数理统计习题

1、数理统计考试试卷一、填空题（本题15 分，每题3 分）1、总体 X N (20,3) 的容量分别为10， 15 的两独立样本均值差 X Y _；2、设 X1, X 2,., X 16 为取自总体X N (0,0.52 ) 的一个样本，若已知0.201 (16)32.0 , 则16X i2P8 =_ ；i 13、设总体 X N(, 2)，若和2均未知， n 为样本容量，总体均值的置信水平为1的置信区间为( X, X) ，则的值为 _；、设X, X2,., Xn为取自总体 X N(,2 ) 的一个样本， 对于给定的显著性水平，已知41关于2检验的拒绝域为22(n1)，则相应的备择假设 H 1 为

2、_；15、设总体 X N(,2 ) ，2 已知，在显著性水平0.05 下，检验假设 H 0 :0,H1:0 ，拒绝域是 _。13、 t( n1)S；4、22z0.05 。1、 N (0， ) ； 2、 0.01；0 ； 5、 z22n二、选择题（本题15 分，每题 3 分）1、设 X1,X 2 , X3 是取自总体 X 的一个样本，是未知参数，以下函数是统计量的为（）。（A） (X1X 2X3 ) （B） X1X 2X 3（C） 1 X1X2X313) 2（ D）(X i3 i12、设 X, X ,.,Xn为取自总体 X N(,2) 的样本，X为样本均值，S21 n(XiX)2，12nn i

3、1则服从自由度为n1 的 t 分布的统计量为（）。（A ）n ( X）n ( X)n 1( X）n 1( X)（ B ）（ C）（ D）SnSn3、设 X1,X 2, X n 是来自总体的样本，D(X)2 存在，S21n(X iX)2,n1 i 1则（）。（A） S2是2 的矩估计（B） S2 是2 的极大似然估计精品文库（C） S2是2 的无偏估计和相合估计（D）S2作为2 的估计其优良性与分布有关4、设总体 X N(1,2),Y N(2,2 ) 相互独立，样本容量分别为n , n，样本方差分别121222下，检验 H0 :22:22的拒绝域为（）。为 S1, S2 ，在显著性水平12 ,H

4、112（ A ）s22F (n21, n11)s22F( n21, n11)2（ B）21s1s12（ C）s22F(n11,n21)s22F( n11, n21)2（ D）22s1s115、设总体 X N(,2 ) ，2未知， x1 , x2 , , xn 是来自总体的样本观察值，已已知，知 的置信水平为0.95 的置信区间为（4.71 ， 5.69），则取显著性水平0.05 时，检验假设 H0 :5.0,H1:5.0 的结果是（）。（ A ）不能确定（B）接受 H0（C）拒绝 H 0（ D ）条件不足无法检验1、B； 2 、D； 3 、C； 4 、A； 5 、B.三、（本题 14 分）设随

5、机变量 X 的概率密度为：f ( x)2x,0x，其中未知20,其他参数0， X1, X n 是来自 X 的样本，求（ 1）的矩估计；（ 2）的极大似然估计。解： (1)E(X )x f ( x)d x2x 22，02d x3?2，得?3的矩估计量。令 E(X)XX 为参数32(2)似然函数为： L (xi ,)n2 xi2 nnxi, (i1,2, n) ，i 122 nxi ，0i 1而 L( ) 是 的单调减少函数，所以的极大似然估计量为?max X 1 , X 2 , , X n 。四、（本题 14 分）设总体X N(0,2 ) ，且 x1 , x 2x10 是样本观察值，样本方差s

6、22 ，（1）求2的置信水平为0.95的置信区间；（ ）已知 YX 22(1) ，求DX 2的置信223欢迎下载2精品文库水平为 0.95 的置信区间； （22.70 ，219.023 ）。0.975 (9)0.025 (9)解：（1）2 的置信水平为 0.95的置信区间为218,218，即为（ 0.9462， 6.6667）；0. 025 (9)0. 975 (9)（2） DX 2=1DX 21 D2 (1)2；32222由于 DX 22 是2 的单调减少函数，置信区间为2,2，3222即为（ 0.3000，2.1137）。五、（本题 10 分）设总体X 服从参数为的指数分布， 其中0未知，

7、 X1, X n 为取自总体X的样本，若已知2 nXi2(2 )Un ，求：i 1（ 1） 的置信水平为 1的单侧置信下限；（2）某种元件的寿命（单位：h）服从上述指数分布，现从中抽得容量为16 的样本，测得样本均值为5010 （ h ），试求元件的平均寿命的置信水平为0.90 的单侧置信下限。(0.205 ( 31)44.985,0.2 10 ( 32)42.585) 。解： (1)P 2nX2 ( 2n)1, P2nX1,2 (2n)即 的单侧置信下限为2nX；（ 2）2 16 50103764.706 。2 ( 2n)42.585六、（本题14 分）某工厂正常生产时，排出的污水中动植物油

8、的浓度X N (10,1) ，今阶段性抽取 10个水样，测得平均浓度为10.8（ mg/L ），标准差为1.2（ mg/L ），问该工厂生产是否正常？（0.05, t0.025 (9)2.2622, 0.2025 (9)19.023,0.2975(9)2.700 ）解：（ 1）检验假设 H0：221； 取统计量：2( n1)s 2=1， H 1：2；0欢迎下载3精品文库22(n 1)222(n1)2拒绝域为：10.975 (9) =2.70 或0.025 =19.023 ，22经计算：2( n 1)s291.2 2212.96(2.700,19.023)2212.96 ，由于，10故接受 H

9、0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。（2）检验假设H1010；tX10t(9) ；0：取统计量：，H1：S /102拒绝域为 t t0 .025 ( 9)2.2622 ；10.8102.1028 <2.2622，所以接受 H 0t10，1.2 /即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（ mg/L ）。综上，认为工厂生产正常。七、（本题 10分）设 X1, X 2, X3, X 4 为取自总体X N(,42 ) 的样本，对假设检验问题H 0 :5,H1:5 ，（ 1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域；（ 2）若=6 ，求上述检验所犯的第二类错误的概率。解： (1

10、)拒绝域为zx5x51.96 ;4/4z0.0252（2）由 (1) 解得接受域为（1.08， 8.92），当=6 时，接受 H 0 的概率为P1.08X8.9261.0860.921。8.9222八、（本题 8 分）设随机变量X 服从自由度为 ( m, n) 的 F 分布， (1)证明：随机变量1 服从X自由度为 (n, m) 的 F 分布； (2)若 m n ，且 P X0.05，求 PX1 的值。证明：因为 X F ( m,n) ,由 F 分布的定义可令XU / m ，其中 U 2 (m),V 2 (n) ， UV / n与 V 相互独立，所以1V / n F ( n, m) 。XU /

11、 m当 m n 时， X 与 1服从自由度为 ( n, n) 的 F 分布，故有 P XP X1 ，X从而P X1 P 11 P11 PX 10.050.95 。XX欢迎下载4精品文库数理统计试卷参考答案一、填空题（本题15 分，每题3 分）1t( n 1)S； 4、22； 5、 zz0.05 。1、 N (0， ) ； 2、 0.01； 3、n022二、选择题（本题15 分，每题3 分）1、 B； 2 、D； 3 、C； 4 、A； 5 、B.2三、（本题 14 分）解： (1)E(X )x f ( x)d x02x2 d x2，3?2，得?3的矩估计量。令 E(X)XX 为参数32(2)似

12、然函数为： L (xi ,n2 xi2 n nxi ，0xi, (i1,2, n) ，)22 ni 1i 1而 L( ) 是 的单调减少函数，所以的极大似然估计量为?max X 1 , X 2 , , X n 。欢迎下载5精品文库四、（本题 14 分）解：（1）2 的置信水平为 0.95的置信区间为18,18，即为（ 0.9462， 6.6667）；22(9)(9)0. 0250. 975（2） DX 2=1DX 21D2(1)2；32222由于 DX 2222,2，32 是的单调减少函数，置信区间为22即为（ 0.3000，2.1137）。五、（本题 10 分）解： (1)P 2nX2 (

13、2n)1,P2nX1 ,2 (2n)即 的单侧置信下限为2nX；（ 2）21650103764.706 。2(2n)42.585六、（本题 14 分）解：（ 1）检验假设H0：2=1， H 1：21； 取统计量：2 ( n 1)s 22；0拒绝域为：22(n1)222(n1)2，10.975 (9) =2.70 或0.025 =19.02322经计算：2( n1)s291.22212.96(2.700,19.023) 2，2112.96 ，由于0故接受 H 0，即可以认为排出的污水中动植物油浓度的方差为2=1。（2）检验假设1010；X10t(9) ；H 0：取统计量：t，H1：S /102拒绝域为 t t0 .025 ( 9)2.2622 ；10.810，所以接受 H 0 ，t2.1028 <2.26221.2 /10即可以认为排出的污水中动植物油的平均浓度是10（ mg/L ）。综上，认为工厂生产正常。欢迎下载6精品文库10 分）解： (1)x5x 5z0.0251.96 ;七、（本题拒绝域为z424 /（2）由 (1) 解得接受域为（1.08， 8.92），当=6 时，接受 H 0 的概率为P1.08 X8.928.9