数学物理方法知识点归纳

1、第一章 复述和复变函数1.5 连续若函数 f (x) 在 z0 的领域内（包括z0 本身）已经单值确定，并且 lim f ( z)f ( z0 ) ，z z0则称 f(z) 在 z0 点连续。1.6 导数若函数在一点的导数存在， 则称函数在该点可导。f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导数存在的条件(i)u 、u 、v 、v 在点不仅存在而且xyxy连续。(ii)C-R条 件 在 该 点 成 立 。 C-R条 件 为u(x, y)v( x, y)xyv(x, y)u( x, y)xy1.7 解析若函数不仅在一点是可导的，而且在该点的领域内点点是可导的，则称该点是解析的。解析的必要条件：函数

2、f(z)=u+iv在点 z 的领域内 (i)u 、 u 、 v 、 v 存在。xyxy(ii)C-R 条件在该点成立。解析的充分条件： 函数 f(z)=u+iv 在领域内 (i)u 、 u 、 v 、 v 不仅存在而且连续。xyxy(ii)C-R 条件在该点成立。1.8 解析函数和调和函数的关系拉普拉斯方程的解都是调和函数：2 u2ux2 +y2 =0由此可见解析函数的实部和虚部都是调和函数。 但是任意的两个调和函数作为虚实两部形成的函数不一定是解析函数， 因为它们不一定满足 CR 条件。.当知道 f(z)=u(x,y)+iv(x,y) 中的 u(x,y) 时，如何求 v(x,y)?通过 C

3、R 条件列微分方程第二章复变函数的积分2.2 解析函数的积分柯西定理： 若函数 f(z) 在单连区域 D 内是解析的，则对于所有在这个区域内而且在两个公共端点 A 与 B 的那些曲线来讲，积分Bf ( z)dz 的值均相等。A柯西定理推论： 若函数 f(z) 在单连区域 D 内解析，则它沿 D 内任一围线的积分都等于零。f ( z) dz0C二连区域的柯西定理：若 f(z) 在二连区域D解析，边界连续， 则 f(z) 沿外境界线 (逆时针方向 )的积分等于f(z) 沿内境界线 (逆时针方向 )的积分。n+1 连区域柯西定理：f ( z)dzf (z)dzf ( z) dz.f ( z)dzei

4、1i2i n推论： 在 f(z) 的解析区域中，围线连续变形时，积分值不变。2.3 柯西公式若 f(z) 在单连有界区域 D 内解析， 在闭区域 D 的边界连续， 则对于区域 D 的任何一个内点 a，有 f ( a)1f ( z) dz 其中是境2 iz a界线。2.5 柯西导数公式f( n)n!f ( )(z)n 1 d2 i C (z)第三章级数3.2 复变函数项级数外尔斯特拉斯定理：如果级数uk (z) 在境k 0界上一致收敛，那么(i) 这个级数在区域内部也收敛，其值为F(z)(ii) 由它们的 m 阶导数组成的级数;.函数。uk(m ) ( z) 在区域内也收敛，而且它们的和环形区域

5、内的解析函数可展成双边幂级数k 0等于 F(m)(z)。f ( z)kck ( za) k3.3 幂级数阿贝尔 (Abel) 定理： 如果幂级数1f ( )ck(d称为 Laurant 系数ck ( za)k在点 z0 处收敛，则在任一圆2 ia)k 03.8 孤立奇点|z-a|<=p|z0-a|， 0<p<1 内，幂级数一致收敛，非孤立奇点 ：若函数 f(z) 在 z=a 点的无论多并且绝对收敛。么小的领域内，总有除z=a 以外的奇点，则达朗贝尔 (D Alembert) 判别法 :对于幂级数，z=a 是 f(z)的非孤立奇点。| ck 1 (za)k1 |孤立奇点 ：若函

6、数在 z=a 不可导 (或无定义 )，而在去心领域0<|z-a|<解析，则 z=a 是 f(z)计算下列极限 limkk| ck (za)|的一个孤立奇点。(i) 当极限值小于1 时，幂级数在点 z 处绝对3.9 奇点分类收敛 (ii) 当极限值大于1 时，幂级数在点z有限远奇点极限性质洛朗级数处发散 (iii) 当极限值等于 1时，敛散性不能可去奇点limf(z)= 有限不含负幂项判断。值柯西判别法： 计算极限 lim k|ck ( za) k|极点limf(z)= 含有限个负k幂项当极限值小于1 时，幂级数在点 z 处绝对收本性奇点limf(z)= 无定含无限个负敛; 而当极限

7、值大于 1时，幂级数在点 z 处发值幂项散；极限值等于1 时，不能判断3.4 解析函数与幂级数无穷远点极限性质洛朗级数定理 ：幂级数的和是收敛圆内的解析函数。可去奇点limf(z)=有限值不含正幂项(n )极点limf(z)=含有限个正幂Taylor 级数： f ( z)f( a) ( za)n项n 0n!本性奇点limf(z)=无定值含无限个正幂ez1zz2.zn.项第四章 留数2!n!4.1 柯西公式的另一种形式z3z5nz2 n 1一阶极点留数 ：若 g(z)在单连区域 D 内解析，sin zz3!5!.(-1)( 2n1)!.a 在 D 内，在 D 内作一环绕点a 的围线 C。令 f(

8、z)=g(z)/(z-a) 则有：cosz1z2z4.z2 n.f ( z) dz2i Re sf (a)2!4!(2n)!CRe sf (a)lim ( za) f ( z)z2z3zn1zaln(1z)z.(-1) n.一阶极点留数的一种算法:23n1如果 f (z)( z)(a)那么 Resf (a)3.5 解析函数与双边幂级数( z)(a)定理：双边幂级数的和是环形区域内的解析;.m 阶极点的留数公式1dm 1Re sf (a)m 1 ( z a) m f ( z)|z a(m 1)! dz4.2 用级数分析来分析留数定理f ( z)ck ( za) kk则有 Res f (a)c 1

9、多连区域的柯西定理 :如果在围线 C 的内部包含 n 个孤立奇点， 利用多连区域的柯西定n理就有f (z)dz2 iRe sf (ak )Ck 14.3 无限远点的留数Re sf ()1f ( z)dzc 12i定理 1：如果当 z时，若 zf(z) 0,则Resf( )=0nResf(a k )Re sf ()0定理 2：k14.4 留数定理计算型积分2R(cos, sin) d第一种类型：型积分0令 z eiddz / izcos1 (z z 1 ) sin1 ( zz 1)222, sin) df ( z)dzR(cos0|z| 1在单位圆内各个奇点的留数之和第二种类型：f ( x) d

10、x 型积分注意，需要满足条件lim zf ( z)0zf ( x)dx2 i在上半平面的奇点留数之和（界限上的乘以0.5）第三种类型：f ( x)eimx dx 型积分.注意需要符合条件lim f ( z)0zf ( x)eimx dx2 i f(z)e imz 在上半平面的奇点留数之和4.7 围线积分方法泊松积分：e ax2cosbxdx1e b 2 / 4a02a菲涅尔积分：cos x2 dxsin x2 dx10022第六章积分变换6.1 傅里叶级数三角函数系的正交性2 周期 - 展开定理：f ( x)C 0(C m cosmxD m sin mx)m 1C01f ( )d2Cm1f (

11、) cosm dDm1f ( ) sin m d任意周期2l- 展开定理：f ( x)C0(C m cosmx Dm sin m x)m 1llC01l)d2lf (lCm1lmdf () coslllDm1l) sinmdlf (ll6.2 傅立叶积分f ( x) C (k ) coskxD (k) sin kxdk0C (k )1f () coskdD (k )1f () sin kd;.C(k) 是偶函数， D(k) 是奇函数.导数的象函数：傅里叶公式1令 f (k) C(k ) iD (k )d (t )dtp( p)(0)2则 f (x)ikxf (k )e dk1f (ikf (

12、k)2)e dF f (x)f ( k)f ( x)F1 f (k)6.3 傅立叶变换线性定理F C1 f1C2 f 2 C1 F f1 C 2 F f 2 导数定理F f( x)ikF f (x)F d n f ( x) (ik ) n F f (x)dxn积分定理1xFf () dF f ( x)x0ik延迟定理F f (xx0 )eikx0 F f ( x)相似定理F f (ax)1f ( k )aa卷积定理Ff1 ( ) f 2 ( x)d 2 f1 (k) f 2 (k)6.4 拉普拉斯变幻( p)(t)ept dt0注意当 t<0 时，(t) =0( p) =L (t ) (

13、t ) =L -1( p) (t) ( p)线性性质：a 1 (t)b 2 (t )a 1 ( p)b 2 ( p)nd(t)p n( p)pn 1 (0)pn 2(0).n -1( 0)dt n积分的象函数t(t )dt( p)0pt nn!pn1象函数的位移定理：eat(t)( pa)由此可得eatcost( ppaa) 22eatsint( pa) 22eat cht( pp 2a2a)eat sht( p22（用来求逆变换）a)延迟函数的象函数(t )H (t)( p)(t )H (t )ep( p)卷积定理Lt1 ( )2 (t)dL 1 (t) L 2 (t )0象函数的导数( t

14、)n(t )d n( p)dp n积分公式：0( p)dp(t) dt0t;.第八章数学物理方程的导出2 u(x,t) a 22u(x,t )t 2x2弦的横振动方程u=弦的横向位移a2=FT/FT=张力 =单位长度弦的质量弦的纵振动方程u=弦的纵向位移a2=E/ E= 杨氏模量 =单位长度弦的质量u(r , t)a 2 2u(r , t)tu=离子浓度， a2=D扩散方程D=扩散系数热传导方程u=温度， a2=k/ ck= 导热系数， =质量密度c=比热容2 u(r , t)22t 2au(r ,t )波动方程u=E 或 B 的任一分量a 21/ 00 0 =真空电容率0 =真空导磁系数E

15、电场强度B 磁场强度拉普拉斯方程2u(r , t) 0稳恒状态扩散方程u=粒子浓度稳恒状态传导方程u=温度静电场方程u=静电势线性算符与解的叠加初始条件扩散方程（已知函数）u(r ,t ) |t 0热传导方程波动方程(已知函数 )u(r ,t ) |t 0.u( r, t) |t 0（已知函数）t边界条件uu已知函数n第九章 本征函数法弦振动方程的第一类边值问题定解2u(x,t)2 u( x, t)问题a2t 2x2u |t0( x), ut |t0(x)u(0,t )u(l ,t )0分离u(x,t )X (x)T (t )变量解本X ( x)X ( x)0证方X (0)X (l )0程本征

16、值n( n)2l本征函数 X ( x)X n ( x)sin nxl解非T (t)a2nT (t )0的通解为本征方程Cn cosn a tDn sinn atT(t)Tn(t)ll定解u(x, t)Tn (t )Xn (x)问题n 1的解(Cn cosn a t Dn sinn a t) sinnxn 1lll由初C n sin n始条u(x,0)( x)x件和n 1l傅里na sin n叶级ut |t 0(x)Dnx数确n 1ll定系Cn2lnd数l( ) sin0l2l) sin nD n(dna0l;.热传导方程第二类边值问题定解u( x,t )2u(x,t )问题a 2tx 2u x

17、 |x 00,ux |x l0u(x,0)( x)分离u(x,t ) X (x)T (t)变量解本X ( x)X ( x)0证方X (0)X (l )0程本征值n( n) 2l本征函数 X (x)X n( x) cosn xl.第一类边界条件齐次化的一般方法非齐次边界条u(0, t)1(t )件u(l ,t )2 (t )齐次化方法u( x, t)v( x,t ) 1(t)x2 (t)1 (t )l非齐次方程按本征函数系展开的解法定解2v( x,t )2v(x,t )2f (x,t )问题t2a2xv |x00,v |xl0v |t00,vt |t00解非T(t)a 2nT (t)0 的通解为

18、本征方程an 2T(t) T (t)() t C elnn定解u(x,t)C0问题(an)2 t nx的解Cnelcosn 1l本征函数非齐次项按本征函数展开X (x)f (x, t )f n (t )X n ( x)sin nxln xf n (t) sinln 12l,t ) sinnlf (d0l由初始条件和u(x,t )C0Cn cos nxn 1l定解问题试解v(x,t)Tn (t)xin nxn 1l傅里C01l( )dT n(t)n a 2叶级数确定系Cnl2l0l( ) cos nd0l的确定Tn (t )Tn |t 0() Tn (t)fn (t )0l0, Tn |t 00

19、数ltn a(t)Tn (t )fn( ) sindn a 0lX ( x)X ( x)0 本征值和本征函数系齐次边界条件本征值本征函数系X(0)X(l)0n( n) 2sin nxX (0)X (l )0ll( n) 2cos nxnX(0)X (l)0ll(n 1)(n1)n 22sin2xll第十章勒让德多项式微分方程的幂级数解法二阶齐次线性常微分方程d 2 y(z)p( z) dy( z)q( z) y( z) 0dz2dz将试解 y(z)C k ( zz0 )k 代入方程， 求k0系数的递推公式，从而求出方程的解;.连带勒让德方程2)d 2 ydym22 y 0(1 xdx22x l

20、 (l 1)1 xdx勒让德方程(1x2)d 2 ydyl (l1) y0dx22xdx勒让德方程的通解y( x) C0 y0 (x) C1 y1 (x)y0 (x)1l (l1) x2(l2)l (l1)(l3) x42!4!.(1)k (l2k2)(l2k4).l (l1)(l3).(l2k1)x2 k /(2k)! .y1 (x)x(l1)(l2) x23!(l3)(l1)(l2)(l4) x5 .5!( 1) k (l2k1)(l2k3).(l 2)(l 4).(l2k)x2k 1 /(2k1)! .系数递推关系Cn 2( n l )( n l 1) C n(n 2)(n 1)勒让德多

21、项式对 y0(x)或 y1(x) 乘以适当常数，使得xl 的最高项系数为 Cl(2l )!时的多项式称为勒2l(l!)2让德多项式，此时相应的Cl-2n 为Cl 2 n(1) nn!2l(2l2n)!(ln)! (l2n)!勒让德级数表达式km1)k(2l2k)!xl 2kPl (x)(k0k!2l (lk )! (l2k)!km l ( 高斯函数 )2导数表达式.Pl( x)1d l(x21)l2ll! dxl围线积分表达式Pl( z)11( 21)ld2i 2lC (z)l1定积分表达式Pl(cos)10cosi sincos l d性质Pl ( x) ( 1)l Pl (x)P2n 1

22、(0)0P2n (0)(1) n( 2n)!22 n n!n!Pl(1)1Pl(1)(1)l| Pl(cos ) |1勒让德方程的本征方程刘维尔方程d k ( x) dy q(x) yw(x) y0dxdx勒让德方程d(1x 2 ) dyl (l1) y0dxdx权函数： w(x)=1本征函数： Pl(x)正交性：1Pl ( x) Pk ( x) dx0,lk1模： N l1 Pl ( x)2 dx212l1广义傅立叶级数展开f ( x)fl Pl ( x), fl2l11f (x)Pl ( x)dxl 021g()f (cos)vgl Pl(cos),l 0gl2l1g()Pl (cos)

23、sind20母函数;.1r l Pl (cos ), r1d xv Jv (x)x vJ v1 ( x)l0dx1 2r cosr 21Pl (cos ), r1d xvJ v ( x)xvJ v 1 (x)l0rl 1dx1l0r lPl( x),r11 2rxr 21Pl (x), r1l0rl1递推公式(n+1) Pn 1 ( x) -(2n+1)x Pn ( x) +n Pn 1 ( x) =0Pn ( x) = Pn 1( x) -2x Pn ( x) + Pn 1 (x)Pn 1 (x) =x Pn (x) +(n+1)Pn (x)x Pn ( x) - Pn 1 ( x) =n Pn ( x)Pn 1 (x) - Pn 1 ( x) =(2n+1)Pn ( x)具有轴对称性质的拉普拉斯方程2 u(r , , )2u(r , )0u(r , , ) R(r ) ( ) ( )R( r )( )( )非本征函数本征函数本征函数r l , r ( l 1)1,m=0Pl (cos )Jv 1( x) J v 1