An|A1

10、An-1)12n1n1n4A AAP AA1P AP A若事件相互独立，则有( ),.,(.)(). ()而P(A2|A1)=P(A2),P(An|A1An-1)=P(An)故P(A1An)P(A1)P(A2)P(An)n1n1由于A ,.，A 对立， A ,.证, A：也对立1nnP AA1(.)1P(A +.+A )1n1 P AA(.) 1n1 P AP A(). () 第11页/共20页第十一页，共21页。例1 设甲、乙两射手独立地射击(shj)同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9和0.8。求一次射击(shj)中，目标被击中的概率。解：分别(fnbi)用A,B表示甲、乙击中目标。目

11、标被击中，即至少(zhsho)有一人击中，即A+BA与B独立。故P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.9+0.8-0.90.8=0.98或由性质(4)=0.98P AB1 P A P B()( ) ( ) =1-0.10.2第12页/共20页第十二页，共21页。例2 一名士兵用步枪射击飞机，命中率为0.004。求：(1)若250名士兵同时射击，飞机被击中的概率。(2)多少(dusho)名士兵同时射击，才能使飞机被击中的概率达到99？解：用Ai表示第i名士兵(shbng)击中飞机，P(Ai)0.004125012501 P AA1 P AP A(

12、 ) (.)(). () 2501 0 996. 0 63.2n( )设要 名士兵同时射击1n1nP AA1 P AP A(.)(). ()n1 0 996. 0.99即0.996n0.010 01n0 996lg .lg .故1150第13页/共20页第十三页，共21页。例3 甲、乙、丙3部机床(jchung)独立工作，由一个工人照管，某段时间内它们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及0.85。求在这段时间内有机床(jchung)需要工人照管的概率以及机床(jchung)因无人照管而停工的概率。解：用A、B、C分别表示(biosh)在这段时间内机床甲、乙、丙不需要照管。则A、B、C相互

13、(xingh)独立，且P(A)=0.9P(B)=0.8P(C)=0.85P ABC()P ABC()1P ABC() 1 P A P B P C( ) ( ) ( ) 1 0 9 0 8 0 85. 0 388.P ABBCAC()P ABP BCP AC2P ABC()()()()0 1 0 20 2 0 150 1 0 152 0 1 0 2 0 15. 0 059.第14页/共20页第十四页，共21页。例4 甲、乙、丙三人独立射击(shj)一个目标，命中率分别为0.4，0.5，0.7，若只有一人击中，目标被摧毁的概率是0.2，若二人击中，则目标被摧毁的概率是0.6，若三人都击中，目标一定

14、被摧毁。若目标被摧毁，求它是一人摧毁的概率。解：用Ai表示(biosh)有i个人击中目标，i=0,1,2,3用B表示(biosh)目标被摧毁。P(B|A0)=0P(B|A1)=0.2P(B|A2)=0.6P(B|A3)=1P(A0)=0.60.50.3=0.09P(A1)=0.40.50.3+0.60.50.3+0.60.50.7=0.36P(A2)=0.40.50.3+0.40.50.7+0.60.50.7=0.41P(A3)=0.40.50.7=0.143iii0P BP A P B A( )() (|)0.458第15页/共20页第十五页，共21页。例5 在四次独立试验中，A至少出现(c

15、hxin)一次的概率为0.59，求A至多出现(chxin)一次的概率。解：设在一次试验(shyn)中A出现的概率为p则A至少出现(chxin)一次的概率为4444k 1P k1 P 011 p0 59( )( )(). 故(1-p)4=0.411-p=0.8p=0.2A至多出现一次的概率为：P4(0)+P4(1)41341 pC p 1 p()()=0.8241340 8C0 2 0 8.第16页/共20页第十六页，共21页。例10 (分赌注问题)甲、乙各下注(xi zh)a元，以猜硬币方式赌博，五局三胜，胜者获得全部赌注。若甲赢得第一局后，赌博被迫中止，赌注该如何分？解法(ji f)一：12

16、每局双方获胜的可能性均为 。应按照比赛双方最终(zu zhn)获胜的可能性分赌注。即在余下的四局中甲赢得2局以上即可。甲最终获胜的概率为P4(2)+P4(3)+P4(4)2234234411111CC22222 1116516乙胜的概率为，赌注应按11：5的比例分配。第17页/共20页第十七页，共21页。解法(ji f)二：一般(ybn)情况下不必比到第五局，有一方赢得三局即中止。甲方在第三局结束赌博(db)获得胜利的概率为231P B2()14甲方在第四局结束赌博获胜的概率为142111P BC222()14甲方在第五局结束赌博获胜的概率为21531 11P BC2 22()316故甲方最终

17、获胜的概率为P(B3+B4+B5)=P(B3)+P(B4)+P(B5)1116赌注应按11：5的比例分配。第18页/共20页第十八页，共21页。例6 (赛制的选择(xunz)在体育比赛中，若甲选手对乙选手的胜率是0.6，那么甲在五局三胜与三局两胜这两种赛制中，选择(xunz)哪个对自己更有利。解：在五局三胜赛制(si zh)中，甲获胜的概率为P5(3)+P5(4)+P5(5)33244555C 0 6 0 4C 0 6 0 40 6.=0.6826在三局两胜赛制中，甲获胜(hu shn)的概率为P3(2)+P3(3)2233C 0 6 0 40 6.=0.648甲应选择五局三胜制。第19页/共20页第十九页，共21页。感谢您