数列易错题带答案

1、.1若数列an, bn、的通项公式分别是an(1)n2007a ， bn2(1)n2008，且nanbn ，对任意 nN恒成立，则常数a 的取值范围是（）A.2,1B.2,C.2,1D.,12已知等差数列 an 的前 n 项和是 Sn1 n2a8n ，则使 an2006 成立的最小正整数 n 为（22）A.2009B.2010C.2011D.20123在数列an中， a114,3an3an 12，则使 an an20成立的 n 值是（）A.21B.22C.23D.244已知等比数列 an 满足 an0 ，n 1,2,L，且 a52 n52n(n3) ，且当 n1 时，a2log 2 a1 lo

2、g 2 a3Llog2 a2n 1（）A n(2n1)B ( n2C2D (n21)n1)5已知 an 为等差数列， a1 + a3 + a5 =105， a2a4a6 =99，以 Sn 表示an 的前 n 项和，则使得Sn 达到最大值的n 是A21B20C 19D186已知数列an 的通项公式是ann212n32, 其前 n 项和是n,则对任意的Snm （其中 m, nN * ）， SnSm 的最大值是.7设等差数列an的前 n 项和为 Sn ，若 S972, 则 a2 a4 a9 =。8设等比数列 an 的公比 q1S4，前 n 项和为Sn ，则2a4an满足： a m（an ,当an为偶

3、数时，若a 19已知数列m为正整数），12，1an63an1,当 an为奇数时。则 m所有可能的取值为 _ 。10如果能将一张厚度为0.05的报纸对拆 ,再对拆 .对拆 50 次后 ,报纸的厚度是多少 ?你相信这时mm4 108报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥吗?(已知地球与月球的距离约为米).11已知 ( x1)n 的展开式中前三项的系数成等差数列2 x（ 1）求 n 的值；（ 2）求展开式中系数最大的项12已知数列 an 的前 n 项和 Sn n22n ,（ 1）求数列的通项公式an ；（ 2）设 2bnan1 , 且 Tn111L1b1b2b2b3b3b4，求 Tn .bnbn 1

4、13设数列 an 的前 n 项和为 Sn2n 2 bn 为等比数列， 且 a1b1 , b2 ( a2a1 ) b1.（1）求数列 an 和 bn 的通项公式；（2）设 cnan，求数列 cn 的前 n 项和 Tn 。bn14数列 an的各项均为正数，Sn 为其前 n 项和，对于任意nN * ，总有 an , Sn , an2成等差数列（1）求数列 an的通项公式；（2）设数列 bn的前 n 项和为 Tn，且 bnln nx，求证：对任意实数 x1, e （ e是an2常数， e 2 71828）和任意正整数 n ，总有 Tn2；3）正数数列cn中， an 1cnn 1N * ) 求数列 cn

5、 中的最大项。（, (n15an前 n 项和sn且a11,an 1sn。（ 1）求a2 , a3 , a4的值及数列an的通项公式。数列1316等差数列an的首项 a10 ，前 n 项和 sn ，当 lm 时， smsl 。问 n 为何值时 sn 最大 ?17 数列 an 中， a11，a22 ，数列 anan1 是公比为 q （ q0 ）的等比数列。（）求使 an an 1an1 an2an 2 an 3 成立的 q 的取值范围；（）求数列 an 的前 2n 项的和S2 n18 求 Sn1111112123231n19 设无穷等差数列 a n 的前 n 项和为 Sn .( ) 若首项 a13

6、1，求满足 S 22，公差 d(Sk ) 的正整数 k ；2k( ) 求所有的无穷等差数列a n ，使得对于一切正整数k 都有 Sk2 (Sk ) 2 成立.20 已知数集Aa1, a2 ,L an1 a1a2 L an , n2 具有性质P ；对任意的i, j 1 i jn ， ai a j 与 a j两数中至少有一个属于 A .ai（）分别判断数集1,3,4 与 1,2,3,6是否具有性质P ，并说明理由；（）证明： a1a1a2Lanan ；1，且a2Lana1 111（）证明：当n5时， a1 , a2 , a3 , a4 , a5 成等比数列 .参考答案1 A【解析】【错解分析】此题

7、容易错在不知道讨论奇偶性，以及n 是偶数时，要从2 开始。【正解】当 n 是奇数时，由 anbn 得 a1， a1 ；2n当 n 是偶数时，由 anbn 得 a1， a2, a2 ，2n因此常数 a 的取值范围是2, 1.2 B【解析】【错解分析】此题容易错选为A，C，D，错误原因主要是不能准确的根据等差数列求和公式的性质求出 d1且 a12 。【正解】设数列an 的公差是 d ，则 Snna1n(n 1) dd n2(a1d )n22212a8d1且 a1da8a17d1且 a12 ，n2n ，222， d222an 2(n1) 3 n2006, n2009因此使 an2006 成立的最小正

8、整数n=2010，选 B.3 A【解析】【错解分析】此题容易错选为B，错误原因是没有理解该数列为等差数列。【 正 解 】 由 已 知 得 an 1an2an14 (n 1)(2442n， an an 2，)3= 44 2n · 402n <0， (n3320)( n22)0,20n22 ，因此 n21，选 A.334 C【解析】 由 a5 a2n2 na5a126 ,0 得：a323 ,2, q2 ，52 ( n3) 得：再由 ana4，解得： a1a5 a328.24.所以 an2n ， log2 a2 n 12n1， log2 a1log2 a3Llog2 a2n1(12n

9、1)nn225 B【解析】由 a1 + a3 + a5 =105得3a3105, 即 a335 ，由 a2a4a6 =99 得 3a499即a4 33， d2 ， ana4(n4)(2)412n ，由an020，选 Ban 1得 n06 10.【解析】【错解分析】此题容易错选认为求最大项。【正解】由 ann212n32(n4)(n 8)0 得 4n 8，即在数列 an中，前三 项 以 及 从 第 9 项 起 后 的 各 项 均 为 负 且 a4a80 ， 因 此 SnSm 的 最 大 值 是a5 a6a734310.7 24【解析】 Q an是等差数列 , 由 S972 ,得S99a5 , a

10、58a2 a4a9(a2a9 ) a4(a5a6 ) a4 3a5248 15【解析】对于 s4a1 (1q4 ) , a4a1q3 ,s41q4151qa4q3 (1q)94 5 32【解析】（1）若 a1m 为偶数，则 a1为偶 ,故 a2ma3a2m当 m 仍为偶数时， a4m2m故 m224a61m32483232当 m 为奇数时， a43 m3 m13 m13a311a64故 41得 m=4。4444（ 2）若 a1m为奇数，则 a23a113m3m11 为偶数，故 a32必为偶数3m13m1a616，所以16=1 可得 m=510 可建一座桥【解析】【错解分析】 对拆 50 次后

11、,报纸的厚度应理解一等比数列的第n 项,易误理解为是比等比数列的前n 项和。【正解】对拆一次厚度增加为原来的一倍，设每次对拆厚度构成数列an ，则数列 an 是以 a1 =0.05 103米为首项，公比为2 的等比数列。从而对拆50 次后纸的厚度是此等比数列的第51 项，利用等比数列的通项公式易得a-35010810 故可建一座桥。,而地球和月球间的距离为4× 10<5.63 × 1051=0.05 × 10×2=5.63 × 1059T37xT47 x211（ 1） 8（2），【解析】【错解分析】此题容易错在：审题不清楚，误用前三项的二

12、项式系数成等差。【正解】（ 1）由题设，得01221129n 8 0 ，解得 n 8，n 1（舍Cn4Cn2Cn ， 即 n去）.1r C8r r1 1 C8r 1，1 1，（ 2）设第 r1 的系数最大，则22即8r2( r1)解得 r 2或 r 31r1r 11 1.2r C82r 1 C82r917 x5 ， T49所以系数最大的项为T37 x212（ 1） an2n1,nN *（ 2） Tn11n1【解析】【错解分析】 （ 1）在求通项公式时容易漏掉对n=1 的验证。（ 2）在裂项相消求数列的和时，务必细心。【正解】解 : （ 1）Sn=n2+2n当 n2时， anSnSn 1 2n

13、1当 n=1 时， a1=S1=3， an 21 13 ,满足上式 .故 an2n1, nN *（ 2） 2ba1, 11bn(an1)(2n 11)nnn221111bn bn 1n(n 1) n n 1 Tn111L1b1b2b2b3b3b4bnbn 1111111L111111122334n 1 n n n 1n 113（ 1） an4n2bn24n11（2） T(6 n5)4n5n9【解析】【错解分析】 （ 1）求数列 an 的通项公式时，容易遗忘对n=1 情况的检验。（ 2）错位相减法虽然是一种常见方法，但同时也是容易出错的地方，一定要仔细。【正解】解： （ 1）当 n 1时, a1

14、 S12;当n时Sn Sn 12n22(n1)24n 2,2 ,an故 an 的通项公式为 an4n2,即 an 是 a12,公差 d4 的等差数列 .设 bn 的通项公式为 q,则 b1qdb1, d4, q1 .4.故 bnb1 qn 121,即 bn 的通项公式为 bn2.4n14n 1（ 2）cnan4n21)4n 1,bn2( 2n4n1Tnc1c2cn1341542(2n1)4n 1 ,4Tn143 42543(2n3) 4n 1( 2n1)4n 两式相减得：3Tn1 2(41424 34n 1 ) ( 2n 1)4 n1( 6n 5) 4n53Tn1( 6n5) 4 n5.914

15、（ 1） ann （ nN * ）（ 2）见解析（ 3） c23 3【解析】【错解分析】 （ 1）对2Snanan2的转化，要借助于 an 与sn 的关系。（ 2 ）放缩法是此题的难点。【正解】解： (1) 由已知：对于 nN * ，总有 2Snanan2 成立 2Sn 1an 12（ n 2）an 1 - 得 2anan2an 12anan 1 anan 1anan 1 anan 1 an , an1 均为正数， anan 11（n 2）数列an 是公差为 1 的等差数列又 n=1 时， 2S1a1a12 ，解得 a1 =1 ann （ n N * ）（ 2）证明：对任意实数x1, e 和任

16、意正整数n，总有 bnln nx1an2n2 Tn1111111222n 21n 1 n12 23111111212123n1 nn2（ 3）解：由已知a2c122c12 ，.a3c2 33c23 3, a4c3 44c34 42,a5c455c45 5易得 c1c2 , c2c3c4.ln x1xln x1ln x猜想 n 2时， cn是递减数列令fxxxx,则 fx2x2当 x3时，ln x1,则1ln x0，即 fx0.在 3,内 f x为单调递减函数由 an 1cn n 1知 ln cnln n 1 n1 n 2 时， ln cn 是递减数列即cn是递减数列又 c1c2，数列 cn中的

17、最大项为 c23 3 14161 n115 a2, a3, a4an1 4n23927n233【解析】【错解分析】 此题在应用 sn 与 an 的关系时误认为 ansnsn 1 对于任意 n 值都成立，忽略了对n=1的情况的验证。易得出数列an 为等比数列的错误结论。【 正 解 】 易 求 得 a21 ,a34 , a416。 由 a11,an 11 sn得 an1 sn 1 n 2故11319274331an 1ansnn2得 an 1n 2又 a11，a2sn1anan故该数列从第333331 n1二项开始为等比数列故an14n 2n2。3316 故若 llmsn 最大。m 为偶数，当 n

18、时，2当 lm 为奇数时，当 nlm12时 sn 最大【解析】【错解分析】 等差数列的前n 项和是关于 n 的二次函数，可将问题转化为求解关于n 的二次函数的最大值，但易忘记此二次函数的定义域为正整数集这个限制条件。【正解】 由题意知 sn = fnn n1dd n2adn 此函数是以 n 为变量的二次na12212.函数，因为 a10 ，当 lm 时， smsl 故 d0 即此二次函数开口向下，故由f lfm 得当lmx 取得最大值，但由于n N，故若 llmsn 最大。x时 fm 为偶数，当 n时，2l m 12当 lm 为奇数时，当 n时 sn 最大。217（） 0 q153n2（） S

19、2 n【解析】【错解分析】对于等比数列的前n 项和易忽略公比q=1 的特殊情况，造成概念性错误。再者学生没有从定义出发研究条件数列 an an1 是公比为 q （ q0）的等比数列得到数列奇数项和偶数项成等比数列而找不到解题突破口。使思维受阻。【 正 解 】 解 ：（ I ） 数 列 anan 1 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， an 1 an 2an an 1q ，an 2 an 3an an 1q 2，由anan 1an 1an 2an 2 an 3得an an 1an an 1q an an 1 q21 q q 2， 即 q 2q1 0 （q 0），解得015q2（ II）由

20、数列 anan1an 2qan 2q ，这表明数列 an 的an 1 是公比为 q 的等比数列， 得anan an 1所有奇数项成等比数列，所有偶数项成等比数列，且公比都是q ，又 a1 1 ， a22 ，当 q 1时，S2na1a2a3a4a2n 1a2 n( a1 a2a3an ) (a2a4a6a2n )a1 (1q n )a2 (1qn )3(1q n )，1q1q1q当 q 1 时，S2 na1a2a3a4 L a2n 1a2 n( a1a2a3an ) (a2a4 a6a2n )(11 11)(2222)3n 18 Sn2nn1【解析】.【错解分析】 本题解答时一方面若不从通项入手

21、分析各项的特点就很难找到解题突破口，其次在裂项抵消中间项的过程中，对消去哪些项剩余哪些项规律不清而导致解题失误。【正解】由 等 差 数 列 的 前 n 项 和 公 式 得 1 2 3nn(n1)， 21 21n21)2(11) ，n 取 1，2 ，3 ，就分别得到 1,1,1，3n(nnn 11 12 123 S2(11111111n)2()2()2()22334nn 12(11)2n n 1n 119 ( ) k4()见解析【解析】【错解分析】 本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力. 学生在解第 ()时极易根据条件“对于一切正整数k 都有 Sk2( Sk ) 2

22、 成立”这句话将 k 取两个特殊值确定出等差数列的首项和公差，但没有认识到求解出的等差数列仅是对已知条件成立的必要条件，但不是条件成立的充分条件。还应进一步的由特殊到一般。【正解】 解：（I ）当 a3 , d1时Sn na1n(n1)3nn(n1) 12n122d22n2由22142122 ，即k3(1k1)0又 k0, 所以 k 4 .Skk得kk( kk)(S),242（ II）设数列 aSn 2(Sn )中分别取 k=1,2,得n 的公差为 d，则在22S1(S1 )a1a12 ,即4 3 d2 1 d) 24a1(2a122由（ 1）得a10或a11.当时 代入得或a10 ,(2)d 0 d 6,若 a10, d 0,则 an0,Sn0, 从而 Sk(Sk ) 2 成立 ,若 a10, d6,则 a n6( n1),由 S318, (S3 )2324,Sn216知 s9(S3 )2 ,故所数列不符合题意 . 当 11 ,代入( 2)得4 6d(2d)2 ,解得 d0或 d2a时若 a11,d0,则 an1, Snn,从而 S 2( Sk ) 2 成立;k若 a11, d2, 则 an2n 1, Sn13(2n1)n2 ,从而 S( Sn ) 2 成立 .综上，共有3 个满足条件的无穷等差数列：