数学分析(华东师大)第四章函数的连续性

1、精品文档第四章函数的连续性§ 1连续性概念连续函数是数学分析中着重讨论的一类函数.从几何形象上粗略地说, 连续函 数在坐 标平 面上 的图象 是一 条连绵 不断的 曲线 . 当然我们不能满足于这种直观的认 识 , 而应 给出函 数连 续性 的精确定义 ,并由此出发研究连续函数的性质. 本节中先 定义 函数 在一点 的连 续性和在区 间 上的连续性 .一函数在一点的连续性定义 1设函数 f在某 U( x 0)内有定义 . 若limfx x f ( x ) =( x 0) , (1)0则称 f在点 x0 连续 .例如 ,函数 f ( x )= 2 x + 1 在点 x = 2 连续 ,

2、因为lif ( x) =( 2 x + 1 ) =5 = f ( 2 ) .又如 ,函mlim2x 2x 数xsin1x 0,f ( x) =x0 ,x =0在点 x = 0连续 ,因为limf ( x) =xsin1= 0= f ( 0) .xx 0limx 0为引入函数y = f ( x )在点x0 连续的另 一种 表述 ,记x = x-x0 ,称为 自 变量x(在点x0 ) 的增量或改变量. 设 y0 = f ( x0 ) ,相应 的函数y( 在点 x0 ) 的增 量记为y = f ( x ) -f ( x0) =f ( x0+x)-f ( x0) =y-y0.注自变量的增量x 或函数的

3、增量y 可以是正数,也可以是0 或负数 .。1欢迎下载精品文档引进了增量的概念之后 , 易见“ 函数 y = f ( x ) 在点 x0 连续”等价于 lim y = 0 .x 0。2欢迎下载精品文档70第四章函数的连续性由于函数在一点的连续性是通过极限来定义的 ,因而也可 直接 用 - 方 式来叙述 ,即 :若对任给的 > 0 ,存在 > 0, 使得当 | x-x0 | <时有| f ( x)-f( x 0 ) | <,( 2)则称函数 f在点 x0连续 .由上述定义 ,我们可得出函数f 在点 x0 有极限 与 f 在 x0连续这两个概 念之间的联系.首先 , f在点

4、 x0有极限是f在 x0连续的必要条件; 进一步说“,f 在点 x0连续”不仅要求f在点 x0有极限 ,而且其 极限值应 等于 f在 x0的函数 值 f ( x0 ) .其次 , 在讨论极限 时 ,我们假 定 f在点 x0的某空心邻域 U°( x 0) 内有定义(f在点 x0可以没有定义 ) ,而“ f 在点 x0 连续”则要求 f在某 U(x0 )内 ( 包括 点 x0)有定义 ,此时由于 (2 ) 式当 x =x0时总是成 立的 ,所以在 极限定义 中的“ 0<|x-x0 |<”换成了在连续定义中的 “ |x-x0 |<”. 最后 ,( 1 )式又可表示为lim

5、 f ( x)=flimx,x xx x00可见“ f在点 x连续”意味着极限运算 与对应法则 f 的可交换性 .0limx x0例 1证明函数 f (x )= x D( x )在点 x = 0连续 ,其中 D ( x )为狄利克雷函数 .证由 f (0)=0及 |D( x )| 1,对任给的 > 0, 为使| f ( x )- f (0) | = | xD( x )| |x| <,只要取 = ,即可按 - 定义推得f 在 x = 0连续 .相应于f在点 x0的左、右极限的概念,我们给出左、 右连续的定义如下:定义 2设函数f在某 U+( x0 )(U-( x 0) )内有定义.

6、若lim+f ( x)( x=)ff ( x)=f ( x0 ),x x0lim0-x x0则称 f 在点 x0 右 (左 )连续 .根据上述定义1 与定义2 ,不难推出如下定理 .定理 4.1 函数f在点 x0 连续的充 要条 件是 :f在点 x0 既是 右连续 ,又是左连续.例 2讨论函数在点 x性 .=0的解因为连续。3欢迎下载精品文档xf ( x ) =+2,x0,x-2,x<0lim+f ( x ) =(x +2 )x 0limlimx 0 +=2 , ( x-f ( x)=x 0lim -2)= -x 0-2 ,而 f ( 0 ) = 2 ,所以 f在点 x = 0 右连 续

7、 ,但不左连续 ,从而它在 x = 0不连续( 见。4欢迎下载精品文档§ 1连续性概念71图4-1).二间断点及其分类定义 3 设函数f在某U°(x0) 内有定义. 若 f在点 x无定义 ,或 f在点 x0有定义而不连续 ,则称0点 x0为 函数 f的间断点或不连续点.按此定义以及上一段中关于极限与连续性之间联系的讨论 ,若 x0 为函数f的间断点 ,则必出现下列情形之一:图4-1(i ) f在点 x0无定义或极限 l imf ( x )不存在 ;x x0(ii) f在点 x0有定义且极限limf ( x )存在 , f ( x) f ( x 0 ) .x x但 lim0x

8、 x0据此 ,我们对函数的间断点作如下分类:1.可去间断点若limf ( x )=A ,x x0而 f在点 x0 无定义 ,或有定义但f ( x0) A ,则称 x0为 f 的可去间断点 .例如 , 对于函数 f ( x )= | sgnx | ,因 f (0)= 0, 而limf ( x)=1 f (0 ) ,x 0故 x=0为 f (x )= | sgnx |的 可去 间 断点 . 又 如函 数 g(x )=sinx,由 于xlig ( x )= 1,而 g 在 x= 0无定义 ,所以 x = 0是函数 g 的可去间断m点 .x0设 x0为函数 f的可去间断点,且 limf ( x )=A. 我们按如下方法定义x x一个0函数 f : 当 x x0时 , f ( x )= f (x) ;当 x = x0时 , f ( x0 ) =A.易见,对于函数f ,x 0是它的连续点 . 例如 ,对上述的 g( x)= sinx, 我们定义x则 g在x = 0g( x) =连续 .。5欢迎下载精品文档sin x1,x = 0 ,x 0 ,x2. 跳跃间断点若函数 f 在点 x0 的左、右极限都存在