广东省惠州市2018-2019学年高二数学上册期末考试题1

1、惠州市 2018-2019 学年第一学期期末考试高二数学试题（理科）2018.1本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分；共 6 页，满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作

2、答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁考试结束后，将答题卡一并交回。参考公式： 最小二乘法求线性回归方程系数公式:n( xix)( yii 1bn( xix) 2i1样本数据 x1 ， x2 ，ny)xi yinx y?=i 1，yb x .naxi22nxi 1， xn 的方差 : s2 1x1222xx2 xxn xn第卷一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请在答题卡上填涂相应选项.1以 A( 1,2) ， B(5,6) 为直径端点的圆的方程是（）A C( x 2)2( y 4)213B( x 2)2( y 4)2

3、13D( x2)2( y4)213( x2)2( y4)2132某人5 次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x、 y、 10、 11、 9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则 | xy |的值为（）A1B2C3D43以 x 轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2y22x6y90 的圆心的抛物线的方程是（）A y3x2 或 y3x2B y3x2C y 29x 或 y3x2D y29x4圆 x2y22x4 y30 上到直线 xy10 的距离等于2 的点共有（）A1 个B2 个C3 个D4个5直线 yx 1 被椭圆 x22 y 24 所截得的弦的中点的坐标是（）A 1, 2B1 , 2C2

4、, 1D 2,13333336在面积为 S 的 ABC 的边 AB 上任取一点 P ，则 PBC 的面积大于 S 的概率是 ()41B312A 4CD 2437 某初级中学有学生270 人，其中一年级108 人，二、三年级各81 人，现要利用抽样方法抽取 10 人参加某项调查，考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案，使用简单随机抽样和分层抽样时，将学生按一、二、三年级依次统一编号为1， 2， ，270；使用系统抽样时，将学生统一随机编号1， 2， ， 270，并将整个编号依次分为10 段 .如果抽得号码有下列四种情况： 7， 34， 61， 88， 115，142， 169， 196

5、，223， 250； 5， 9， 100， 107， 111， 121， 180， 195，200， 265； 11，38， 65，92， 119， 146， 173， 200，227， 254； 30，57， 84，111， 138， 165， 192， 219， 246， 270；关于上述样本的下列结论中，正确的是（）A 、都可能为分层抽样B 、都不能为分层抽样C、都可能为系统抽样D 、都不能为系统抽样8命题 p : x 0,1, ex1，命题 q : x R, x2x 1 0 ，则下列正确的是 ()A p q 为真B p q 为真C p q 为假D q 为真9已知点 P 在抛物线y24x

6、 上，那么点 P 到点 Q(2,1) 的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（）A (1,2)B (1,2)C(1, 1)D (1 ,1)4410下列说法正确的个数有（）个 .（1）命题： “指数函数 ya x 在 xR 上是增函数 ”的非命题为真时，则a 1；（2）命题： “若 a b2 ，则 a, b 中至少有一个不小于1”的逆命题是真命题；（3）命题： “若 x21 ，则1x1”的逆否命题是 “若 x 1或 x1，则 x21 ”；（4）已知 m, n R ，则 “m n0 ”是 “曲线 mx2ny21为双曲线 ”的充要条件 .A 1B 2C 3D 411已知直线

7、 yx 1与椭圆 x 2y 21(a b0) 相交于 A ， B 两点，若椭圆的离心率a2b 2为2 ，焦距为2，则线段 AB 的长是（）2A2 2B4 2C 2D 23312空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，该点和垂足之间的距离即为该点到平面的距离平面，z两两互相垂直， 点 A，点 A 到 , 的距离都是3，点 P是Oy上的动点，满足 P 到的距离是点 P 到点 A距离的 2 倍，则点P(x, y,0)A(3,3,0)P 的轨迹上的点到x的距离的最小值为（）A3B323C63D33第卷二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分 . 请将答案填在答题卡相应位置。

8、13现有 5根竹竿，它们的长度（单位：m ）分别为 2.5 , 2.6 , 2.7, 2.8 , 2.9 ，若从中一次随机抽取 2 根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3m 的概率为14已知 F1 ,F2 是双曲线 x2y 21的焦点， PQ 是过焦点 F1 的弦，且 PQ 的倾斜角为60 ，169那么 |PF2 |QF2 | | PQ | 的值为15下图甲是某市有关部门根据对当地干部的月收入情况调查后画出的样本频率分布直方图，已知图甲中从左向右第一组的频数为4000 . 在样本中记月收入在1000,1500 ，1500,2000), 2000,2500),2500,3000),3000,3500

9、) , 3500, 4000 的人数依次为A1 、A2 、 、 A6 图乙是统计图甲中月工资收入在一定范围内的人数的算法流程图，则样本的容量 n；图乙输出的 S（用数字作答）图甲频率 /组距图乙开始0.0008输入 A1, A2, , A6S=0,i=20.00040.00030.0001月收入（元）01000150020002500300035004000i=i+1i<7?是S=S+ Ai否输出 S16x2y21的长轴 AB 分成8等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的如图，把椭圆2516上半部分于 P1, P2 , P3 , P4 , P5 , P6 , P7 七个点， F 是椭圆的一

10、个焦点，P1PP3P4PP625P7x则 PF1 P2FPF3P4 FPF5P6 FP7 F_.AFB三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17（本小题满分10 分）已知命题 p ：方程x2y 21所表示的曲线为焦点在x 轴上的椭圆；3 tt 1命题 q ：实数 t 满足不等式 (t1)(ta)0（）若命题p 为真，求实数t 的取值范围；（）若命题p 是命题 q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围18（本小题满分 12 分）某产品的广告支出x （单位：万元）与销售收入y （单位：万元）之间有如下数据：广告支出 x （单位：万元）1234销售收入 y

11、 （单位：万元）1228425644根据以上数据算得：yi 138 ,xi yi418 i1i1（）求出 y 对 x 的线性回归方程ybxa ，并判断变量 y 与 x 之间是正相关还是负相关；（）若销售收入最少为144 万元，则广告支出费用至少需要投入多少万元？19（本小题满分12 分）已知圆 C : x2y24x 0 ，相互垂直的两条直线l1 、 l2 都过点 A(t,0) .（）若圆心为12 相切，求圆M 的方程；M ( , m) 的圆和圆 C 外切且与直线 x2（）若 l1 、 l 2 截圆 C 所得的弦长均为14 ，求 t 的值 .20（本小题满分12 分）如图，在四棱锥PABCD 中

12、，底面ABCD 为矩形，侧棱PA底面ABCD ，AB 3， BC 1， PA 2， E为PD（）求直线 AC 与 PB 所成角的余弦值；（）在侧面 PAB 内找一点 N ，使 NE并求出点 N 到 AB 和 AP 的距离的中点P面PAC ，EDCAB21（本小题满分12 分）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，且过点2,1 （）求抛物线的标准方程；（）直线 l : ykxt ，与圆 x2( y1) 21 相切且与抛物线交于不同的两点M ，N ，当 MON 为直角时，求 OMN 的面积22 (本小题满分12 分)已知椭圆 x2y2 1(a b0) 的右焦点为 F (2,0) ， M 为椭

13、圆的上顶点，O 为坐标a2b2原点，且 MOF 是等腰直角三角形（）求椭圆的方程；（）过点 M 分别作直线 MA ，MB 交椭圆于 A ，B 两点，设两直线的斜率分别为k1 ，k2 ，且 k1 k28 ，证明：直线AB过定点 ( 1, 2)2惠州市 2018-2019 学年第一学期期末考试高二数学试题 (理科）参考答案与评分标准2018.1一、选择题（每小题5 分，共60 分）题号123456789101112答案ADDCCBAACBAD1【解析】 AB 的中点（ 2， 4）为圆心 .故选 A2【解析】由题xy 1011 910 ,1 ( x10)2( y10) 2(1010) 2(11 10

14、) 2(910)2 255x12x8y |4，选 D解得或y，故 | xy8123【解析】设抛物线方程为y 22 px ，圆的圆心坐标为 （ 1，-3），代入抛物线方程解得 p9，2所以抛物线的程为y29x .4【解析】（x +1 ） 2 + (y+2)2 = 8 ，这是一个以（ -1， -2）为圆心，以 22 为半径的圆，圆的圆心到直线x + y + 1 = 0 的距离为 d=121，画出（ x +1 ）2 + (y+2) 2 = 8和直线 x + y + 1 =2= 20 以及和 x + y + 1 = 0的距离为2 的平行直线，可得与圆有三个交点，故选Cyx1消去 y 得 3x 24 x

15、 2 0 设方程两根为x1 , x2 ，5【解析】由2 y 2x24则弦的中点的横坐标为x1x22 ，故所求中点坐标为 ( 2 , 1)233 3 .6【解析】只需 |PB|>1 | AB | ,所以概率 p3447【解析】可以是系统抽样，也可以是分层抽样；为分层抽样；可以是系统抽样，也可以是分层抽样；为系统抽样8【解析】命题p 真，命题q 假，故选A.9【解析】 过点 P 作 PK 垂直于准线， 垂足为 K ，则 |PF|+|PQ|=|PK|+|PQ|当|KQ|且仅当点 Q，P， K 三点共线时等号成立，此时点P 的坐标为（ 1 , 1）故选 C.410【解析】（ 1）非命题为： “指

16、数函数 ya x 在 xR 上是减函数 ”，则 0a1;（ 2）否命题为： “若 a+b<2，则 a,b 都小于 1”，为假命题，则逆命题假；（3）（ 4）为真 .11【解析】由已知，c1， ec2 ,所以 a2,b1 椭圆方程为 x 2y21 。a22联立方程组得 A(0,1), B( 4 ,1),所以 | AB |42.33312【解析】由 A(3,3,0)，并设 F ( x, y,0),则点 P 到面的距离为 | y |,点 P 到 的距离是 | x |,由 题 意 得 ： | x | 2 ( x 3) 2( y 3) 2(0 0)2化简得：23x224x36（4 y 3）求得：（

17、 y23，所以 | y | 的最小值为33 .3）二、填空题：（每小题5 分，共20 分）115 10000 (2 分） ， 6000 （ 3 分）13141616 35513【解析】从 5根中选取2 根一共 10 种，满足条件的有（ 2.5,2.8） ,(2.6,2.9)两种，所以长度恰好相差 0.3m 的概率为 15 .14【解析】由于 | PF2 |QF2 |PQ|=21(| QF2 | -|QF1 |)4 a16 .(| PF|-|PF |)15【解析】n400010000,0.0008500SA2A3A4A5 A6 1000040006000.16【解析】由于|P1F|P7F|P2F

18、|P6F| | P3F| P5F| 2|P4F|2 a 并且 a 5 所以 7a 35 .三、解答题：本大题共6 小题，满分70 分解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤17.（本小题满分10 分）解: （ 1） 方程 x 2ty21所表示的曲线为焦点在 x 轴上的椭圆3t13 tt103分解得：1t15分(2) 命题 p 是命题 q 的充分不必要条件1t1 是 不 等 式 t 2(a1)ta(t1)(ta)0 的 解 的 真 子集7 分法一：因方程 t 2(a1)ta(t1)(ta)0的两根为 - 1， a ，9 分故只需 a1 10 分法二：令f (t)t 2( a1)ta ，因 f (

19、1)0 ，故只需f (1)0 9分解得 a1 10 分18（本小题满分12 分）解：（ 1）由表中数据得：12342.5 ， y122842562 分x4434.5 ，4ixi yi4xy41842.534.5 b114.6 ，5 分42222222(1234 )4 2.54xx ii1ayb x 3 4. 5 1 4. 62. 5，27 分 线性回归方程为y14.6x2 ，且变量 y 与 x 之间是正相关； 9 分（2）依题意有： y14.6x2144 ，解得： x 10 ， 11分 广告支出费用至少需投入10 万元。 12 分19（本小题满分12 分）解 : 圆 C : x2y24x 0

20、即 ( x2)2y24 ,圆心为 (2,0) ,半径为 2 . 1分( )设圆 M 的方程为 ( x1) 2( y m)2r 2 2 分221r依题意得23 分( 12) 2m2(2r )22m6m6解得3或r35 分r22圆 M 的方程为 (x1)2( y6)29或 (x1)2( y6) 29. 6分2424（）法一:显 然 ， l 1 、l 2 的 斜 率 都 是 存 在 的 ， 设l : y k( x t) ， 则1l 2 : y1( x7t)分k则由题意，得圆心到直线l1 、 l 2的距离均为22( 14)22 8 分222ktk2 ，2t2 10分k 212k 212解得 k111分

21、即| t2 |1,t3或112分解得法二 : 设圆 C 的圆心为 C ， l1 、 l 2 被圆 C 所截得弦的中点分别为E,F ，则|CE| |CF|22(14)228分22因为 l1l2 ,所以四边形 AECF 是正方形， 9分所以|AC|2|CE|221 11分2即| t2 |1,t3或112分解得20.（本小题满分12 分）解：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则A, B,C, D, P, E 的坐标为 A(0,0,0) 、B( 3,0,0)、 C( 3,1,0)、 D (0,1,0) 、 P(0,0, 2) 、 E(0, 1,1) ，2从而 AC( 3,1,0), PB( 3,0,

22、2). 4 分设 AC与 PB 的夹角为，则cosAC PB337 ,|AC| |PB|2 714 AC 与 PB 所成角的余弦值为376 分14（）由于N 点在侧面 PAB内，故可设N点 坐 标 为 ( x,0, z) ， 则NE (x, 1,1 z) ， 8 分2由 NE 面 PAC 可得，NEAP0,(x, 1 ,1z)(0,0,2)0,z 10,即2化简得113xNEAC0.(z)( 3,1,0)0.0.x, ,122 x33 ,0,1) ，6即N 点的坐标为 (z16从而 N 点到 AB 和 AP 的距离分别为3 12分1,621（本小题满分 12 分）解：（ 1） 设抛物线方程为x22 py ，由已知得： 222 p,p 2 ，2 分所以抛物线的标准方程为x24y ； 3分（）因为直线与圆相切，所以| t1|1k 2t 22t ，4 分1k 2把直线方程代入抛物线方