数列大题专题训练)

1、数列大题专题训练1 已知数列 an 、bn 满足： a11 , an bn 1,bn 1bn.1 an4(1) 求 b1,b2 , b3 ,b4 ;(2) 求数列 bn 的通项公式；(3) 设 Sna1a2a2a3a3a4.anan 1 ，求实数 a 为何值时 4aSnbn 恒成立2在平面直角坐标系中，已知An (n,an ) 、 Bn (n, bn ) 、 C n (n1,0)( nN *) ，满足向量A1 An 1 与向量 BnCn 共线，且点 Bn (n, bn ) (nN *) 都在斜率 6 的同一条直线上.（ 1）试用 a1 , b1 与 n 来表示 an ；（ 2）设 a1a, b

2、1a ，且 12a15 ，求数 an 中的最小值的项.3在公差为 d（d 0）的等差数列 a n 和公比为 q 的等比数列 b n 中，已知 a1=b1=1 ，a2=b 2， a8=b3.（ 1）求数列 a n 与 b n 的通项公式；（ 2）令 cnanbn ，求数列 c n 的前 n 项和 Tn.4、在数列 an中， a11, 其前 n项和 Sn 满足关系式3tS n( 2t3)Sn 13t精品文库(t 0, n 2,3,)(1) 求证：数列 an 是等比数列；（2）设数列 an 得公比为 f (t ), 作数列 bn ， 使 b1 1, bn1), n (2,3, ), 求 bnf (b

3、n1（3）求 b1b2b2 b3 b3b4 b4 b5b2 n 1b2n b2 nb2n 1的值。5设数列 an的前 n项和为 Sn , 且 Sn(1)an , 其中1,0 ；（ 1）证明：数列 an 是等比数列；（ 2 ）设数列 an 的公比 qf ( ), 数列 bn 满足 b11 ,bnf (bn 1 )(nN * ,n2)2求数列 bn 的通项公式；6已知定义在R 上的单调函数y=f(x)，当 x<0 时， f(x)>1 ，且对任意的实数x、y R，有f(x+y)= f(x)f(y)，（）求f(0) ，并写出适合条件的函数f(x)的一个解析式；（）数列 an 满足 a1 f

4、(0)且 f (an 1 )1(nN*),f ( 2an )求通项公式 an 的表达式；令 bn( 1) an , Snb1 b2bn ,Tn111，2a1 a2a2 a3an an 1欢迎下载2精品文库试比较 Sn 与 4 T n 的大小，并加以证明.37. 设 Sn 是正项数列 an 的前 n 项和，且 Sn1an21an3，424（）求数列 an 的通项公式；（） 已知 bn2n ,求 Tn a1 b1 a2b2an bn 的值8 已知二次函数f ( x)ax2bx 满足条件：f (0)f (1)； f (x) 的最小值为1 .8(1)求函数 f (x) 的解析式；f ( n )(2)设

5、数列 an 的前 n 项积为 Tn , 且 T4, 求数列 an 的通项公式；n5(3)在 (2) 的条件下 , 若 5 f (an ) 是 bn 与 an 的等差中项 , 试问数列 bn 中第几项的值最小 ?求出这个最小值。9、设等差数列 an 的首项 a1 及公差 d 都为整数，前n 项和为 Sn.（ 1）若 a11=0,S14=98,求数列 an的通项公式；（ 2）在（ 1）的条件下求 Sn 的表达式并求出 Sn 取最大值时 n 的值（ 3）若 a1 6， a11 0， S14 77，求所有可能的数列 an的通项公式欢迎下载3精品文库10、设 an 是公比大于1 的等比数列，Sn 为数列

6、 an 的前 n 项和已知 S37 ，且a1 3， 3a2， a3 4构成等差数列（）求数列 an 的通项公式（）令 bnln a3 n 1， n1，2， ，求数列 bn 的前 n 项和 Tn 11已知等比数列 an 中, a2 , a3 , a4 分别是某等差数列的第5 项、第3 项、第2 项，且a164, 公比 q1（）求 an ；（）设 bnlog 2 an ，求数列 | bn |的前 n项和 Tn .12 、已知 f ( x) log m x （ m 为常数， m>0 且 m 1）设 f ( a1 ), f (a2 ), f (an )( n N ) 是首项为4 ，公差为2 的等

7、差数列 .（）求证：数列a n 是等比数列；（）若b n=a n · f (an ) ，且数列 b n的前 n 项和 S n，当 m2 时，求 S n；（）若 cn = an lg an ，问是否存在 m，使得 c n中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出 m 的范围；若不存在，说明理由 .欢迎下载4精品文库13已知数列 a 的前 n 项和为 S ，且满足nna11, an 2Sn Sn 1 0( n 2)（）判断 1 是否为等差数列？并证明你的结论；2Sn（）求 Sn 和 an（）求证： S12S22. Sn211 .24n14已知数列 an 满足 an2an 12 n1( n2)

8、, 且 a15.（ I ）若存在一个实数,使得数列 an 为等差数列 , 请求出的值2 n（ II ）在（ I ）的条件下，求出数列an的前 n项和 Sn .15. 设数列 an 的前 n 项和为 Sn ，且满足 Sn =2- an ， n =1，2， 3， .( ) 求数列 an 的通项公式；( ) 若数列 bn 满足 b1 =1，且 bn 1bn an ，求数列 bn 的通项公式；( ) 设 Cn n(3 bn ) ，求数列 Cn 的前 n 项和 Tn .欢迎下载5精品文库参考答案1. 解：（ 1)bn1bnbn1(1 an )(1 an )bn (2bn )2bn a11 ,b13 b2

9、4 , b35 , b4644567（2）bn111112bn112 bnbn 1bn 1 1 bn 1数列 1 是以 4 为首项， 1 为公差的等差数列bn114 ( n 1)n 3 bn1n213n3bn 1n(3)an1bn1n311111n Sna1a2a2 a3anan 1556(n3)(n4)4n 44( n 4)4 4aSnbnann2(a1)n2(3a 6)n8n4n3(n3)( n4)由 条 件 可 知 (a1 2n)(a 3n6 ) 恒 8 成0 立 即 可 满 足 条 件 设f (n) (a1)n23(a2)n 8a 1 时， f (n)3n80 恒成立 , a>1

10、 时，由二次函数的性质知不可能成立a<l时，对称轴3 a23 (1a1)02 a121f(n)在 (,1 为单调递减函数f (1)( a 1)n2(3a6) n8( a1)(3a 6)84a150 a15a<1 时 4aSnb 恒成立4综上知： a1 时，4aSnb 恒成立2解：（ 1）点 Bn (n,bn )(nN *) 都在斜率为6 的同一条直线上，欢迎下载6精品文库bn 1bn6,即 bn 1bn6,(n 1)n于是数列 bn 是等差数列，故bn b1 6(n 1). 3 分An An 1(1, an 1an ), Bn Cn(1, bn ),又 An An 1与Bn Cn

11、共线，1 ( bn ) ( 1)(a n 1a n ) 0, 即a n 1anbn .5分当时, a na1(a 2a1 ) (a3a 2 )(ana n 1 ) a1b1b2b3bn 1n 2a1b1 (n1)3(n1)( n2).分7当 n=1 时，上式也成立 .所以 an a1b1 (n1)3(n 1)(n2). 8 分（ 2）把 a1a, b1a 代入上式，得 anaa( n1) 3( n 1)( n2) 3n 2(9a)n 62a.12a15,79a4 ，26当 n=4 时， an 取最小值，最小值为a4182a. 13 分3解：（ 1）由条件得：1dqd5an5n4, bn6 n1

12、 6 分17dq 2q6（ 2） Tnc1c2c3cnTna1b1a2 b2a3b3an 1bn 1anbnqTna1b2a2 b3a3b4an 1bnan bn 1： (1q)Tna1b1db2db3dbn 1dbnan bn 1a1b1d b2 (1q n 1 )an bn 11q即5Tn16(16n 1 )(5n4)6n55 Tn(n1)6n1 14 分4解：（ 1）由已知 3tSn(2t3) Sn 13t ，即有3t (a1a2 ) (2t3)a13t 由 a112t3解得 a23t所以 a22t 3a13t欢迎下载7精品文库当 n 2时，有3tSn1( 2t3)Sn3t3tSn( 2

13、t3)Sn 13t得3ta n1( 2t3)an0an 12t3an3t综上所述，知 an 12t3n1an3t因此 an 是等比数列；（ 2） 由（ 1）知 f (t)2t33t213bn 12则 使b11, bn1bn133bn 1所以 bnbn12n( 2,3,)32 n1因此， bn 是等差数列，且 b11,bnb1(n1)d33（ 3） b1 b2b2b3b3 b4b4b5b2 n 1b2nb2n b2 n 1 b2 (b1b3 ) b4 (b3b5 )b2 n (b2 n 1b2n 1 )4 n(54n14(b2b4b2n )4n(b2b2n )33)332328n24n935解：

14、（ 1）由 Sn(1)anSn1(1)an 1 (n2)相减得： ananan 1 ,an(n2),数列 an 是等比数列an 11 4 分欢迎下载8精品文库（ 2） f ( ), bnbn111，11bn 1bnbn 11是首项为12,公差为的等差数列 12 ( n 1) n 1 b11;bnbnbn1 8 分n1（ 3）1时, an( 1) n 1 , C nan ( 11) ( 1 ) n 1 n ，2bn2Tn1 2(1) 3(1)2n( 1) n 12221 Tn(1) 2(1) 23( 1)3n( 1) n22222得：1Tn1(1) (1) 2(1)3(1)n 1n(1) n ，

15、22222211(11)21)31n 11 n2(11n) n(1nTn)( )n()()，22222222所以： Tn4(1(1 ) n )2n( 1) n 14 分226解：（ I）由题意，令y=0 ， x<0，得 f(x)1 f(0)=0 ， x<0 时， f(x)>1.1 f(0)=0. f(0)=1. 2 分适合题意的 f(x) 的一个解析式为f(x)=(1)x.4 分2（ II ）由递推关系知 f(a n+1)· f( 2 an)=1，即 f(an+1 2 an)=f(0). f(x) 的 R 上单调， an+1 an=2 ，（ n N * ），6 分又

16、 a1=1，故 an=2n 1.7 分 bn= ( 1) an( 1 ) 2n 1 ,Sn=b1+b2+ +bn= 1 +( 1 )3+ +( 1 )2n1222221 1( 1 ) 2n 312211)22(14n ).(2Tn111111a1a2a2a3an an 11335(2n 1)(2n 1)1(1111111(11)9分23 3 5)22n 1 2n 12n 1Sn42(113(112113 4n(2n 1)Tn34n)(n)(2n 1) 4n322n 13 2n 1 42欲比较 Sn 与 4 Tn 的大小，只需比较4n 与 2n+1的大小 .34n>2n+1 ，猜想 4n&

17、gt;2n+1.由 =1， 2，3 代入可知10 分欢迎下载9精品文库下用数学归纳法证明（ i）当 n=1 时， 41>2× 1+1 成立（ ii ）假设当 n=k 时命题成立，即 4k>2k+1当 n=k+1 时， 4k+1 =4× 4k>4(2k+1)=8k+4=2(k+1)+1+6k+1>2(k+1)+1，说明当 n=k+1 时命题也成立 .由（ i）（ ii ）可知， 4n>2n+1对于 n N* 都成立 .故 Sn>4 Tn .12 分3注：证明 4n>2n+1 ，除用数学归纳法证明以外，还可用其它方法证明，如： 4n=(

18、1+3) n=1+ C n13C n232C nn3n1 3n 2n1.7解（）当 n = 1 时， a1 s11a121a13, 解出 a1 = 3, 1 分424又 4sn = a n2 + 2a n3当 n2 时4sn1 =an2 1 + 2a n-134an an2an212(anan1 ) , 即 an2an21 2(an an1 )0 3 分(anan 1 )( anan 12)0 ,anan 10anan 12（ n2）5 分数列 an 是以 3 为首项，2 为公差的等差数列an32( n1)2n1 7 分（） Tn321522(2n 1) 2n又 2Tn322523(2 n1)

19、 2n(2 n1)2n 1 9 分 Tn3212( 22232n )( 2n 1)2n 1 11 分6822 n 1(2n 1)2n 1 13 分(2n1)2n12 14 分ab01a1 x21 x . 3 分8解： (1) 由题知 :a0, 解得2, 故 f (x)b21b12224a8(2) Tn a1a2an45n2n2,5 分欢迎下载10精品文库Tn 1a1 a2an 145(n 1)2( n 1)2( n2) ,Tnn 1an4(n 2) , 7 分Tn 15n 1又 a1T11满足上式 .所以 an4(nN ) . 8 分5(3)若5 f ( an ) 是 bn 与 an 的等差中

20、项 , 则 25 f (an )bnan , 9 分从而 10(1 an21 an )bnan ,得 bn5an26an5(an3)29. 10 分22554n1因为 an(nN ) 是 n 的减函数 , 所以5当 an3即 n3(nN) 时 ,bn 随 n 的增大而减小 ,此时最小值为 b3 ;,5当 an3即 n4(nN) 时 ,bn 随 n 的增大而增大 ,此时最小值为 b4 . 12 分,5又 a33a43, 所以 b3 b4 ,55222即数列 bn 中 b3 最小 ,且 b35464224 . 14 分551259、解：由 a110, S1498 得a110d0解得：a1 20.3

21、 分14a191d98d2ana1n 1 d 22 2n.4 分Sna1ann21nn2.6 分2令 an0 得 n11.8 分当 n11时， Sn 取得最大值.9 分（3）法一：由 a1 6， a11 0， S14 77 得：a16(1)a110d0(2).10 分14a191d77(3)(2)(14)得:14a1140d 0（ 4）(4)(3) 得:d117(1)(14)得:14 a184（ 5）(5)(3) 得 : d791dZ,d1.12 分代入（ 2）、（ 3）得：a1101 0a11 214a1168a1Z ,a111或12欢迎下载11精品文库an12n或 an13n. 14 分a

22、1a2 a3，710解：（）由已知得 : (a1 3)(a34) 2 分23a2 .解得 a22 设数列 an 的公比为 q ，由 a22 ，可得 a12 ， a32q 4 分q又 S37 ，可知22q7 ，2q即 2q25q20 ，解得 q12， q212由题意得 q1， q 2 a11 7 分故数列 an 的通项为 an2n1 （）由于 bnln a3 n1， n1，2， ，由（ 1）得 a3n123 nbnln 23n3n ln 2又 bn 1bn3ln 2 bn 是等差数列10 分Tnb1b2bnn(b1bn )2n(3ln 2 3nln 2)23n( n1)2ln 2.故 T3n(n

23、1) ln 2 14 分n211解：（ I ）依题意 a2a43( a3a4 ),即 2a43a2 a202a1q33a1 q3a1q0 2 分2q23q10q1或 q112q 1q 4 分2欢迎下载12精品文库故an64(1) n 1 5 分21（ II ） bnlog 2 64() n 1 log 2 27 n7 n 6 分2| bn |7nn7 7 分n7n7当n7时,| b1 | 6,Tn( 67n)nn(13n)22 9 分当n时(1n7)(n7)( n 6)(n 7)7 ,| b8 | 1,TnT72212n(13n) (n7)Tn2 12 分(n6)(n 7)21(n7)212 、解：（）由题意f ( an )42(n1)2n2,即 log m an 2n2,