静力学部分例题

1、静力学作图示轧路机轧轮的受力图。FPBABAPFFAFB例1如图所示结构，画AD、BC的受力图。例2DCBAPFAyFAxACDFCPFCDCAPFABCFBFCF1F2DBACF1F2DBAFBFBFAyFAxFCyFCxOFCCB例3 如图所示结构，画AD、BC的受力图。F2FBCBF2F1ABCDF1BCFBxFByFCAFCDF2F1ABCFCDFAxFAyF2F1ABCDFAxFAyFDFADPage 71 题3-32例4 由水平杆AB和斜杆BC构成的管道支架如图所示。在AB杆上放一重为P的管道， A 、B、C处都是铰链连接，不计各杆的自重，各接触面都是光滑的。试分别画出管道O、水平

2、杆AB、斜杆BC及整体的受力图。ACBDOP例5解解:(1)取管道取管道O为研究对象为研究对象.O(2)取斜杆取斜杆BC为研究对象为研究对象.CBRCRBACBDOPPDNABDNDRB XAYA(4)取整体为研究对象取整体为研究对象.ACBDOPRC XAYA(3)取水平杆取水平杆AB为研究对象为研究对象.ACBDOP画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图QAOBCDE例6QAOBCDEQAOBCDE例例7 画出下列各构件的受力图画出下列各构件的受力图说明：三力平衡必汇交说明：三力平衡必汇交当三力平行时，在无限当三力平行时，在无限远处汇交，它是一种特远处汇交，它是一种特殊情况。殊情况。

3、例例8 尖点问题尖点问题(摩擦忽略不计摩擦忽略不计)3 3、研究、研究ABAB杆杆4 4、研究整体、研究整体WABCDWAxFAyFBxFByFCFAxFAyFCBBxFByFDF研究整体时，不画物体间的内力研究整体时，不画物体间的内力练习练习4 图示构架中图示构架中C, D和和E为铰链，为铰链，A为铰链支为铰链支座座,B为链杆，绳索的一端固定在为链杆，绳索的一端固定在F点，另一端绕过点，另一端绕过滑轮滑轮E并与重物并与重物W 连接，不计各构件的重量。画连接，不计各构件的重量。画出出AB、CB、CE与滑轮与滑轮E的受力图。的受力图。 ABCDEFW解:滑轮可视为三点受力。WETRE(滑轮滑轮E

4、受力图受力图)RBO1FWE ABCDE杆件系统可视为三点受杆件系统可视为三点受力，力，即即E点点, B点和点和A点，点，画受力图。画受力图。FWEFWERERA( (杆件系统受力图杆件系统受力图) )EARBCRCBCB(BC杆受力图)CERERCBO2RD(CE杆受力图) ABDRBRARBCRD(AB杆含销B受力图) ABCDEFW画受力图应注意的问题画受力图应注意的问题除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才除重力、电磁力外，物体之间只有通过接触才有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）有相互机械作用力，要分清研究对象（受力体）都与周围哪些物体（施力体）相接触，接触处都与周围哪些物体

5、（施力体）相接触，接触处必有力，力的方向由约束类型而定。必有力，力的方向由约束类型而定。2、不要多画力、不要多画力要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对要注意力是物体之间的相互机械作用。因此对于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出于受力体所受的每一个力，都应能明确地指出它是哪一个施力体施加的。它是哪一个施力体施加的。1、不要漏画力、不要漏画力约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不约束反力的方向必须严格地按照约束的类型来画，不能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析能单凭直观或根据主动力的方向来简单推想。在分析两物体之间的作用力与反作用力时，要注意，作用力两物体之间的作用力与反

6、作用力时，要注意，作用力的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，的方向一旦确定，反作用力的方向一定要与之相反，不要把箭头方向画错。不要把箭头方向画错。3、不要画错力的方向、不要画错力的方向4、受力图上不能再带约束。、受力图上不能再带约束。 即受力图一定要画在分离体上。即受力图一定要画在分离体上。一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有一个力，属于外力还是内力，因研究对象的不同，有可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分可能不同。当物体系统拆开来分析时，原系统的部分内力，就成为新研究对象的外力。内力，就成为新研究对象的外力。对于某一处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局对于某一

7、处的约束反力的方向一旦设定，在整体、局部或单个物体的受力图上要与之保持一致。部或单个物体的受力图上要与之保持一致。 5、整体受力图上只画外力，不画内力。、整体受力图上只画外力，不画内力。 6 、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相、同一系统各研究对象的受力图必须整体与局部一致，相 互协调，不能相互矛盾。互协调，不能相互矛盾。7 、正确判断二力构件。、正确判断二力构件。思考题1刚体上A、B、C、D四点组成一个平行四边形，如在其四个顶点作用有四个力，此四力沿四个边恰好组成封闭的力多边形，如图所示。此刚体是否平衡？ F1F3BACDF2F4思考题2PORM从力偶理论知道，一力不能与力偶平

8、衡。图示轮子上的力P为什么能与M平衡呢？ FO例例3 在一钻床上水平放置工件在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径在工件上同时钻四个等直径的孔的孔,每个钻头的力偶矩为每个钻头的力偶矩为 ,求工件的求工件的总切削力偶矩和总切削力偶矩和A 、B端水平反力端水平反力? mN154321mmmmmN60)15(4 4321mmmmM02 . 04321mmmmNBN3002 . 060BNN 300BANN解解: 各力偶的合力偶矩为各力偶的合力偶矩为根据平面力偶系平衡方程有根据平面力偶系平衡方程有:由力偶只能与力偶平衡的性质，由力偶只能与力偶平衡的性质，力力NA与力与力NB组成一力偶。组成一

9、力偶。例例4 图示结构，已知图示结构，已知M=800N.m，求，求A、C两点的约束反力。两点的约束反力。).(255. 0mNRdRMCCAC 0iM0 MMACNRC3137例例5图示杆系，已知图示杆系，已知m，l。求。求A、B处约束力。处约束力。解：解：1、研究对象二力杆：、研究对象二力杆：ADADNCR2、研究对象：、研究对象： 整体整体ADNBRlmRNBAD思考：思考：CB杆受力情况如何？杆受力情况如何？BRCRm练习：练习：解：解：1、研究对象二力杆：、研究对象二力杆：BC2、研究对象：、研究对象： 整体整体ADNBRBRCRADNmCRlmlmRNBAD245sin0 例例66不

10、计自重的杆不计自重的杆AB与与DC在在C处为光滑接触处为光滑接触,它们它们分别受力偶矩为分别受力偶矩为M1与与M2的力偶作用的力偶作用 ，转向如图。问，转向如图。问M1与与M2的比值为多大，结构才能平衡的比值为多大，结构才能平衡?60o60oABCDM1M2解解: 取杆取杆AB为研究对象画受力图。为研究对象画受力图。 杆杆A B只受力偶的作用而平衡且只受力偶的作用而平衡且C处为光处为光滑面约束，则滑面约束，则A处约束反力的方位可定。处约束反力的方位可定。ABCM1RARC Mi = 0RA = RC = R, AC = aa R - M1 = 0M1 = a R (1)60o60oABCDM1

11、M2取杆取杆CD为研究对象。因为研究对象。因C点约束方点约束方位已定位已定 , 则则D点约束反力方位亦可确点约束反力方位亦可确定，画受力图。定，画受力图。60o60oDM2BCARDR CRD = RC = R Mi = 0- 0.5a R + M2 = 0M2 = 0.5 a R (2)联立联立(1)(2)两式得两式得:M1/M2=260o60oABCDM1M2简化中心简化中心：A点点主矢主矢思考：三角形分布载荷处理？思考：三角形分布载荷处理？qlqdxlxRl210主矩主矩2031qlqdxlxxmLlA简化最终结果简化最终结果lqlqlRLd3221312yxRmAdRxldxqlxR=

12、qlR21 分布在较大范围内，不能看作集中力的荷载称分布荷载。若分布载荷可以简化为沿物体中心线分布的平行力，则称此力系为平行分布线荷载，简称线荷载。结论： 1、合力的大小等于线荷载所组成几何图形的面积。2、合力的方向与线荷载的方向相同。3、合力的作用线通过荷载图的形心。平行分布线载荷的简化1、均布荷载、均布荷载qlQ 2、三角形荷载、三角形荷载qlQ213、梯形荷载、梯形荷载l/2l/2qQQ23l3lqlq2q1可以看作一个三角形荷载和一可以看作一个三角形荷载和一个均布荷载的叠加个均布荷载的叠加6341P2P3PABC 例例 图示力系，已知：P1=100N, P2=50N, P3=200N,

13、图中距离 单位cm。 求：1、力系主矢及对A点之矩？ 2、力系简化最后结果。解： 1、建立坐标系xy2、X=Fx=P3 =200NY=Fy=P1+ P2 =100+50 =150N 主矢NYXR2501502002222 8 . 0250200),cos(cosRXxR =36.9R cmN3006506)(2PFmmiAA1P2P3PABCxyRcmN300Am2、简化最终结果LA =cm2 . 1250300RLhmARh主矢NR250 主矩最终结果合力大小：NRR250 方向: =36.9位置图示：方向： =36.9解：以刚架为研究对象，受力如图。0:0 xAxFFqb0:0yAyFFP

14、()0:AMF0212qbPaMA解之得：AxFqbAyFP221qbPaMA例1例1 求图示刚架的约束反力。APabqAPqFAyFAxMA例2例2 求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。0:cos0 xAxFFP0:sin0yAyBFFFP()0:sin()0ABMF aPabmF解之得：cosAxFP sin ()BmPabFasinAymPbFa ABCPabmABCPmFBFAyFAx例3例3 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例3解：取横梁AB

15、为研究对象。ABEHPQFTFAyFAxa0 xFsin0(2)AyTFPFQ()0AMFcos0(1)AxTFF0yFsin0(3)2TllPFQa 从(3)式解出1()13.2 kNsin2TlFPQal代入(1)式解出cos11.43kNAxTFF代入(2)式解出sin2.1kNAyTFQPF例3CABEHPQFTFAyFAxasin0(2)AyTFPFQcos0(1)AxTFFsin0(3)2TllPFQa ()0BMF如果再分别取B和C为矩心列平衡方程得()0 (4)2AylPQlFla ()0CMFtan0(5)2AxFllPQa 有效的方程组合是：1,2,3；1,2,4；1,2,

16、5；1,3,4；2,4,5 ；3,4,5例4 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？0)(FmB(6 2)2(12 2)(2 2)0APQWN 0ANkN 75Q限制条件：限制条件：解：解： 首先考虑满载时，起重首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的机不向右翻倒的Q：空载时，空载时，W=0 由0)(FmA0) 22(2) 26(BNPQ限制条件为：限制条件为：0BN解得解得kN 350Q因此保证空、满载均不倒，因此保证空、满载均不倒，Q应满足如下关系：应满足

17、如下关系：kN 350kN 75Q解得解得: :04) 212(2) 26 (BNWPQ0)(FmA0yiF 0BANNWPQ210 kN870 kNABNN求当求当Q=180kN，满载，满载W=200kN时，时，NA ,NB为多少为多少 由平面平行力系的平衡方程可得：由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：解得： 静不定问题在强度力学静不定问题在强度力学（材力材力, ,结力结力, ,弹力）中用位移弹力）中用位移谐调条件来求解谐调条件来求解。静定（未知数三个）静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）静不定（未知数四个）PPPPFPFPF判断各图的超静定次数判断各图的超静定次数例5例5 求图示三铰

18、刚架的支座反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxBxFFFF0:0yAyByFFFqa()0:3202AByMFaFaqaaF可解得：3124ByFFqaCBqaaaAFFAxFAyqCBAFFBxFBy1142AyFqaF例5再以AC为研究对象，受力如图。()0:0CAxAyMF aF aF解得：1142AxAyFFqaF1124BxFFqa FAxFAyFCxFCyAFCCBqaaaAF例6例6求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。3()0:3302CDMFqF32DFq再以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF0:40yAyBDFFFFFq(

19、)0:842460ADBMFFFqF132BFFq1122AyFFqCBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例7例7 求图示结构固定端的约束反力。解：先以BC为研究对象，受力如图。0:0CMF bMCBMFFb再以AB部分为研究对象，受力如图。0:0 xAxBFFFF0:0yAyFFqa( )0AMF21()02ABMF abqaF a 求得BBFF ,AxAyAMFFFqa MbCBqFAMbaaFBMCBFCFBFAyqFBAMAFAx例4例8 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxDFFF0:(2)

20、0yAyFFqab212()0(2)0ADMF aqabF解之得：2(2)2DqabFa2(2)2AxqabFa (2)AyFqabaaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAy130:cos450 xFFF230:sin450yFFF23(2)2qabFa 22(2)2qabFaF1F2F3Cxy45例例41DFF再以铰C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123例9例9 图示结构，各杆在A、E、F、G处均为铰接，B处为光滑接触。在C、D两处分别作用力P1和P2，且P1P2500 N，各杆自重不计，求F处的约束反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。(

21、)0:AMF214260BFPP解得：1000NBF 2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2P1P2ADEFGBCFAxFAyFB例9再以DF为研究对象，受力如图。2()0:220EFyMPFF解得：2500 NFyFP 最后以杆BG为研究对象，受力如图。()0:GMF4220BFyFxFFF解得：1500 NFxF P2DEFFEyFFyFFxFExFGyFBFGBFGxFFyFFx2m2m2m2m2m2mADEFGBCP1P2ABCD例10例10 三根等长同重均质杆(重W)如图在铅垂面内以铰链和绳EF构成正方形。已知：E、F是AB、BC中点，AB水平，求绳EF的张力。解1：取AB分

22、析，受力如图。不妨设杆长为l。()0:BMFsin450(1)22AyTllF lWF再以整体为研究对象，受力如图。0:yF30(2)AyDyFFWABCDFByFBxABFAxFAyWFTWWWFAxFAyFDxFDy例10最后以DC为研究对象，受力如图。0(3)2DylF lW联立求解(1)、(2)、(3)得：42TFW()0:CMFFCyFCxDCFDxFDyWABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xFFCxFCyFBxFByBCW()0:BMFFT0(5)DxCxFFABCD例10联立求解(4)、(5)、(6)

23、即可的同样结果。最后以整体为研究对象，受力如图。20(6)2DxlF lWWl()0:AMFABCDWWWFAxFAyFDxFDyABCD解2：先以BC为研究对象，受力如图。sin450(4)2CxTlFlF 再以DC为研究对象，受力如图。0 xF()0:BMF0(5)DxCxFF例11例11 三无重杆AC、BD、CD如图铰接，B处为光滑接触，ABCD为正方形，在CD杆距C三分之一处作用一垂直力P，求铰链 E 处的反力。解：先以整体为研究对象，受力如图。0:0 xAxFF2()0:03ABMF lPlF0:0yAyBFFFP解得：13AyFP23BFPPlDl2l/3CABEPDCABEFAx

24、FAyFBEPD2l/3CB例11下面用不同的方法求铰链 E 的受力。方法1：先以DC为研究对象。2()0:03DCylMFlP F23CyFP再以BDC为研究对象。0:0yEyBCyFFFFP13EyFP ()0:0232CExEylllMFPFFExFP 类似地，亦可以DC为研究对象，求FDy，再以ACD为研究对象求解。PD2l/3CFDxFDyFCxFCyFBFExFEyFCxFCy例11方法2：分别以ACD和AC为研究对象。()0:DMF20223AxExEylllF lFFP022AxAyExEyllF lF lFF联立求解以上两方程即得同样结果。类似地，亦可以BDC和BD为研究对象

25、，进行求解。P2l/3DCAEFExFEyFDxFDyFAxFAyCAEFAxFAyFExFEyFCxFCy()0:CMF例11方法3：分别以BD和AC为研究对象，受力如图。1202BEF lFl12 23EFP2202AxEAyF lFlF l2223EEFPF 用RE1、RE2表示的约束反力和用FEx、FEy表示的约束反力本质上是同一个力。CAEFAxFAyFExFEyFE2FE1DBEFDxFDyFE2FE1FB()0:DMF()0:CMF例12例12 两根铅直梁AB、CD与水平梁BC铰接，B、C、D均为光滑铰链，A为固定支座，各梁的长度均为l2 m，受力情况如图所示。已知水平力F6 k

26、N，M4 kNm，q3 kN/m。求固定端A及铰链C的约束反力。ABCDF2l/3l/2 Mq0MBCFByFBxFCxFCy解: (1) 取BC分析()0:0BCyMMFl F2 kNCyMFl 求得结果为负说明与假设方向相反。例12(2) 取CD分析FCDFCxFCyFDxFDy2()0:03DCxlMFlF F24 kN3CxFF 求得结果为负说明与假设方向相反。ABCDF2l/3l/2 Mq0例12Mq0FCxFCyFAyMAFAxBCA(3) 取AB、BC分析10:02xCxAxFFFql11( 4)3 21kN22AxCxFFql 0:0yAyCyFFF( 2)2 kNAyCyFF

27、 ()0:11023AACyCxMMMqllFlFl F6 kN mAM 求得结果为负说明与假设方向相反，即为顺时针方向。ABCDF2l/3l/2 Mq0ABEDax1234EACBD例13例13 编号为1、2、3、4的四根杆件组成平面结构，其中A、C、E为光滑铰链，B、D为光滑接触，E为中点，各杆自重不计。在水平杆 2 上作用一铅垂向下的力 F，试证明无论力 F 的位置 x 如何改变，其竖杆 1 总是受到大小等于F 的压力。F解：本题为求二力杆（杆1）的内力FA1或FC1。为此先取杆2、4及销钉A为研究对象，受力如图。FFA1FEyFExFND1NN()0:()0( )2222EABDMbb

28、bbFFxFFaFb上式中FND和FNB为未知量，必须先求得；为此再分别取整体和杆2为研究对象。FNB例13ABFFAyFAxN()0:0CDMFbFxF取整体为研究对象，受力如图。FNBxa1234EACBDbNDFxFbN()0:0ABMF bFxF取水平杆2为研究对象，受力如图。NBFxFb代入（a）式得1AFF FA1为负值，说明杆1受压，且与x无关。FFNDFCyFCx例14（习题3-32）F2F1ABCD4.54.53422习题332 构架尺寸如图所示(尺寸单位为m)，不计各杆件自重，载荷F1=120 kN, F2=75 kN。求AC及AD两杆所受的力。F2F1ABCFCDFAxF

29、AyFAD解：1.取三角形ABC分析，其中A、C处应带有销钉：()0:AMF214327.51240:55CDCDFFFF 43145.83kNCDF CD杆受压力。（教材参考答案是87.5 kN)例14（习题3-32）F2F1ABCD4.54.53422F1BCFBxFByFCAFCD2. 取BC分析，注意在C处应带有销钉。()0:BMF122444.5990:5124CDCAFFF 179.19 kNCAF3.4 平面简单桁架平面简单桁架的内力分析平面简单桁架的内力分析 例14 平面桁架的尺寸和支座如图，在节点D处受一集中荷载F = 10 kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。解：先以整体

30、为研究对象，受力如图。0,0 xAxFF0,0yAyByFFFF()0, 240AByMFFF3.4.1 节点法2mF2mABCD3013425AB30134DC5 kNByF5kNAyFFFByFAyFAx再分别以节点A、C、D为研究对象，受力如图。3.4.1 节点法FAyFAxF1F2AFF3F2F5DF3F4F1C210,cos300 xAxFFFF10,sin300yAyFFF节点A410,cos30cos300 xFFF3140,()sin300yFFFF节点C520,0 xFFF节点D解上述5个议程得1234510 kN,8.66 kN,10 kN10 kN,8.66 kNFFFF

31、F 其中1，4杆受压。三杆节点无载荷、其中两杆在三杆节点无载荷、其中两杆在一条直线上，另一杆必为零力杆。一条直线上，另一杆必为零力杆。12SS且四杆节点无载荷、其中两两在四杆节点无载荷、其中两两在一条直线上，同一直线上两杆一条直线上，同一直线上两杆内力等值。内力等值。12SS34SS两杆节点无载荷、且两杆不在两杆节点无载荷、且两杆不在一条直线上时，该两杆是零力杆。一条直线上时，该两杆是零力杆。特殊杆件的内力判断特殊杆件的内力判断021 SS例例13 已知 P d,求：a.b.c.d四杆的内力？ 解解：由零杆判式0adcSSS研究A点： 0Y由045cosPSobPSb2例15FAyFAxFBy

32、例14 图示平面桁架，各杆长度均为1m，在节点E，G，F上分别作用荷载FE10 kN， FG7 kN， FF5 kN。试求杆1、2、3的内力。解：取整体分析0,0 xAxFFFF()0,21sin60 130BEGFAyMFFFF F解得5kN,7.557 kNAxAyFF ABCDEFGFEFGFF123ABCDEFGFEFGFF123ABCDEFGFEFGFF123ABCDEFGFEFGFF123AFECDE解得1238.726 kN,2.821kN,12.32 kNFFF 为求1、2、3杆的内力，可作一截面m n将三杆截断，选定桁架左半部分为研究对象。假定所截断的三根杆都受拉力，受力如图

33、所示，为一平面任意力系。1()0,sin60 110EAyMFF F20,sin600yAyEFFFF31()0,sin60 11.5sin60 102DEAyAxMFFFF F求得1杆受力为负值，说明1杆受压。例15F1FAyFAxF2F3P12P12P例15截面法思考题思考题：求下列各桁架指定杆件的轴力。P1233.4.3 截面法与节点法的综合应用例例16 悬臂式桁架如图所示，试求杆件悬臂式桁架如图所示，试求杆件GH，HJ和和HK的内力。的内力。2m2m2m2m1.5m1.5mABEHKDGJCFILP解解:取取mm截面把桁架分为两部分截面把桁架分为两部分.2m2m2m2m1.5m1.5m

34、ABEHKDGJCFILPmm 取右半桁架为研究取右半桁架为研究对象画受力图。对象画受力图。mI(Fi) = 03SHK - 6P = 0SHK = 2P2m2m2mABEHDGJCFIPmmSHKSHJSGISGJnn 再取再取nn截面截断截面截断桁架并取右半桁架为研究对象画受力图。桁架并取右半桁架为研究对象画受力图。mF(Fi) = 0n2m2mABEDGCFPSEHSEGSDFSCFn3SEH - 4P = 0P34SEH取节点取节点H为研究对象画受力图。为研究对象画受力图。Fx= 0SHKHSHJSHESHG cos = 0.8sin = 0.6SHE - SHK + SHG cos

35、= 0P65SHGFy = 0- SHJ - SHG sin = 02PSHJABCDEPABCDEPDTCTSxyz例1 重为P的物体用杆AB和位于同一水平面的绳索AC与AD支承，如图。已知P1000N，CEED12cm，EA24cm， 45，不计杆重；求绳索的拉力和杆所受的力。解：以铰A为研究对象，受力如图。0sinsin:0DCTTX0sincoscos:0STTYDC0cos:0PSZ由几何关系：52241224cos22解得：NS1414NTTDC559例2. 曲杆ABCD, ABC=BCD=900, AB=a, BC=b, CD=c, m2, m3 求：支座反力及m1=?解：根据力

36、偶只能与力偶平衡的性质,画出构件的受力图见图示。约束反力ZA和ZD形成一力偶, XA与XD形成一力偶。故该力系为一空间力偶系。223310, 0, 0, 0, 0, 0yAAzAAxAAmmmZaZammmYaYammbZc X 123bcmmmaa可解得:例3 一车床的主轴如图a所示，齿轮C半径为100 mm，卡盘D夹住一半径为50 mm的工件，A为向心推力轴承，B为向心轴承。切削时工件等速转动，车刀给工件的切削力Px466 N、Py352 N、Pz1400 N，齿轮C在啮合处受力为Q，作用在齿轮C的最低点。不考虑主轴及其附件的质量，试求力Q的大小及A、B处的约束反力。 例4 一等边三角形板

37、边长为a , 用六根杆支承成水平位置如图所示.若在板内作用一力偶其矩为M。求各杆的约束反力。ABC16425330o30o30oABCM解:取等边三角形板为研究对象画受力图。ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S5S66()033022BBMMaSFaMS346433()0,022CCMMaSFaMS344533()0022AAMMaSFaMS34514()03310222BCMa SaSFaMS32125331()00222ACMa SaSFaMS32236331()00222ABMa SaSFaMS323ABC16425330o30o30oABCMS1S2S3S4S

38、5S6 xm3m2m3m2ABCD60604545GHyzP例5 扒杆如图所示，立柱AB用BG和BH两根缆风绳拉住，并在A点用球铰约束，A、H、G三点位于 xy平面内，G、H两点的位置对称于y轴，臂杆的D端吊悬的重物重P=20kN；求两绳的拉力和支座A的约束反力。 解：以立柱和臂杆组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。 列平衡方程： ABCD60604545GHyzPAXAYAZGTHT045sin60cos45sin60cos:0GHATTXX045cos60cos45cos60cos:0GHATTYY060sin60sin:0PTTZZGHA05545cos60cos545c

39、os60cos:0)(PTTFmGHx0545sin60cos545sin60cos:0)(GHyTTFm联立求解得：kNTTHG3 .280AXkNYA20kNZA694-18解:S5S4S6S3S2S1F500mm1000mmD CBADC B A ()0DDmF02S()0BBmF04S()0CCmF06S()0BCmF()0ABmF05005001FSFS10100010005FSFS5()0ADmF050050053SSFS 3 xyzABCDE3030G例6 均质长方形板ABCD重G=200N，用球形铰链A和碟形铰链B固定在墙上，并用绳EC维持在水平位置，求绳的拉力和支座的反力。x

40、yzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ030sin:0)(21ABGABZABTFmBx030sin:0)(21ADTADGFmy0:0)(ABXFmBz 解：以板为研究对象，受力如图，建立如图所示的坐标。xyzABCDE3030GAXAYAZTBXBZ030sin30cos:0TXXXBA030cos:02TYYA030sin:0GTZZZBA解之得：0BBZXNT200NXA6 .86NYA150NZA100 例7 用六根杆支撑正方形板ABCD如图所示，水平力 沿水平方向作用在A点，不计板的自重，求各杆的内力。PaPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sx

41、yz 解：以板为研究对象，受力如图，建立如图坐标。PSSPY2045cos:044PSSaSaSFmAA2045cos45cos:0)(42241PSSaSaSFmDD2045cos45cos:0)(45541PSSaSaSFmAD434322045cos:0)(PSaSaSFmDC656045cos:0)(PPPPPPSSSSSSSZ1245361045cos45cos45cos:0aPABCD1A1B1C1D123456aa1S2S3S4S5S6Sxyz 2）图示弓形面积可看成由扇形OAMB去掉三角形OAB得到，由负面积法可求得弓形的重心。扇形和三角行的面积，重心位置查表可得；故所求弓形体

42、物块的重心的坐标为 例8 图示均质等厚物块，其横截面积由半径为R的圆弧AMB与弦AB所围成的弓形，试求其重心在其对称面中的位置。 解 1）在物块的对称面上建立图示直角坐标系oxy，由对称性知，弓形体物块的重心必在x轴上，故yc=0。扇形OAMB的面积 cossincossin32sin3222233212211RRRRAAxAxAxc)2sin2( 3sin4)cossin( 3)cos1 (sin232RR21RA 其重心位置：sin321Rx 三角形OAB的面积cossin)cos)(sin2(2122RRRA其重心位置：)cos(322Rx 例9 求图示均质板重心的位置。解一：（组合法）

43、建立如图坐标：aaaaaaAAxAxAxC652212221221132aaaaaaAAyAyAyC65223221221221132解二：（负面积法）aaaaaaaAAxAxAxC65222322212211)(4)(4aaaaaaaAAyAyAyC65222322212211)(4)(4 x y a a a a C1 C2 O x a a a a C2 C1 O y PQ 解解1：（解析法）：（解析法） 以物块为研究对象，当物块处于向下以物块为研究对象，当物块处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。图坐标。minQP1Nmax1Fxy0s

44、incos:0max1minPFQX0cossin:01minPNQY1max1fNF例例1 将重为将重为P的物块放在斜面上，斜面倾的物块放在斜面上，斜面倾角角 大于接触面的摩擦角大于接触面的摩擦角 （如图），（如图），已知静摩擦系数为已知静摩擦系数为 f ，若加一水平力，若加一水平力 使使物块平衡，求力物块平衡，求力 的范围。的范围。mQQ联立求解得：联立求解得：PffQsincoscossinminPxymaxQmax2F2N 当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，当物块处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，建立如图坐标。受力如图，建立如图坐标。0sincos:0max2maxPFQX0c

45、ossin:02maxPNQY2max2fNF联立求解得：联立求解得：PffQsincoscossinmax故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为：QPffQPffsincoscossinsincoscossinminQP1RmminQ1RPmPmaxQm2R2RmaxQPm 解解2：（几何法）：（几何法） 当物体处于向下滑动的临界平衡状当物体处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，可得力三角形如图。态时，受力如图，可得力三角形如图。由力三角形可得：由力三角形可得：)(minmPtgQ 当物体处于向上滑动的临界平衡状当物体处于向上滑动的临界平衡状态时，受力如图，可得力三角形如图。态时，受力如

46、图，可得力三角形如图。由力三角形可得：由力三角形可得：)(maxmPtgQ故力故力 应满足的条件为：应满足的条件为：Q)()(mmPtgQPtg将上式展开亦可得同上结果。将上式展开亦可得同上结果。PAB例例2 梯子梯子AB长为长为2a，重为，重为P，其一端置于水，其一端置于水平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯平面上，另一端靠在铅垂墙上，如图。设梯子与地和墙的静摩擦系数均为子与地和墙的静摩擦系数均为 ，问梯子与，问梯子与水平线的夹角水平线的夹角 多大时，梯子能处于平衡？多大时，梯子能处于平衡？fPABANBNAFBFxymin解解1：（解析法）以梯子为研究对象，当梯：（解析法）以梯子为研究对

47、象，当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，此时如图，此时 角取最小值角取最小值 。建立如图坐。建立如图坐标。标。min0:0ABFNX（1）0:0PFNYBA（2）:0)(FmA0sin2cos2cosminminminaNaFPaBB（3）由摩擦定律：由摩擦定律：AAfNF （4）BBfNF （5）将式（将式（4）、（）、（5）代入（）代入（1）、（）、（2）得：）得：ABfNN BAfNPN即可解出：即可解出：21fPNA21ffPNBPABANBNAFBFxymin故故 应满足的条件是：应满足的条件是：m222此条件即为梯子的自锁条件。此条件即

48、为梯子的自锁条件。将将 代入（代入（2）求出）求出 ，将，将 和和 代入（代入（3），得：），得：ANBFBFBN0sin2coscosminmin2minff将将 代入上式，解出：代入上式，解出：mtgf)2(22122minmmmmtgctgtgtgtg解解2：（几何法）：（几何法） 当梯子处于向下滑动的临界平衡当梯子处于向下滑动的临界平衡状态时，受力如图，显然状态时，受力如图，显然 ，于是于是BARRPABminCmmARBREmmmACECAE2222min故故 应满足的条件是：应满足的条件是：m222例例3 在用铰链在用铰链 O 固定的木固定的木板板 AO和和 BO间放一重间放一重

49、W的匀质圆柱的匀质圆柱, 并用大小等并用大小等于于P的两个水平力的两个水平力P1与与 P2维持平衡维持平衡,如图所示。设圆如图所示。设圆柱与木板间的摩擦系数为柱与木板间的摩擦系数为 f , 不计铰链中的摩擦力不计铰链中的摩擦力以及木板的重量以及木板的重量,求平衡时求平衡时P的范围。的范围。2dP1P2ABCDWO2 ( 分析：分析：P小，下滑；小，下滑； P大，上滑大，上滑)解解:(1)求求P的极小值的极小值F1F2CDWON1N2设圆柱处于下滑临界状态设圆柱处于下滑临界状态,画受力图画受力图.由对称性得由对称性得:N1 = N2 = NF1 = F2 = F Fy = 0联立联立(1)和和(

50、2)式得式得:cosfsin2WN2Fcos + 2Nsin - W=0 (1) F=fN (2) 取取OA板为研究对象画受力图，此板为研究对象画受力图，此时的水平力有极小值时的水平力有极小值PminctgdPctgrNmin1cosfsind2WrPmin(2)求求P的极大值的极大值当当P达到极大值时达到极大值时,圆柱处于上滑临界状态圆柱处于上滑临界状态.只要改变受力图只要改变受力图中摩擦力的指向和改变中摩擦力的指向和改变 F 前的符号即可前的符号即可.P1N1 ACOF1 FxFyOim (F) = 0F1F2CDWON1N2P1N1 ACOF1 cosfsin2WN mO(Fi) = 0

51、ctgdPctgrNmin1max用摩擦角用摩擦角 表示表示得得:cosfsind2WrPmaxcosfsind2WrPcosfsind2WrsindcosWrPsindcosWr 当角当角 等于或大于等于或大于 时时,无论无论P多大多大,圆柱不会向上滑圆柱不会向上滑动而产生自锁现象动而产生自锁现象.例重例重W的方块放在水平面上，并有一水平力的方块放在水平面上，并有一水平力P作用。设方块底面的长度为作用。设方块底面的长度为b, P与底面的距离为与底面的距离为a，接触面间的摩擦系数为，接触面间的摩擦系数为f ，问当，问当P逐渐增大时，逐渐增大时，方块先行滑动还是先行翻倒？方块先行滑动还是先行翻倒？WPabWPACaFNFmax解：解：1 假定方块处于滑动临界平衡状态假定方块处于滑动临界平衡状态Fy = 0N - W = 0Fx = 0P - Fm = 0即 P = Fm=f N = f WFmax= f FN2 假定方块处于翻倒临界平衡状态假定方块处于翻倒临界平衡状态,画受力图。画受力图。WPabNFA MA(Fi) = 00Pa2bWa2WbP 3 讨论讨论:比较比较 Wb/2a 与与 f W 可知可知(1)如果如果 f W Wb/2a ,即即 f b/2a , 则方块先翻倒。则方块先翻倒。 （Wb