数学建模-新产品销量预测问题(1)

1、精品资料销量预测问题一、 摘要本文通过建立微分方程模型，探讨了新产品进入市场后销售量变化的情况。模型由简单到复杂、 由理想到现实， 逐步利用广告对市场的限制探讨了产品销售量变化的情况，分析了广告费用对销售量产生的影响，建立比较符合现实的模型。问题一中，新产品的投入，没有市场竞争，有良好的市场环境，也有良好的口碑，故属于较为简单的微分方程模型，可直接建立模型。问题二中，产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明 dx 与该产品的潜在dt容量 Nx(t ) 成正比，故建立阻滞增长模型求解。问题三中，则考虑了广告费用对产品销量的影响，分析了广告费用与销售速率之间的关系，建立数学微分方程模型，并运用了M

2、atlab软件编程求解。二、 问题提出一种新产品问世，经营者自然要关心产品的卖出情况。如何采取有效措施，使得产品销量大，获取更大的利润，这是每个经营者最为关注的问题。dx1、设 t 时刻产品销量的增长率 dt 与 x(t ) 成正比 , 预测 t 时的产品销量 x t ；dx2、设考虑到产品销售存在一定的市场容量N, 统计表明 dt 与该产品的潜在容量 N x(t ) 成正比 , 预测 t 时的产品销量 x t；3、试考虑影响产品销量的广告因素， 并建立模型，预测 t 时的产品销量 x t .可编辑修改精品资料三、 模型假设与符号系统模型假设：模型基本假设：；假设 1 ：在考虑影响商品销售的因

3、素时，不考虑偶然因素，如经济、战争因素、政治干预等；假设 2 ：产品的销售量符合产品的生命周期；假设 3 ：产品为日常用品，不是耐用品，每个人都需要。符号系统：x(t)为 t 时刻新产品的销售量a 为每件新产品的宣传效率N 为市场的销售容量b 为产品销售量的增长率与潜在容量的比例系数s(t)为商品 t 时刻的销售量 (即新产品在此时刻一段时间的销售量,如七月份 ,八月份的销售量 , 而不是总销售量 )M(t)为 t 时刻的广告费用为销售量本身的衰减系数? 为广告宣传对销售速率的影响T 为商品销售速率最大的时刻可编辑修改精品资料四、 模型的建立与求解问题一模型的建立与求解：模型的建立：t 时刻时

4、，新产品的销售量为 x（ t ），把 x （t ）当做连续、可微函数处理。每件新产品都是宣传品，且单位时间内每件新产品能够使a 件新产品被销售。由假设可知：x(t+?t) -x(t)=ax(t)即：dxdt开始时有 x0 件新产品被销售axx(0)=x0整理得：dxaxdtx(0)x0求解得：x(t )x0eat问题二模型的建立与求解：模型的建立：事实上， x t 往往是有上界的。针对模型上述欠缺，我们来修改模型 ,统计表明 dx 与该产品的潜在销量成正比， 且设 b 为销售量的增长率与潜在 dt可编辑修改精品资料销售量的比例系数则：dxb( Nx(t)dt用 matlab软件求解得：N (

5、ebt1)x0x( t)问题三模型的建立与求解：ebt模型的建立：与实际情况比较， 所得结果与真实销售量的增长情况比较相符。然而事实上， 厂家在产品销售之初， 往往是通过广告、 宣传等各种方式来推销其产品的。因此我们需要做一下在广告干预下的模型。另由图像分析可知商品的销售速度与广告费用成正比，即dsdtM (t)但是在市场趋于饱和，销售量趋于极限值N 时，销售速度将会下降（广告作用下降，当 s（t ）趋近于 N，广告作用趋近于零） 。产品生命周期一般分为四个阶段：引入期：指新产品投入市场的初期阶段，也叫投入期。因这一阶段，用户对产品不太了解，需要做大量的广告宣传工作，向用户推荐介绍产品， 所以

6、这一时期也叫做介绍期。成长期：市场销售量迅速增长的阶段。成熟期：销售量很大，而且稳定，增减幅度不大。 销售量最高点也是在这一时期。衰退期：产品已经陈旧老化，销售量下降很快。可编辑修改精品资料由产品的生命周期可知，自然衰退是商品销售速度的一种性质，即产品销售速度随销售量的增加而下降。ds1s(t )dtN由于商品本质属性中销售衰减期的存在，所以我们建立模型如下：ds(t)M (t)(1s(t ) )s(t)dtN特别： M(t ）=0 ，s （t ）=N 时，得到ds(t)dts(t)若 M(t ）复杂，则方程难以解出。考虑到销售速度与广告宣传的关系，当销售进行到一定时刻， 无论如何做广告，销售

7、速度都将下降。故设广告总费用为 m ，为讨论方便，设在 T 时间内做广告且取 M （ t ）=m/T, 即取广告策略为 :m (0tT )M (t )T0(tT )相当于在开始到 T 时间内，平均投入广告费用，时间T 后不再作广告。代入方程：当 0<t<T 时，ds(t )m (1s(t) )s(t )dtTNm(m ) s(t)(0<t<T)TTM令mpTM可编辑修改q精品资料mT则方程化为一阶非齐次线性方程ds(t )dt得 :ps(t )qpts ( t )ce若 s（0 ）=s0 ，则 c=s0-q/p,从而qps(t)(s0q )e pt qppq (1 e pt )s0e ptp当 t>T 时，由s'(t)=-s(t)得： ,s(t)=ce