数列专题总复习知识点整理与经典例题讲解-高三数学

1、资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢数列专题复习一、等差数列的有关概念：1、等差数列的判断方法：定义法 an 1and( d为常数 ）或 an1anan an 1 (n2) 。如设 a 是等差数列， 求证：以 bn= a1a2ann N * 为通项公式的数列 b 为nnn等差数列。2、等差数列的通项： ana1 (n1)d 或 anam(nm)d 。如 (1)等差数列 an 中， a1030 ， a2050，则通项 an（答： 2n10 ）；（ 2）首项为 -24的等差数列， 从第 10 项起开始为正数， 则公差的取值范围是 _（答：8d 3）3n(a1an ) ， Snn(n1) d 。

2、3、等差数列的前 n 和： Snna122如（ 1）数列 an 中， anan 11 (n2,nN * ) ， an3，前 n 项和 Sn15，222则 a1 ， n （答： a13 ， n10 ）；（ 2）已知数列 an 的前 n项和 Sn12 nn2，求数列 | an | 的前 n 项和 Tn （答：12nn2 (n6, nN * )Tn12n 72( n6, nN）.n2* )4、等差中项： 若 a, A, b 成等差数列，则A 叫做aba 与 b 的等差中项，且 A。2提醒 ：（1）等差数列的通项公式及 前 n 和公式中， 涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及Sn

3、，其中 a1 、 d 称作为基本元素。 只要已知这 5 个元素中的任意3 个，便可求出其余 2 个，即知 3求2。（ 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等差，可设为，a 2d ,a d ,a, a d , a 2d （ 公 差 为 d）；偶数个数成等差，可设为，a 3d, ad , a d , a3d ,（公差为 2 d ）5、等差数列的性质：（ 1）当公差 d0 时，等差数列的通项公式ana1(n 1)ddna1 d 是关于 n 的一次函数， 且斜率为公差 d ；前 n 和 Snna1n(n 1) dd n2(a1d )n 是关于 n 的二次222函数且常数项为0.精品文档资料

4、收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢（ 2）若公差d0 ，则为递增等差数列，若公差d0 ，则为递减等差数列，若公差d 0 ，则为常数列。（ 3）当 mnpq 时 , 则有 amanapaq ，特别地，当mn2 p 时，则有aman2ap .如（ 1）等差数列 an 中， Sn 18,anan 1an 23, S31，则 n _（答： 27）；(4)若 an 、 bn 是等差数列，则 kan 、 kanpbn ( k 、 p 是非零常数 ) 、 ap nq( p, qN * ) 、Sn , S2 nSn , S3nS2n，也成等差数列， 而 aan 成等比数列； 若 an 是等比数列，且an0

5、，则 lg an 是等差数列 .如等差数列的前n 项和为 25，前 2n 项和为 100，则它的前3n 和为。（答：225）（ 5）在等差数列 an 中，当项数为偶数2n 时， S偶 S奇nd ；项数为奇数2n 1时，SSa， S1(2 n1) a （这里 a 即an）； S：S偶n : n - 1。奇偶中2n中中奇如（ 1）在等差数列中，S11 22，则 a6 _（答： 2）；（ 2）项数为奇数的等差数列 an 中，奇数项和为80，偶数项和为75，求此数列的中间项与项数（答：5； 31） .（6）若等差数列n 、n的 前 n 和 分 别 为An、Bn， 且Anf (n)， 则a b Bnan

6、(2n1)anA2n1f (2 n1).如设an 与 bn 是两个等差数列， 它们的前 n 项和分bn(2 n1)bnB2n1别为 Sn 和 Tn ，若 Sn3 n1 ，那么 an_（答： 6n2）Tn4 n3bn8n7(7) “首正”的递减等差数列中，前n 项和的最大值是所有非负项之和；“首负”的递增等 差 数 列 中 ， 前 n项和的最小值是所有非正项之和。法一：由不等式组an0a n0确定出前多少项为非负（或非正） ；法二：因等差数列前n 项是关于an10或0a n 1n 的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN *。上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想）

7、，由此你能求一般数列中的最大或最小项吗？如（ 1）等差数列 an 中， a125， S9S17 ，问此数列前多少项和最大？并求此最大精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除 谢谢值。（答：前 13 项和最大，最大值为169）；（ 2）若 an 是等差数列，首项a10, a2003a20040 ， a2003 a20040 ，则使前 n 项和Sn 0 成立的最大正整数n 是（答： 4006）（ 3）在等差数列 an中， a100, a110 ，且 a11| a10 | ， Sn 是其前 n 项和，则（）A、 S1, S2 L S10 都小于 0， S11 , S12 L都大于0B、 S1,S

8、2 LS19 都小于 0， S20 , S21 L都大于 0C、 S1,S2LS5 都小于 0， S6, S7 L 都大于 0D、 S1, S2 L S20 都小于 0， S21, S22 L都大于0 （答： B）(8) 如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数. 注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究anbm .二、等比数列的有关概念：1 、 等 比 数 列 的 判 断 方 法 ： 定 义 法 an 1q(q为常数 ）， 其 中 q0, an0 或anan 1an(n2) 。anan 1如（ 1）一个

9、等比数列 an 共有 2n 1 项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则 an 1为 _（答： 5 ）；（ 2）数列 an 中， Sn =4 an 1 +1 ( n2 )且 a1 =1，若 bnan 12an ，6求证：数列 bn 是等比数列。2、等比数列的通项： ana1q n 1 或 anam qn m 。如等比数列 an 中， aan66 ， a a128 ，前n 项和Sn 126，求 n 和 q . （答：12 n 1n6， q1或 2）23、等比数列的前 n 和：当 q1 时， Snna1 ；当 q1时， Sna1 (1 qn )a1anq 。1 q1q如（ 1）等比数列中，

10、q 2， S99=77，求 a3 a6a99 （答： 44）；10n（ 2）(C nk ) 的值为 _（答： 2046）；n 1k 0精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢特别提醒： 等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时， 首先要判断公比 q 是否为 1，再由 q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为 1 时，要对 q 分 q1 和 q1 两种情形讨论求解。4、等比中项： 若 a, A, b 成等比数列，那么A 叫做 a 与 b 的等比中项。 提醒 ：不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个ab 。如已知两个正数a, b(

11、 ab) 的等差中项为A，等比中项为B，则 A 与 B 的大小关系为 _ （答： A B）提醒 ：（ 1）等比数列的通项公式及 前 n 和公式中，涉及到5 个元素： a1 、 q 、 n、 an 及Sn ，其中 a1 、 q 称作为基本元素。只要已知这5 个元素中的任意3 个，便可求出其余2 个，即知 3 求 2；（ 2）为减少运算量，要注意设元的技巧，如奇数个数成等比，可设为，a2, a ,a,aq ,aq2 （公比为 q ）；但偶数个数成等比时，不能设为a3, a , aq, aq 3 ，qqqq因公比不一定为正数，只有公比为正时才可如此设，且公比为q2 。 如有四个数，其中前三个数成等差

12、数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和为 12，求此四个数。 （答： 15， ,9， 3,1 或 0,4， 8,16）5. 等比数列的性质 ：（ 1 ）当 mn pq 时，则有am gan ap gaq，特别地，当mn 2 p 时，则有am gan ap2.如（ 1）在等比数列 an 中， a3a8 124, a4 a7512 ，公比 q 是整数，则 a10 =_（答： 512）；（ 2）各项均为正数的等比数列 a 中，若 a5a69 ，则logalog3a Llogan312310（答： 10）。(2)若 an 是等比数列，则| an | 、 ap n

13、q( p, qN * ) 、 kan 成等比数列；若 an 、bn成等比数列， 则an成等比数列；若an 是等比数列， 且公比q1，、 anbn bn则数列 Sn , S2 nSn , S3nS2n，也是等比数列。当q1 ，且 n 为偶数时，数列Sn , S2nSn , S3nS2n，是常数数列0，它不是等比数列 .如 （ 1 ） 已 知 a0 且 a1 ， 设 数 列 xn 满 足 log a xn 11log a xn (nN*)， 且精品文档资料收集于网络如有侵权请联系网站删除谢谢x1x2Lx100 100 ，则 x101x102Lx200. （答： 100a100 ）；（ 2）在等比数

14、列 an 中， Sn 为其前 n 项和，若 S3013S10 , S10 S30 140 ，则 S20的值为 _（答： 40）(3) 若 a10, q 1 ，则 an 为递增数列；若a10, q1 , 则 an 为递减数列；若a10,0q1 ，则 an 为递减数列； 若 a10,0q1 ,则 an 为递增数列； 若 q0 ，则 an 为摆动数列；若 q 1，则 an 为常数列 .(4)当 q1 时， Sna1q na1qaq nb ，这里 a b 0 ，但 a 0, b0 ，1q1是等比数列前 n 项和公式的一个特征，据此很容易根据Sn ，判断数列 an 是否为等比数列。如若 an 是等比数列，且Sn3 nr ，则 r （答： 1）(5)Sm nSm qm SnSnqn Sm . 如设等比数列 an 的公比为 q ，前 n 项和为 Sn ，若 Sn 1 , Sn , Sn2 成等差数列，则 q 的值为 _（答： 2）(6)在等比数列 an 中，当项数为偶数2n 时， S偶qS奇 ；项数为奇数 2n 1时，S奇aqS偶 .1(7) 如果数列 an 既成等差数列又成等比数列，那么数列 a n 是非零常数数列，故常数