数列的前n项和的几种方法

1、精品文档数列的前n 项和的求法福田中学雷鸣一、知识回顾1. 公式法 : 适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。n(a 1an )n(n1)na1(q1)na 1d ； Sna1 (1 qn ) a1an qSn22(q1)1 q1qn1n21n312（ Snkn(n1) ； Snk1)(2n1)； Snk2n(nn(n1)）k1k 16k 122.裂项相消法 :这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项( 通项 ) 分解 , 然后重新组合 , 使之能消去一些项, 最终达到求和的目的. 通项分解 ( 裂项 ) ，其基本方法是anf ( n1)f (n)（

2、 1） an111（ 2）sin 1tan(n1)tan nn(n1)nn1cos(ncosn1)（ 3）若 an 分别是等差数列，公差是d，则：1( 11 ) 1an an 1anan 1 d（ 4） ann(n12)1 11)(n11)(n2n( n1)(n2)例 1：求和111L L(2 n11)1335571)(2 n解答 an1 an11)数列 a n 的前 n 项和：(2n 1)( 2n2(12n1)2n1Sn2(11)( 11)(11) 2(11) 4n33 52n 1 2n 12n 12n 1迁移 1：求数列1,1,1, 的前 n 项和 .22nn 113解：设 an1n1n

3、，则 Sn111nn11223nn1。1欢迎下载精品文档=( 21) (32)( n 1n) n 1 12：步步高 72 页例题 33. 错位相减法 : 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法， 这种方法主要用于求数列a n· bn 的前 n 项和，其中 a n 、 b n 分别是等差数列和等比数列 .例 2：求当 x1 时，求和： Sn13x5x 27x3(2n1) xn 1解：由题可知该数列的通项为( 2n1) xn1 是等差数列2n1的通项与等比数列x n 1 的通项之积设： Sn13x5x27x 3( 2n 1) x n 1 xSn1x3x25x 37x 42n

4、3 xn1( 2n1)x n （设制错位）得(1 x)Sn12x2x 22x32x42xn 1(2n1) xn（错位相减）再利用等比数列的求和公式得：(1x)Sn12 x1xn 1(2n1) xn 又 x11x Sn(2n1)xn 1(2n 1)x n(1 x)(1x)2246, ,2n,前 n 项的和 .迁移 2： 求数列,22,32n22解：由题可知，2n的通项是等差数列2n 的通项与等比数列1 的通项之积2n2n设： Sn2462n223n22212462nSn2223242n1（设制错位）2得 (11)Sn222222n（错位相减）222223242n2n 1212n2n 12 n 1

5、n 2 Sn4 2n 14. 倒序相加法 : 类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法 . 就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再。2欢迎下载精品文档把它与原数列相加, 就可以得到n 个 a1+an. 【特点： ( a1an )( a2an1 )( a3an 2 )一个常数或定值】例 3：求证： C n03C n15C n2( 2n1)C nn( n 1)2n证明： 设 SnC n03C n15C n2(2n1)C nn .把式右边倒转过来得Sn(2n1)C nn(2n1)C nn 13C n1C n0（反序）又由 CnmCnnm可得Sn(2n 1)C n0( 2n1)C n13C nn 1C

6、 nn . . +得2Sn(2n2)(C n0Cn1C nn 1C nn )2(n1)2n（反序相加） Sn ( n 1) 2n迁移 3：求 sin 2 1sin 2 2sin 2 3sin2 88sin 2 89 的值解：设 S sin 2 1sin 2 2 sin2 3sin 2 88sin 2 89 .将式右边反序得S sin 2 89sin 2 88sin 2 3 sin 2 2 sin 2 1 . （反序）又因为 sin xcos(90x), sin2xcos2 x1 +得（反序相加）2S (sin 2 1cos2 1 )(sin 22cos2 2 )(sin 2 89cos2 89

7、 ) 89 S 44.55. 分组求和法 : 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.例 4：求数列的前n 项和： 11,14,17,13n2 ， aa 2an 1解：设 Sn (11(17)(13n2)1)(4)a2an 1a。3欢迎下载精品文档将其每一项拆开再重新组合得Sn (1111)(1473n 2) （分组）aa 2a n1当 a1 时， Snn(3n1)n (3n1)n （分组求和）2211(3n 1)naa1n(3n 1)nan当 a1 时， Sn21211aa迁移 4：求数列 1 ,2 3

8、,47 ,6 15 L L 前 n 项和248166，合并法求和针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求 Sn .例 5：求 Sn135791 n 2n 1解：观察数列可知，数列每相邻两项的和为一个定值1357，或3579（找特殊性质项）当 n 为奇数时，数列共有奇数项Sn1(35)(79)1 n 1 2n31 n 2n1 （合并求和）122212n12n当 n 为偶数时，数列共有偶数项Sn( 13)(57)n 12n3n1 11 2n（合并求和）2222n=n2迁移 5：求 cos1 ° + cos2 &#

9、176; + cos3 °+··· + cos178 °+ cos179 °的值 .解：设 Sn cos1 ° + cos2 ° + cos3 ° +··· + cos178 ° + cos179 ° cosncos(180n )（找特殊性质项） Sn （ cos1° + cos179 °） +（ cos2 ° + cos178 °） + （cos3 ° + cos177 °） +·&#

10、183;·+（ cos89 ° + cos91 °） + cos90 °（合并求和）0。4欢迎下载精品文档（二） . 常用结论1）nk1+2+3+.+n =n(n1)2n(2k1) 1+3+5+.+(2n-1) =n 2）k12k1n1 n( n 1)2k31323n 33 ）k121 n( nnk 2122232n21)(2n1)4 ）k165）11111 ( 11 )n(n 1) n n 1n(n 2) 2 n n 26）1q1( 1 1 ) ( p q)pqp pq二、基本训练1.等比数列 an 的前项和 S 2 ，则 a12a22a32an2 _

11、.2.设 Sn1357L( 1)n (2 n1) ，则 Sn _.3.求和：11L1.447(3n2)(3n1)14.数列 1× 4，2× 5， 3× 6， n× (n+3)，则它的前 n 项和 Sn =.5.数列 1,(12),(1222 ),L ,(1222L2n1),L的通项公式 an，前 n 项和Sn.三、例 1 、求下列各数列前n 项的和 Sn 1,3 5, ,2n 1, ;123Ln 1n222 ,232nCn2Cn3Cn(n 1)CnnCn例 2、在数列 an 中， an2n(1) n ，求 S10 和 S99。5欢迎下载精品文档n 1例、

12、已知数列 an 中，2an22n2n为奇数，试求前2n 项的和n为偶数例、 已知函数 f ( x)x24 （ x2 ），（ 1）求 f ( x) 的反函数 f1 ( x) ；（ 2）若 a11 ， anf 1 (an 1 ) ，求 an ；（ 3）若 b11， b21， bn1，求数列 bn 前 n 项和 Sn 。a2an 1a1a2a3an四、作业1、等比数列 a 中，已知对任意自然数nn， a a a a =2 1，则n123n2222等于a1 a2 a3 +an(A) ( 2n1)2(B)1 (2n1)(C)4n1(D)1 (4n1)332、等差数列 a n 的前 m项和为30，前 2m

13、项和为 100，则它的前3m项和为(A)130(B)170(C)210(D)2603、求和：111L1.121232 3 Ln14、数列 11,21,31,41,L 的前 n 项和是.3927815、 数列， 3q， 5q2， 7q3 的前 n 项和是_.6、 数列 an 满足 a12 ， an 1an2n ，则通项公式an，前 n 项和 Sn.7、 122 23242526 299 21002 _.8、在数列 an 中，已知 a120， an 1an4, 则 a1a2a3a20_.。6欢迎下载精品文档9，设 fx1n 项和公式的方法，求，利用课本中推导等差数列前2 x2f 5f 4f 0f 5 f 610、已知数列 a 是等差数列，且a 2，aa2a12 ，n113（ 1）求数列 an 的通项公式；（ 2）令 bnan xn ( xR ) ，求数列 bn 前 n 项和 Sn 的公式 .11、等比数列 an 的首项为，公比为，Sn 为其前项和，求和：S1+S2+S3+ S6n5(n为奇数）12、已知数列 an 的通项公式 an，求数列 an 的前 n 项的和 Sn .2n (n为偶数）13、非等比数列 an 中，前 n 项和 S