一元一次方程及解法

1、精品资料元一次方程及解法儘一、目标认知学习目标：蛊经历“把实际问题抽象为数学方程”的过程，体会方程是刻画现实世界的一种有效的数学 模型，了解一元一次方程及其相关概念，认识从算式到方程是数学的进步。通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。了解解方程的基本目标 （使方程逐 步转化为x=a的形式），熟悉解一元一次方程的一般步骤，掌握一元一次方程的解法，体会 解法中蕴涵的化归思想。重点：奩一元一次方程的解法难点：猛一元一次方程的解法二、知识要点梳理知识点一：方程的概念亦1、含有未知数的等式叫做方程2、使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解3、求方程的解的过程叫做解方程

2、。4、 方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）撰稿：占德杰责编：赵炜精品资料知识点二：一元一次方程的概念忑1、概念：只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做 一元一 次方程。一元一次方程的标准形式是：ax+b=O (其中x是未知数，a,b是已知数，且a和),“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，应从以下几点理解此概念：(1)方程中的未知数的个数是1。例如2x+3y=2就不是一元一次方程，因为未知数的 个数是两个，而不是一个。(2)一元一次方程等号的两边都是整式，并且至少有一边是含有未知数的整式。例如方程,2其中、不是整式，所以它不是一元一

3、次方程。(3)未知数的次数是1,如x2+2x-2=0,在x2项中，未知数的次数是2，所以它不是元一次方程。2、判定：判断一个方程是不是一元一次方程应看它的最终形式，而不是看原始形式。(1)如果一个方程经过去分母、去括号、移项、合并同类项等变形能化为ax=b(a和), 或ax二b=0(a和)，那么它就是一元一次方程；否则就不是一元一次方程。(2)方程ax=b或ax二b=0，只有当a和 时才是一元一次方程；反之，如果明确指 出方程ax=b或ax+b=0是一元一次方程，则隐含条件a丸.精品资料例如方程3x2+5=8x+3x2,化简成8x-5=0是一元一次方程；而方程4x-7=3x-7+x表面上看有一

4、个未知数X,且x的次数是一次，但化简后为Ox=O，不是一元一次方程。知识点三：等式的性质猛1、等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式。2、等式的性质：等式的性质1:等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。即：如果，那么 j :. _/ ；（C为一个数或一个式子）。等式的性质2:等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。即：ab* .如果匚一：，那么工* ；如果 -1，那么：:在对等式变形时，应注意如下几个方面：（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行，同时加或减、同时乘或除以，不能漏掉某一边，并且两边加或减、乘或除以的数必须相同（2）

5、等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，11_ 1如x=0中，两边加上.:得x+ 一： ,这个等式不成立。（3）等式的性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等，因忽略除数不为0这一条件而导致出错，特别是等式的两边除以一个式子时，更应注意这一条件。精品资料知识点四：合并同类项与移项卷精品资料1、合并同类项：将方程中含有相同字母（字母的指数也相同）的项进行合并，把一元次方程变形为亠：- 的形式，然后利用等式的性质2，方程两边同时2、移项：将方程中的某项改变符号后从一边移到另一边，叫做移项移项实际上是在方程的两边都加上（或减去）同一

6、个数（或同一个整式）要点诠释：歳（1）移项的目的：将含有未知数的项都移到方程的一边，这样我们就能够合并同类项，而使方程变形为-;-亠：- 的形式,再将方程两边同bX=时除以a,使x的系数化为1，得到 ：，即为方程的解。具体过程如下:1【从左边移到右边”改变符号 从右边移到庄边，变号（合并同类项x=-6（2） 移项的理论依据是等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等；（3）移项法则“移项必变号”即移项要变号，不变号不能移项。知识点五：去括号与去分母商1、去括号：方程中含有括号时，解方程过程中把括号去掉的过程叫做去括号。除以a，从而得到:常数项都移到方程的另一边。精品资料去括

7、号时注意以下两点:（1）不要漏乘括号内的项；（2）注意+”-”的改变，即去掉括号后要注意各项（原括号内）的符号变化情况。2、去分母：含分数系数的方程两边都乘同一个数（各分母的最小公倍数），使方程中的分母为1，这样的变化过程叫做去分母。去分母时注意以下两点：（1）不要漏乘不含分母的项；（2）分子是一个整体，去分母后应加上括号。知识点六：解一元一次方程的一般步骤猛解一元一次方程的一般步骤：（1）去分母一一方程两边都乘各系数分母的最小公倍数；具体做法为：在方程的两边 都乘以各分母的5最小公倍数。要注意不要漏掉不含分母的项，如方程1 x+ 1 =3，去分母得10 x+3=3就错了，因为方程右边忘记乘以

8、6，造成错误。（2）去括号一一利用乘法对加法的分配律去掉括号；按照去括号法则先去小括号，再去中括号，最后去大括号。特别注意括号前是负号时，去掉负号和括号，括号里的各项都要变号。 括号前有数字因数时要注意使用分配律。精品资料（3）移项一一把含未知数的项移到方程的一边，常数项移到另一边，移项要变号。(4)合并同类项把方程化为ax=b(a0)的形式.b(5)系数化为1在方程两边同除以未知数的系数a,得到方程的解注：(1)解方程时，上述步骤中有些变形可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序， 要根据方程形式灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。(2)去分母是为了简化运算，若不使用，也可

9、进行分数的运算。(3)去括号时，若括号前为“”号，括号内各项要改变符号。(4)方程是含有未知数的等式，所以方程也具有等式的性质，可以应用等式的性质解较 简单的一元一次方程，步骤一般有两步：1方程两边同时加(或减)同一个数。2方程两边同时乘(或除以)同一个不为0的数。例如，解方程：3x+5=2解：两边都减5,得3x= -3两边同时除以3，得x= -1三、规律方法指导减从数学学科内部来看，整式及其加减运算是一元一次方程的预备知识；而从应用的角度来看，一元一次方程要比整式用得更普遍、更直接.通过本章学习，不仅可以复习有理数运算和合并同类项、去括号等整式加减运算的内容，而且可以进一步体会看似抽象的整式

10、运算在解决实际问题中的用处，理解 并且结合方程的解法复习已学过的整式的知识， 别从而加深对相关内容的深刻认识数、 式与方程间的联系与区精品资料经典例题透析类型一：一元一次方程的概念隘。1.判断下列各式是不是方程？如果是方程，指出已知数和未知数，并指出是不是一元一次方程；如果不是，说明为什么？(1)2x1=5; (2)4+8=12; (3)5y8; (4)2a+3b=0; (5)6a25x+4; (6)2x2+x=1;(7)x2勺;(8)ax+2a=3.思路点拨：方程是含有未知数的等式，只含有一个未知数(元)，并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程；方程是等式，两个代数式用等号连接起

11、来就是等式，但等式不一定是方程；方程、等式都含有等号，而代数式不含等号解：(1)是方程 2、1、5是已知数，x是未知数，且是一元一次方程；(2) 不是方程.因为等式中不含未知数；(3) 不是方程因为它是代数式，而不是等式；(4)是方程.2、3、0是已知数，a、b是未知数，因为含有两个未知数，所以不是一元一次方程；(5) 不是方程因为它是代数式，而不是等式；(6)是方程.2、1是已知数，x是未知数，因为未知数的最高次数是2，所以不是 一元一次方程；(7)不是方程.因为它不是等式；精品资料(8)是方程.当a是未知数时，X、2、3是已知数，且当|时，是一元一次方程;当x是未知数时，a、2a、3是已知

12、数且当“ r 时，是一兀一次方程；当a、x是未知数时，2、3是已知数，不是一元一次方程。总结升华：(1)化简后未知数系数为零时，则此含有未知数的等式不是方程，如2x+1=3+2x就不是方程；(2)方程的已知数包括它前面的符号，当未知数的系数是1时，省略的1可看作已知数，但是一般不写出，如本例中的(6)，x的系数为1，在写已知数时，也可以不写举一反三：变式下列四个方程中，一元一次方程是()A. x2-1=0B. x+y=1C. 12-7=5D. x=0答案：D类型二：方程的解蠢2检验题后面括号里的数是不是前面方程的解。3y-1=2y+1(y=2,y=4)思路点拨：判断一个数是否是方程的解，把这个

13、数代入方程的两边，若方程两边相等，则该数是方程的解；若方程两边不相等，则不是方程的解。解：把y=2代入方程3y-1=2y+1的两边，左边=3 X2-1=5，右边=2 X2+1=5，左边=右边,所以y=2是方程3y1=2y+1的解。精品资料把y=4代入方程3y1=2y+1的两边，精品资料左边=3 X41=11，右边=2 X4+1=9，左边工右边,所以y=4不是方程3y1=2y+1的解。举一反三：变式1（2011广东湛江）若匚-是关于：的方程二1.的解，则匸的值为答案：-1变式2关于x的方程ax+3= 4x+1的解为正整数，则a的值是（）A. 2B.3C.2或3D.1或2答案：C类型三：解一元一次

14、方程商3.解方程：93x=5x+5成左边是含有未知数的项，右边是常数项的方程解：93x=5x+5移项，得3x5x=59合并，得8X= 4系数化为1,得x=-思路点拨：可将右边的5x变号后移到左边，将左边的9变号后移到右边，然后合并化精品资料总结升华：解方程时经常要“合并”和“移项”目的是将方程逐步变成ax=b（a和）的形精品资料式，然后利用等式的性质，化系数为1，最终求得未知数X的值；应该特别注意移项要变号，合并则是将所有含相同字母的项的系数相加举一反三:变式解方程：4x=18-2x4x+2x=18-2x+2x6x=18分析：利用等式的性质1，等式两边加（或减）同一个数（或式子）等式的性质2:

15、等式两边乘或除以同一个不为，结果仍相等。0的数，结果仍相等。解：根据等式的性质在方程两边同时加上2x精品资料的另一边，最后把系数化成1.这一过程中注意三点：去括号要依据符号法则，特别是括号前是负号的情况；移项要变号；去分母时，方程各项都要乘分母的最小公倍数.举一反三：卩一1仃丿+2y- 1-变式解方程：1解：去分母，得!_1 - _ 二 _ 丁， 去括号，得 ：- 卜 -移项，得-1- 合并同类项，得/11系数化1，得根据等式的性质在方程两边同时除以6，得x=32x-l4.解方程2x + 5 6x-7 q-13- 4思路点拨：本题考查去分母的过程，注意不要漏乘方程中的每一项。解：去分母，得4(

16、2x1)4(2x+5)=3(6x7)12去括号，得8x48x20=18x2112移项，得8x8x18x= 2112+4+20合并同类项，得一18x= 9系数化为1,得x =总结升华：解一元一次方程的基本思路是把未知数移到等号的一边,把常数项移到等号精品资料5.解方程x-2x-3(x+4)-6=1思路点拨：方程特点是含有多重括号，去括号时从小括号开始由里向外一层一层去。解：去括号，得x-2x-3x-12-6=1x-2-2x-18=1x+4x+36=1移项，得x+4x=1-36化简，得5x=-35系数化为1，得x=-7举一反三:精品资料变式C：!-答案：x=5类型四：一元一次方程的综合应用呢C 6

17、已知方程.-2二是关于X的一元一次方程;(1)求m的值。(2)写出关于x的一元一次方程(3)并解(2)中的方程。解析：(1)根据一元一次方程的定义，可知”卜1 = 1m - 2 *0*m= 2。(2)把m= 2代入原方程得，4x+3=7(3)4x+3=7,两边同减3,得：一4x = 7 3=4两边同除以一4,得：x=17.对于有理数a,b,c,d，规定一种运算b10d=adbe,女口2-2精品资料2-45=25变形为2 X5(-4)X(3x)=25。2-4解析3玉=25可以化为2X5(4) X3x)=25，即4x+3=0。移项，化简得：x=-3/4费，宀8.关于x的方程3x-4= a-bx有无

18、穷多个解，则a=_ ,b=_.解析：由3x-4= a-bx，得：(3+b)x=a+4要使此方程有无穷多个解，则有：b十4 = 0所以a= -4, b= -321 X(2)0 X2= 2。那么3_兔=25时，写出关于x的一元一次方程，并解此方程。分析：由题中可看出b&的运算方式是对角线位置的数的乘积的差，所以精品资料学习成果测评基础达标：感、选择题:1.下列各式中，是方程的一共有()精品资料-二；：1；:;：II2.下列方程中，一元一次方程一共有()2 2一1；厂；1 “； ：一；(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个3如果丄【是方程一 1的解，那么.的值()(A)1(B)5(C)1(

19、D):4关于x的方程一 ：-A的解为()二、填空题1. (2011遵义)方程3x-l=x的解为_34彳 +(2-为2二0，则x+y二3.若方程0.22与方程_.一 一的解相同，贝y：|-4.若-I -： - L和方程-的解相同，那么-(_(A)2个(B)3个(C)4个(D)5个(B).： J(C)- 精品资料三、解方程(1)0.48x6 = 40.02x5-1_7(3)-答案与解析：蠢、1.C2、B 3、A 4、D解析：第1题：考查方程的概念，含有未知数的等式叫做方程。 其中3-1=2是一般等式，1- 是不等式，其余都是方程。注意方程中的未知数不必都用x表示。第2题：考查一元一次方程的定义。其

20、中一 经过化简可知是一元一次方程。1是二元一次方程，二1 H是一元二次方程，是分式方程。第3题：考查方程的解的概念。把】I代入方程就可求出。第4题：这是关于未知数x的方程，其中字母a,b应看成已知数。通过移项，合并 即可。解析:x0 17 -0.2x _(5)三-(6)F1 1 54(2)5x-3(2x+1)+7x=6x-4(5-3x)(4)112、3、-3 4、6精品资料第1题：考查解方程，直接求解即可。第2题：考查平方和绝对值的非负性，由题意得：34“0, 2-尸0，即可求出。第3题：考查方程的解的概念。由题意得出一二1的解为- !，把它代入一二-.-1即可求出a的值。第4题：考查方程的解

21、得概念。同第3题。(1)解:移项得：0.48x+0.02x = 4+6合并同类项得：0.5x = 10系数化为1得：x = 20(2)解:去括号，得5x-6x-3+7x-6x-20+12x,移项，得5x-6x+7x-6x-12x=-20+3合并同类项，得-12X-17,1-系数化为1，得x-一一启发：商方程中带有括号，先设法去掉括号。对于有多重括号的方程，应先去小括号，再去中括号，最后去大括号，运用分配律去括号时，注意符号不要标错，并且不要漏乘括号中的项。移项时，要注意变号，最好别跳过移项这一步，因为将移项和合并同类项同步完成，很容易 产生错误。(3)解：去分母得：5y1 = 14移项得：5y

22、 = 14+1精品资料合并同类项得：5y = 15系数化成1得：y = 3(4)解：去分母得:4(2x-1)-3(5x+1) = 24去括号得：8x-4-15x-3 = 24移项得：8x-15x = 24+4+3合并同类项得：一7x = 31(5)解：原方程可化为：1017 20 x .- = 173去分母得：.二 去括号，移项与合并同类项得:17Qr = 14014系数化成1得：1启发：商分数线除了可以代替除号“十”(表示“分子十分母；也可以说代替“：；表示“分子：分母”)以外，还起着括号的作用，分子如果是一个代数式，应该看作一个整体，在去分母时，不要忘了将分子作为一个整体加上括号。(6)解

23、：方程两边同乘以系数化成1得:5，得精品资料l(-x-2)-3=-4方程两边同乘以4，得1 -(-x-2) = -l移项，得1 1-x- 2 = -3方程两边同乘以3，得】解这种方程，如果从内向外采用乘法对加法的分配律去括号，非常麻烦，这里根据方程的结构特点，利用等式的性质2，在去掉一个分母的同时，即去掉一个括号，如此进行，并 不费力。能力提升：蠢一、选择题： 右二 一一一 i111、(2011湖北荆州)对于非零的两个实数一；、，规定，若11,则；的值为311_A.- B. 1C.-D.-2、一元一次方程2(3x4) =5(x -2)的解是()A. x = 3B. x = 2C. x = 4D. x =2-x = -l移项，得x=-2精品资料3、单项式2ab2m+3与4ab4m一是同类项则m等于（）(4) 3x4+2x = 4x3中，解相同的是（）6+已与8-2a5、若-2的值相等，则a为：（）3A. 6B.2C. 3D.2二、填空题：1、 一元一次方程的标准形式是 _（其中x是未知数，a、b是已知数，且a和）.x + 2 _ 2x - 32、 将方程46的两边同乘以 _得到3（x+2） =2（2x3）这种变形叫1+X3、 当x_时，x 3的值等于2.X4、 已知2 =