数学系常微分方程试卷C及答案

1、人题审师线教课任_封号学_名密姓班级系院学计数精品文档试卷（ C）试卷份数考试本科考试科目常微分方程题号一二三四五六七总分分 数阅卷人试卷说明： 1、该门考试课程的考试方式：闭卷；2 、考试所用时间： 120 分钟。3 、使用班级 数计学院 数 11 级一、填空题（每小题3 分，本题共 15 分）1方程 xsin ydxy cos xdy0 所有常数解是2方程 y2 yy0 的基本解组是3方程 dyy1满足解的存在唯一性定理条件的区域是dx4函数组1 (x),2 (x), ,n ( x) 的朗斯基行列式在区间I 上不恒等于零 , 是它们在区间 I 上线性无关的条件5 y xy2( y ) 3

2、的通解是二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）6方程 dyy 的奇解是（）dx（ A） yx（ B） y1（ C） y1（ D） y07.方程 dy1 y 2 过点 (, 1) 共有（）个解dx2（ A）一（ B）无数（ C）两（D）三8 n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是（）个（ A） n（ B） n -1（ C） n +1（ D） n +2第1页（共5页）。1欢迎下载精品文档年月日9、 微分方程 x ln xyy 的通解 （）A 、 y c1 x ln x c2B、 y c1x ln x 1C 、 y x ln xD、 y c1 x ln x 1 c2f ( x, y

3、)dy10如果 f ( x, y) ，都在 xoy 平面上连续，那么方程f ( x, y) 的任一解的存ydx在区间（）（ A）必为 (,)（ B）必为 (0,)线（ C）必为 (, 0)（ D）将因解而定三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）dy11. 解方程y lnydx封密dyy2y12.解方程1)dx(xx。2欢迎下载精品文档第 2页（共5页）年月日 13. 解方程 dy y 1dxx线14. 解方程 ( x2 exy)d xxdy 0封密15解方程 yyy 210。3欢迎下载精品文档第3页（共5页）年月日四、计算题（每小题10 分，本题共 20 分）16求方程y6 y5 y3e

4、x5x2 的通解17求下列方程组的通解dxx2ydtdy3x4 ydt。4欢迎下载精品文档第 4页（共 5 页）年月日五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，共 20 分） 18一质量为 m的质点作直线运动，从速度等于零的时刻起，有一个和时间成正比（比例系数为k1）的力作用在它上面，此质点又受到介质的阻力，这阻力和速度成正比（比例系数为k2）。试求 此质点的速度与时间的关系。线封19设 f (x) 在 0,) 上连续，且limf( )0，求证：方程xxdyf ( x)ydx的一切解 y(x) ，均有lim( ) 0xy x密。5欢迎下载精品文档第5页（共 5页）12-13-2学期期末考试

5、常微分方程C 参考答案及评分标准制卷赵志锟审核一、填空题（每小题3 分，本题共 15 分）1 y k , k0, 1, 2,； 或 xk , k 0, 1, 2,2 ex , xex23()20 ，（或不含x yR yDx 轴的上半平面）,4充分5 yCx 2C 3二、单项选择题（每小题3 分，本题共 15 分）6D7B8A9D10D三、简答题（每小题6 分，本题共 30 分）11解当 y0 ， y1时，分离变量取不定积分，得dydxC（3 分）y ln y通积分为ln y Cex（6 分）12解 令 yxu ，则 dyu x du ，代入原方程，得x dudxdx1u2（3 分）dx分离变量

6、，取不定积分，得dudx0 ）u 2ln C （ C1x通积分为：yln Cx（6 分）arcsinx13解 对应齐次方程 dyy的通解为dxxy Cx（2 分）令非齐次方程的特解为。6欢迎下载精品文档yC ( x)x（ 3 分）代入原方程，确定出c/ ( x)1（4 分）x再求初等积分得C( x) ln x C（5 分）因此原方程的通解为y Cx + xln x（6 分）14解：积分因子为(x)1(x2ex y)x)dx2dxe 2lnx1e xyxe x（3 分）x2取 x01, y00，则原方程的通积分为x(exyyC1（5 分）1x2 ) dxdy0即exye C1（6 分）x15解：

7、原方程为恰当导数方程，可改写为( yy )1则yyxC1（2 分）分离变量，取积分ydy( xC1 )dx C2（4 分）得原方程的通积分为1 y21 ( x C1 ) 2C 2（6 分）22四、计算题（每小题10 分，本题共 20 分）16解：对应的齐次方程为y6 y5 y0 。我们有26 50,11, 25 ，通解为yC1exC2e5 x ， .2 分y6 y5y3ex又由迭加原理，分别求出二方程y6 y5 y 5ex2的特解，。7欢迎下载精品文档其中第一个为：yAxex , A3；1412,C62第二个为： y2Ax2Bx C , A 1, B，.5 分525则， y1 y23 xexx

8、212 x62为原方程的一个特解，其通解为：4525y3xexx212x62C1exC2e5x 。 .10 分452517解： 方程组的特征方程为AE12034即2320（1 分）特征根为11，22（2 分）1 1对应的解为x1a1et（3分）y1b1其中 a1 , b1 是 11对应的特征向量的分量，满足112a10（4 分）341b10可解得 a1 1, b11（5 分）同样可算出22 对应的特征向量分量为a2 2, b13 （8 分）所以，原方程组的通解为xC1etC22e2 t（ 10分）yet3e2t五、综合能力与创新能力测试题（每小题10 分，共 20 分）18解：由物理知识得：a

9、F合 (其中 a为质点的加速度，F合为质点受到的合外力 )1分m根据题意： F合k1tk2v2分dv0)故： mk1t k2 v ( k2dt。8欢迎下载精品文档即：dvk2) vk1t(*)5dt(mm(*) 式为一阶非齐线性方程，根据其求解公式有V ek 2 dt(k2 dtmk1 t e m dt c)mk2 tk2 tk2 tc)e m (k1 t e mmk1 e m7k2k22又当 t =0 时， V=0，故 c= mk19k22因此，此质点的速度与时间的关系为：Vk2k1(tm )mk21 e mtk2k2k219 证明设 yy( x) 是方程任一解，满足y(x0 )y0 ，该解的表达式为xy0f (s)e( s x0 ) dsy(x)x0xx0xx0ee取极限xy0f (s)e(s x0 ) dslimy( x) limlimx0ex xexx0xx0x0,若f (s)e