数学建模综合评价方法(定)

1、所谓指标就是用来评价系统的参量例如，在校学生规模、教学质量、师资结构、科研水平等，就可以作为评价高等院校综合水平的主要指标一般说来，任何 个指标都反映和刻画事物的 个侧面从指标值的特征看，指标可以分为定性指标和定量指标定性指标是用定性的语言作为指标描述值，定量指标是用具体数据作为指标值例如，旅游景区质量等级有5A 、4A 、 3A 、 2A 和 1A 之分，则旅游景区质量等级是定性指标；而景区年旅客接待量、门票收入等就是定量指标从指标值的变化对评价目的的影响来看，可以将指标分为以下四类：(1)极大型指标 (又称为效益型指标)是指标值越大越好的指标；(2)极小型指标 (又称为成本型指标)是指标值

2、越小越好的指标；(3)居中型指标是指标值既不是越大越好，也不是越小越好，而是适中为最好的指标；(4) 区间型指标是指标值取在某个区间内为最好的指标例如，在评价企业的经济效益时，利润作为指标，其值越大，经济效益就越好，这就是效益型指标；而管理费用作为指标，其值越小，经济效益就越好，所以管理费用是成本型指标再如建筑工程招标中，投标报价既不能太高又不能太低，其值的变化范围一般是 ( 10%, 5%) ×标的价， 超过此范围的都将被淘汰， 因此投标报价为区间型指标 投标工期既不能太长又不能太短，就是居中型指标在实际中，不论按什么方式对指标进行分类，不同类型的指标可以通过相应的数学方法进行相互

3、转换评价指标的预处理方法一般情况下，在综合评价指标中，各指标值可能属于不同类型、不同单位或不同数量级，从而使得各指标之间存在着不可公度性，给综合评价带来了诸多不便为了尽可能地反映实际情况，消除由于各项指标间的这些差别带来的影响，避免出现不合理的评价结果，就需要对评价指标进行一定的预处理，包括对指标的一致化处理和无量纲化处理1指标的一致化处理所谓一致化处理就是将评价指标的类型进行统一一般来说，在评价指标体系中，可能会同时存在极大型指标、极小型指标、居中型指标和区间型指标，它们都具有不同的特点如产量、利润、成绩等极大型指标是希望取值越大越好；而成本、费用、缺陷等极小型指标则是希望取值越小越好；对于

4、室内温度、空气湿度等居中型指标是既不期望取值太大，也不期望取值太小，而是居中为好若指标体系中存在不同类型的指标，必须在综合评价之前将评价指标的类型做一致化处理例如，将各类指标都转化为极大型指标，或极小型指标一般的做法是将非极大型指标转化为极大型指标但是，在不同的指标权重确定方法和评价模型中，指标一致化处理也有差异(1) 极小型指标化为极大型指标对极小型指标x j ，将其转化为极大型指标时，只需对指标x j 取倒数：x j1，xj或做平移变换：精选文库x jM j x j ，其中 M jmaxxij ，即 n 个评价对象第j 项指标值 xij 最大者1 i n(2) 居中型指标化为极大型指标对居

5、中型指标x j ，令 M jmax xij ， mjmin xij ，取1i n1i n2( xjmj)mjx jM jmj;M jm j,2xj2(M jxj ) ,M jmjx jM j .M jm j2就可以将 x j 转化为极大型指标(3) 区间型指标化为极大型指标对区间型指标x j ， x j 是取值介于区间 aj ,bj 内时为最好，指标值离该区间越远就越差令 M jmax xij ， mjmin xij ， cjmaxaj mj , M j bj , 取1 i n1i n1a jx j ,xjaj ;c jx j1,a jxjbj ;1x jbj ,x jbj .c j就可以将区

6、间型指标x j 转化为极大型指标类似地，通过适当的数学变换，也可以将极大型指标、居中型指标转化为极小型指标2指标的无量纲化处理所谓无量纲化，也称为指标的规范化，是通过数学变换来消除原始指标的单位及其数值数量级影响的过程因此，就有指标的实际值和评价值之分 般地，将指标无量纲化处理以后的值 称为指标评价值无量纲化过程就是将指标实际值转化为指标评价值的过程对于 n 个评价对象 S1, S2 ,L,Sn ，每个评价对象有m 个指标，其观测值分别为xij (i1,2,L , n; j1,2,L, m) (1) 标准样本变换法令xij*xijx j(1 in ,1jm).sj其中样本均值1 nxij ，样

7、本均方差 s1n( xx)2*称为标准观测值x jj， xn i1n i1ijjij- 2 -精选文库特点：样本均值为0 ，方差为 1；区间不确定，处理后各指标的最大值、最小值不相同；对于指标值恒定( sj0 )的情况不适用；对于要求指标评价值xij*0 的评价方法 (如熵值法、几何加权平均法等)不适用(2) 线性比例变换法对于极大型指标，令xij*xij(max xij0, 1in, 1jm).maxxij1 in1 in对极小型指标，令*min xij1 in(1i n,1jm).xijxij或xij*1xij(max xij0, 1in, 1jm).max xij1i n1in该方法的优

8、点是这些变换方式是线性的，且变化前后的属性值成比例但对任一指标来说，变换后的 x*1和 x*0 不一定同时出现ijij特点：当 xij0时， xij*0,1 ；计算简便，并保留了相对排序关系(3) 向量归一化法对于极大型指标，令*xij(1in ,1jm).xijnxij2i 1对于极小型指标，令xij*1xij(1 in ,1jm ).nxij2i1n优点：当 xij0 时，x*0,1 ，即( xij*)21该方法使 0 x*1 ，且变换前iji1ij后正逆方向不变；缺点是它是非线性变换，变换后各指标的最大值和最小值不相同(4) 极差变换法对于极大型指标，令*xijmin xij1 i n(

9、1in, 1 jm).xijmax xijmin xij1i n1i n对于极小型指标，令*max xijxij1 i n(1im, 1jn).xijmax xijmin xij1i n1i n其优点为经过极差变换后，均有0 xij*1 ，且最优指标值xij*1 ，最劣指标值- 3 -精选文库xij*0该方法的缺点是变换前后的各指标值不成比例，对于指标值恒定 ( sj0 )的情况不适用(5)功效系数法令*xijmin xijc1 i nd (1 in,1 j m).xijmin xijmaxxij1 i n1 i n其中 c, d 均为确定的常数 c 表示 “平移量 ”，表示指标实际基础值，d

10、 表示 “旋转量 ”，即表示 “放大 ”或“缩小 ”倍数，则 xij*c,cd 通常取 c 60, d40 ，即*xijmin xij601i n40 (1 i n,1j m).xijmin xijmaxxij1 i n1i n则 xij* 实际基础值为 60 ，最大值为100 ，即 xij*60,100 特点：该方法可以看成更普遍意义下的一种极值处理法，取值范围确定， 最小值为 c ，最大值为 c d 3定性指标的定量化在综合评价工作中，有些评价指标是定性指标，即只给出定性地描述，例如：质量很好、性能一般、可靠性高、态度恶劣等对于这些指标，在进行综合评价时，必须先通过适当的方式进行赋值，使其

11、量化一般来说，对于指标最优值可赋值10.0，对于指标最劣值可赋值为0.0 对极大型和极小型定性指标常按以下方式赋值(1) 极大型定性指标量化方法对于极大型定性指标而言，如果指标能够分为很低、低、一般、高和很高等五个等级，则可以分别取量化值为 1.0,3.0,5.0,7.0 和 9.0，对应关系如图 8-2 所示介于两个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值图 -2 极大型定性指标量化方法(2) 极小型定性指标量化方法对于极小型定性指标而言，如果指标能够分为很高、高、一般、低和很低等五个等级，则可以分别取量化值为1.0,3.0,5.0,7.0 和 9.0，对应关系如图8-3 所示介于两

12、个等级之间的可以取两个分值之间的适当数值作为量化值很高高一般低很低0很低低3.0一般高7.0很高10.01.05.09.001.03.05.07.09.010.0- 4 -精选文库模糊综合评价方法在客观世界中，存在着许多不确定性现象，这种不确定性有两大类：一类是随机性现象，即事物对象是明确的，由于人们对事物的因果律掌握不够，使得相应结果具有不可预知性，例如晴天、下雨、下雪，这是明确的，但出现规律不确定；另一类是模糊性现象，即某些事物或概念的边界不清楚，使得事物的差异之间存在着中间过渡过程或过渡结果，例如年轻与年老、高与矮、美与丑等，这种不确定性现象不是人们的认识达不到客观实际所造成的，而是事物

13、的一种内在结构的不确定属性，称为模糊性现象模糊数学就是用数学方法研究和处理具有 “模糊性 ”现象的一个数学分支而模糊综合评价就是以模糊数学为基础，应用模糊关系合成的原理，将一些边界不清、不易定量的因素定量化，进行综合评价的一种方法隶属度函数的确定方法隶属度的思想是模糊数学的基本思想，确定符合实际的隶属函数是应用模糊数学方法建立数学模型的关键，然而这是至今尚未完全解决的问题下面介绍几种常用的确定隶属函数的方法 模糊统计法模糊统计法是 利用概率统计思想确定隶属度函数的一种客观方法，是在模糊统计的基础上根据隶属度的客观存在性来确定的下面以确定青年人的隶属函数为例来介绍其主要过程 以年龄为论域X ，在

14、论域 X 中取一固定样本点 x027 *X 上随机变动的普通集合，°X* 设A为论域A 是青年人在上以 A 为弹性边界的*x°°°模糊集，对 A 的变动具有制约作用其中A ，或 x0A ，使得 x0 对 A 的隶属关系0具有不确定性然后进行模糊统计试验，若n 次试验中覆盖x0的次数为 mn ，则称 mn 为n°x0 对于 A 的隶属频率由于当试验次数°该常数就是x0 属于 A 的隶属度，即n 不断增大时，隶属频率趋于某一确定的常数，° ( x0) limm n .Ann比如在论域X 中取 x027 ，选择若干合适人选，请他们

15、写出各自认为青年人最适宜最恰当的年龄区间(从多少岁到多少岁)，即将模糊概念明确化若n 次试验中覆盖 27岁的年龄区间的次数为m ，则称 m 为 27 岁对于青年人的隶属频率，表8-4 是抽样调查n078 附近，因此可得到 x0 27 属统计的结果 由于 27 岁对于青年人的隶属频率稳定在°A°(27) 0.78 于模糊集 A 的隶属度表 8-4 27岁对青年人的隶属频率试验次数隶属次数nm10203040506070809010011012012961423313947536268768595101- 5 -精选文库隶属频率m0.700.770.780.780.760.76

16、0.780.760.760.750.790.780.60n 在 论 域 X 中 适 当 的 取 若 干 个 样 本 点 x1, x2 ,L , xn ， 分 别 确 定 出 其 隶 属 度AA°( xi )(i1,2,L ,n) ，建立适当坐标系，描点连线即可得到模糊集°的隶属函数曲线将论域 X 分组，每组以中值为代表分别计算各组隶属频率，连续地描出图形使得到青年人的隶属函数曲线，见表8-5 与图 8-5 所示确定模糊集合隶属函数的模糊统计方法，重视实际资料中包含的信息，采用了统计分析手段，是一种应用确定性分析揭示不确定性规律的有效方法特别是对一些隶属规律不清楚的模糊集合，

17、也能较好地确定其隶属函数表 8-5分组计算隶属频率 (试验次数 129)分组频数隶属频率分组频数隶属频率13.514.520.01625.526.51030.79814.515.5270.21026.527.51010.78315.516.5510.39527.528.5990.76716.517.5670.51928.529.5800.62017.518.51240.96129.530.5770.59718.519.51251.0030.531.5270.20919.520.51291.0031.532.5270.20920.521.51291.0032.533.5260.20221.522

18、.51291.0033.534.5260.20222.523.51291.0034.535.5260.20223.524.51291.0035.536.510.00824.525.51280.992 三分法三分法也是利用概率统计中思想以随机区间为工具来处理模糊性的的一种客观方法例如建立矮个子°°°三个模糊概念的隶属函A ，中等个子A，高个子 A123数设P3矮个子 , 中等个子 ,高个子 ，论域 X 为身高的集合， 取 X (0,3) (单位： m)每次模糊试验确定 X 的一次划分，每次划分确定一对数( ,) ，其中为矮个子与中等个子的分界点，为图 8-5年轻人的

19、隶属函数曲线中等个子与高个子的分界点，从而将模糊试验转化为如下随机试验：即将( ,)看作二维随机变量，进行抽样调查，求得、的概率分布 P ( x) 、 P ( x) 后，再分别导出°、A1° °A(x)A(x)A(x)A2 和 A3 的隶属函数、和，相应的示意图如图8-6 所示±±±123± ( x)P (t)dt ,± ( x)P (t)dt, ± ( x) 1±( x)± (x).A1xA3xAAA213- 6 -图 8-6 由概率分布确定模糊集隶属函数精选文库通常 和分别服从正态

20、分布 N (a1,22°°°1 )和 N (a2 , 2)，则A1、A2和A3 的隶属函数分别为± (x)1x a1,± ( x) 1x a2,AA1132± (x)xa2xa1 .A221xt 2其中 ( x)1 e 2 dt.2 模糊分布法根据实际情况，首先选定某些带参数的函数，来表示某种类型模糊概念的隶属函数（论域为实数域） ，然后再通过实验确定参数在客观事物中，最常见的是以实数集作论域的情形若模糊集定义在实数域R 上，则模糊集的隶属函数便称为模糊分布 下面给出几种常用的模糊分布，在以后确定隶属函数时，就可以根据问题的性质，选择

21、适当( 即符合实际情况 )模糊分布，根据测量数据求出分布中所含的参数，从而就可以确定出隶属函数了为了选择适当的模糊分布，首先应根据实际描述的对象给出选择的大致方向偏小型模糊分布适合描述像“小 ”、“冷 ”、“青年 ”以及颜色的 “淡 ”等偏向小的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为1,x a;°( x)A f (x), x a.偏大型模糊分布适合描述像 “大 ”、“热 ”、“老年 ”以及颜色的 “浓 ”等偏向大的一方的模糊现象，其隶属函数的一般形式为0,xa;°( x)Af (x),xa.中间型模糊分布适合描述像 “中 ”、“暖和 “、“中年 ”等处于中间状态的模糊现象，

22、其隶属面数可以通过中间型模糊分布表示 矩形 (或半矩形 )分布(a)偏小型(b)偏大型°( x)1,xa;°(x)0,xa;A0,xa.A1,xa.(c)中间型0,xa;°A(x)1,axb;0,xb.此类分布是用于确切概念矩形(或半矩形 )分布相应的示意图如图8-7 所示- 7 -精选文库(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型图 8-7 矩形 (或半矩形 )分布示意图 梯形 (或半梯形 )分布(a)偏小型(b)偏大型(c)中间型0,xa, xd ;1,xa;0,xa;°( x)bx, a x b;°xa, a xb;AbaA( x)ba0,xb.1,xb.xa ,axb;°(x)baA1,bxc;dxcxd;d,c梯形 (或半梯形 ) 分布的示意图如图8-8 所示(a)