数学百大经典例题——离散型随机变量分布列(新课标)

1、耗用子弹数的分布列例某射手有5 发子弹， 射击一次命中概率为0.9 ，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数的分布列分析： 确定取哪些值以及各值所代表的随机事件概率，分布列即获得解：本题要求我们给出耗用子弹数的概率分布列 我们知道只有5 发子弹， 所以的取值只有 1， 2， 3， 4，5当1 时，即 P(1)0.9 ；当2时，要求第一次没射中，第二次射中，故P(2)0.1 0.90.09 ；同理，3 时，要求前两次没有射中，第三次射中， P(3)0.120.90.009 ；类似地， P(4)0.130.90.0009 ；第 5 次射击不同，只要前四次射不中，都要射第5 发子弹，也

2、不考虑是否射中，所以P(5)0.14 ，所以耗用子弹数的分布列为：0123P0.90.090.0090.0001说明： 搞清5 的含义，防止这步出错5 时，可分两种情况：一是前4 发都没射中，恰第5 发射中，概率为0.1 4 × 0.9 ；二是这 5发都没射中，概率为0.1 5 ，所以，P(5)0.140.9 0.15当然 ，5还有一种算法 ： 即P(5)1 (0.90.090.0090.0009)0.0001 独立重复试验某事件发生偶数次的概率例如果在一次试验中，某事件 A发生的概率为p，那么在 n 次独立重复试验中，这件事A 发生偶数次的概率为_分析：发生事件A的次数 B n,

3、p，所以，p(k )C nk pk qn k , (q1p, k0,1,2,n) 其中的 k 取偶数 0， 2，4，时，为二项式( pq) n 展开式的奇数项的和，由此入手，可获结论解 ： 由 题 ， 因 为 B n, p且取 不 同 值 时 事 件 互 斥 ， 所 以 ，。- 1 -欢迎下载PP( 0)P(2) P( 4)0 0qn2 2 n 24 4qn 41(qp)n(q p)n11(1 2 p)nCnpCn p qCn p22（因为 pq1，所以 q p12 p ）说明：如何获得二项展开式中的偶数次的和？这需要抓住(qp)n 与 ( qp) n 展开式的特点：联系与区分，从而达到去除p

4、 奇次，留下 p 偶次的目的根据分布列求随机变量组合的分布列例已知随机变量的分布列为 2 10123P134121121212121212分别求出随机变量11, 22 的分布列211 x ， 即解 ：由 于1对于不同的有 不 同 的 取 值 y22y11 x11, y 21 x 21 , y 31 x30, y 41 x41 , y51 x 5 1, y61 x63 ，222222222所以1 的分布列为1 110112223134121P12121212121222 对于的不同取值 2， 2及 1， 1，2 分别取相同的值4与1，即2取 4这个值的概率应是取2 与 2 值的概率1 与2 合并

5、的结果，2 取 1 这个值的概率就是取 11212与 1 值的概率3 与1 合并的结果，故2的分布列为121220149P443112121212说明：在得到的1 或2 的分布列中，1 或2 的取值行中无重复数，概率得中各项必须非负，且各项之和一定等于1成功咨询人数的分布列。- 2 -欢迎下载例某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为3 ，某班 3 名同学商定明天分别就同一4问题询问该服务中心且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数的分布列分析： 3 个人各做一次试验，看成三次独立重复试验，拨通这一电话的人数即为事件的发生次数，故符合二项分布3k3kB 3,P(k )k31,k 0,1,2,3解

6、：由题：4，所以C344，分布列为0123P19272764646464说明： 关键是理解二项分布的特点：即某同一事件，在n 次独立重复实验中，以事件发生的次数为随机变量盒中球上标数于5 关系的概率分布列例 盒中装有大小相等的球 10 个，编号分别为 0，1，2， 9，从中任取 1 个，观察号码是“小于 5”“等于 5”“大于 5”三类情况之一规定一个随机变量，并求其概率分布列分析： 要求其概率的分布列可以先求个小球所对应的概率解： 分别用 x1, x2 , x3 表示题设中的三类情况的结果：x1 表示“小于5”的情况，x 2 表示“等于 5”的情况，x 3 表示“大于5”的情况设随机变量为，

7、它可能取的值为x1, x 2 , x3 ,取每个值的概率为P (x1 )P （取出的球号码小于5）5，10P (x2 )P （取出的球号码等于5）1，10P (x3 )P （取出的球号码大于5）4 10故 的分布列为Px1x 2x31122105小结： 分布列是我们进一步解决随机变量有关问题的基础，因此准确写出随机变量的分布列是很重要的，但是我们不能保证它的准确性，这时我们要注意运算的准确性外，还可以。- 3 -欢迎下载n利用pi1 进行检验i1求随机变量的分布列例一袋中装有5 只球，编号为1， 2，3，4， 5，在袋中同时取 3 只，以表示取出的 3只球中的最大号码，写出随机变量的分布列分析

8、： 由于任取三个球，就不是任意排列，而要有固定的顺序，其中球上的最大号码只有可能是3， 4，5，可以利用组合的方法计算其概率解： 随机变量的取值为 3， 4， 5当 3 时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他二球的编号只能是1， 2，故有P(3)C 321 ;C5310当 4 时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他二球只能在编号为1，2，3 的 3 球中取 2 个，故有P (4)C323;C 5310当 5 时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他二球只能在编号为1，2，3，4 的 4球中取 2 个，故有2P(5)C363.C35105因此，的分布列为345136P101010说明：对于随

9、机变量取值较多或无穷多时，应由简单情况先导出一般的通式，从而简化过程取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列。- 4 -欢迎下载例 一批零件中有 9 个合格品与 3 个不合格品 安装机器时， 从这批零件中任取一个 如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列分析 ：取出不合格品数的可能值是0， 1， 2， 3，从而确定确定随机变量的可能值解：以表示在取得合格品以前取出的不合格品数，则是一个随机变量，由题设可能取的数值是0， 1， 2， 3当 0 时，即第一次就取到合格品，其概率为P(0)30.750;12当 1 时，即第一次取得不合格品，不放回，而第二次就取得

10、合格品，其概率为39P( 1)0.204;12 11当 2 时，即第一、二次取得不合格品，不放回，第三次取得合格品，其概率为P (3292)0.041;12 11 11当 3 时，即第一、二、三次均取得不合格品，而第四次取得合格品，其概率为P(32193)0.005.12 11 109所以的分布列为0123P0.7500.2040.0410.005说明： 一般分布列的求法分三步： （ 1）首先确定随机变量的取值哟哪些； （ 2）求出每种取值下的随机事件的概率；（ 3）列表对应，即为分布列关于取球的随机变量的值和概率例 袋中有 1 个红球， 2 个白球， 3 个黑球，现从中任取一球观察其颜色确定这个随机试验中的随机变量，并指出在这个随机试验中随机变量可能取的值及取每个值的概率分析： 随机变量变量是表示随机试验结果的变量，随机变量的可能取值是随机试验的所有可能的结果组成解： 设集合 M x1 , x 2 , x3 ，其中 x1 为“取到的球为红色的球” ， x 2 为“取到的球为白色的球”， x 3 为“取到的球为黑色的球”我们规定：(x i ) i (i1,2,3) ，即当 x x i 时， (x )i ，这样，我们确定( x ) 就是一个随机变