数理统计参考答案

1、习题一1 设总体 X 的样本容量n5 ，写出在下列4 种情况下样本的联合概率分布.1） X B(1, p) ；2） X P() ；3） X U a,b ；4） X N (,1) .解 设总体的样本为X1, X2, X3, X4, X5，1）对总体X B(1, p) ，P( X1x1, X 2x2 , X 3 x3 , X 4 x4 , X 5 x5)n5P( X i xi )pxi (1p)1 xii 1i 1p5x (1p)5(1 x )15其中： xxi5 i 12）对总体 X P()P( X1 x1 , X 2x2, X 3x3 , X 4 x4 , X 5 x5 )n5xiP( X i

2、 xi )ei 1i 1xi !5x5 e 5xi !i 115其中： xxi5 i 13）对总体 X U ( a , b)515, a xib,i 1,.,5f ( x1 , , x5 )f ( xi )i 1 b ai 10，其他4）对总体X N ( ,1)55f ( x1 , , x5 )f ( xi )=i 1i 11xi2155/222e2exp2 i 1xi2精品文库2 为了研究玻璃产品在集装箱托运过程中的损坏情况，现随机抽取20 个集装箱检查其产品损坏的件数，记录结果为：1，1， 1，1，2， 0，0，1， 3，1，0， 0，2，4，0，3，1， 4，0， 2，写出样本频率分布、

3、经验分布函数并画出图形.解 设 i (i=0,1,2,3,4)代表各箱检查中抽到的产品损坏件数，由题意可统计出如下的样本频率分布表 1.1：表 1.1频率分布表i01234个数67322f Xi0.30.350.150.10.1经验分布函数的定义式为：0, xx(1)Fn( x) k , x kx x k 1 , k=1,2, ,n 1,，n1,xx k据此得出样本分布函数：F20 ( x)0,x00.3,0x10.65,1x20.8,2x30.9,3x41,x4Fn (x)x图 1.1经验分布函数欢迎下载2精品文库3 某地区测量了95 位男性成年人身高，得数据(单位： cm)如下：组下限16

4、5167169171173175177组上限167169171173175177179人 数310212322115试画出身高直方图，它是否近似服从某个正态分布密度函数的图形.解图 1.2 数据直方图它近似服从均值为172，方差为 5.64的正态分布，即N (172,5.64) .4 设总体 X 的方差为4，均值为，现抽取容量为100 的样本，试确定常数k，使得满足 P(Xk)0.9 .解 PX-kPX5k4 100P5k 5 X5k因 k 较大，由中心极限定理,XN (0,1)：4 100P X -k5k5k欢迎下载3精品文库(5k)(1(5k)所以：查表得：25k10.95k0.955k1

5、.65， k0.33.236 的样本，求样本均值落在50.8 到 53.8 之间5 从总体 X N (52, 6.3 ) 中抽取容量为的概率 .解P 50.8X 53.8P1.1429X521.71436.32 / 36UX52 N (0,1)6.32 / 36P 50.8X53.8P1.1429U1.7143(1.7143)(1.1429）0.9564(10.8729)0.82936 从总体 X N (20,3) 中分别抽取容量为10 与 15 的两个独立的样本，求它们的均值之差的绝对值大于0.3 的概率 .解设两个独立的样本分别为：X1, X10与 Y1, Y15，其对应的样本均值为：X和

6、Y.由题意知： X 和 Y 相互独立，且：X N(20,3)， Y N(20,3)1015P( X Y 0.3)1 P(XY0.3)X Y0.31 P()0.50.5XY N (0, 0.5)X Y N (0,1)0.5P(X Y0.3) 2 2 (0.4243) 0.6744107 设X1, X10是总体 X N(0,4)2的样本，试确定C，使得 P ( X i C ) 0.05 .i 1欢迎下载4精品文库解 因 Xi N (0, 4) ，则 X i N (0,1) ，且各样本相互独立，则有：2210X i22(10)i11021 102C所以： P(XiC) P(X i)i 14 i 14

7、1P 110Xi2c0.054 i 14P1 10X i2c0.954 i 14查卡方分位数表：c/4=18.31，则 c=73.24.8 设总体 X 具有连续的分布函数FX ( x) ，X1, X n 是来自总体X 的样本，且 EX i，定义随机变量：1,X ii1,2, nYi,0,X in试确定统计量Yi 的分布 .i 1解 由已知条件得：Yi B(1, p) ，其中 p1FX () .因为 X i 互相独立，所以Yi 也互相独立，再根据二项分布的可加性，有n1 FX( ).Yi B(n, p) ， pi 19 设X1, X n 是来自总体 X 的样本，试求EX , DX , ES2 。

8、假设总体的分布为：1） X B( N, p);2) X P ( ); 3) X U a, b;4) X N( ,1);解 1) EX EX NpDXNp(1p)DXnnES2DXNp(1p)2) EX EXDXDXnn欢迎下载5精品文库ES2DX3) EXEXab2DXb2DXan12n2ES2DXba124) EX EXDXDX1nnES2DX110设 X1, X n 为总体 X N (,2 ) 的样本，求nX )2nX ) 2E( Xi与 D( X i。i 1i1解n21)S21)ES2EXiXE(n(ni 1(n1)DX(n 1)2n2242DX iD(n1)SD(n 1)SX2i 1(

9、n 1)S22n241),所以： DX iX2(n1)又因为2 (ni 1设 X1, X n 来自正态总体N (0,1) ，定义： Y1 | X |, Y21n11| X i | ，计算 EY1, EY2 .n i 1解由题意知 X N (0,1/ n) ，令： YnX ，则 Y N (0,1)1y 22y2E YnE ( X )| y |e 2 dyye 2 dy22020e t dt22(1)222E(Y1)E(| X |)n欢迎下载6精品文库E (Y)E1 n| X|1nE(|X |22n iini )E(X)1i112 设 X1, X n 是总体 X N (,4) 的样本， X 为样本

10、均值，试问样本容量n 应分别取多大，才能使以下各式成立：1） E | X|20.1 ；2） E |X|0.1；3） P(| X| 1)0.95。解 1)X N( ,4)XN(4)X,，U N (0,1)n2 / n24X2EE X2 /nn4DXE2Xn2 / n2 / n4100.1n所以： n402)令： XU N (0,1)2 /nX1u2E(U )e 2 duEu2 / n21u222ue 2 du0 2220.1所以：EXn计算可得： n 2253)PX1P1X1nXnP2 /n22欢迎下载7精品文库nn22n10.9522查表可得：nu0.9751.96, n 15.36 ，而 n

11、 取整数，n16 .213 设 (X1, X n ) 和 (Y1 ,Yn ) 是两个样本，且有关系式：1Yi( X i a ) （ a,b 均为常数，bb 0 ），试求两样本均值X 和 Y 之间的关系，两样本方差SX2 和 SY2 之间的关系 .解因： Y1nni 11X i ab1 1nXi nab ni 11Xab所以： EY1EXab即：1n21n112SY2Yi YXi aX an1 i 1n1 i 1 bb= 1n1 Xi212 SX2Xn1 i 1bb14 设 X1, , X 5是总体 X N(0,1) 的样本 .1)试确定常数 c1 , d1 ，使得 c1 ( X 1X2)2d

12、1 ( X 3X 4X5)2 2 ( n) ，并求出 n ；2)22X 4X 5 )2试确定常数 c2 ，使得 c 2 ( X 1X2)/(X3 F ( m, n) ，并求出 m 和 n .解1）因： X1 X 2 N(0,2)， X3X 4X5 N (0,3)标准化得： X1X2 N(0,1)， X3X 4X5 N (0,1) 且两式相互独立23X12X 3X 42故：X2X 52(2)23欢迎下载8精品文库可得： c11 ， d11 ， n2 .23X 3X4 X522） 因： X12X 222(2) ， 2 (1)，3所以：X12X 222 F (2,1) ，X 42X 3X 53可得：

13、 c23 ,m2, n1.215 设 t p (n), Fp (m, n) 分别是 t 分布和 F 分布的 p 分位数，求证t12F1p (1,n) .p / 2 ( n)证明设F1 p (1,n)，则： P(F) 1 pP(F) 1 pP( T)P( T)1 p2P (T)2pP(T)1 p2所以：tp (n)12故：t1p2 ( n) F1 p (1, n) .216设 X1, X 2 是来自总体X N (0,1) 的一个样本，求常数c ，使：P( X1X2 )22 c 0.1.( X1X 2 )2( X1X 2 )解易知 X1X2 N(0, 2) ，则 X1X 2 N (0,1) ；2同

14、理 X1X 2 N(0, 2) ，则 X1X 2 N (0,1)2又因： Cov ( X1X2,X1X 2 )0 ，所以 X1X2与X1X 2相互独立 .P( X1X2)2X2)2cP(1c)( X1X2 )2c( X1X2)2( X1( X1X2)2欢迎下载9精品文库( X1X2)2cPX2)21c( X1( X1X 2 )2cP2X 210.1X1)2c(2所以：c）1F0.9(1,1 =39.9c计算得： c = 0.976.17 设 X1,X2, X n , X n 1 为 总 体2的 容 量n 1 的 样 本 ， X , S2XN( , )为 样 本( X 1 , X n ) 的样本

15、均值和样本方差，求证：1） TnX n 1 X t( n1) ；n1S2） XX n 1 N (0, n12) ；n3） X1X N (0, n12) .n解 1）因：E( X n1X )0， D ( X n 1 X )n 1 2n所以： X n1 X N (0, n1 2 ) ， X n 1X N (0,1)nn1n又： n 21 S2 2 (n 1)且：所以：X n 1X 与 n 1n12nX n 1 Xn1nn 21 S2n1S2 相互独立2nX n 1Xn 1S t (n 1)2）由 1）可得： XX n 1 N (0, n 12 )n3）因： E(X1 X)0n1 2，D(X1 X)

16、n欢迎下载10精品文库所以： X1X N (0, n12 )n18 设 X1, X n 为总体 X N (,2 ) 的样本， X 为样本均值，求n ，使得P(| X| 0.25)0.95 .解UX N (0,1)/ nP X0.25PX0.25 n0.25 n/n20.25n1 0.95所以：0.25 n0.975查表可得： 0.25 nu0.975 1.96 ，即 n 62 .19 设 X1 , , X n 为总体 X U a, b 的样本，试求：1） X (1) 的密度函数；2） X ( n ) 的密度函数；解因： X U a, b ，所以 X 的密度函数为：1, x a, b ，f (

17、x)b a0, xa, b0, xaF (x)xax bb, aa1, xb由定理： f(1) ( x)n(1 F (x)n 1 f ( x)n(bx )n11, x a,bbaba0, xa, bf( n) ( x)n( F ( x)n 1f (x)欢迎下载11精品文库n( xa )n 11, xa, bbaba0, x a, b20 设 X1, , X 5 为总体 X N (12,4) 的样本，试求：1） P(X (1)10) ；2） P( X(5)15)解X N(12,4)X i 122N (0,1)P X(1)101 P X(1)1051i1P X i1051i11PX i105X i

18、1211P1i121(1(1)515 (1)0.57855PX (5)15PX i15i15X i12P21.5i15 (1.5) 0.93325 0.707721 设 ( X 1, X m , X m 1, X m n ) 为总体 X N (0,2 ) 的一个样本，试确定下列统计量的分布：mmn Xin X i21m21m n21） Y1i 1； 2）Y2i 1；3） Y3X iX im nm n2222mi 1ni m 1mmX iX ii m1i m 1欢迎下载12精品文库m2 )解1）因为：X i N (0, mi1mX i N (0,1) ， m n2所以： i1X 2i2 ( n)

19、mim 1m且i1X i与m nX i2相互独立，由抽样定理可得：m2im 1mmi 1X inXimY1i1= t (n)mnmnX i22nmXi2im 1i m 12）因为：1m22( m) ，1mn22(n)2X i2Xi i 1im 11m21 mn2且2X i与2X i相互独立，i 1im1m21mXi2mnX i2所以：i 1=i 1 F (m, n)mnmnm212ni m1X i2i m1X im2 ) ，m n2 )3）因为：i1X i N (0, mi m1X i N (0, nmm n(X i ) 2(Xi )2所以：i12 (1) ， im 12 (1)m2n2mXi

20、 ) 2m nXi )2(且 i12与 im 12相互独立，mn1m21m n22(2) .由卡方分布可加性得：X inX im 2i 12imn22 设总体 X 服从正态分布 N (,2 )，样本 X1,X2, X n 来自总体 X ，S2 是样本方欢迎下载13精品文库差，问样本容量 n 取多大能满足P(n 1)S232.670.95？2解 由抽样分布定理：n21S2 2 (n1) , P( n21 S232.67) 0.95 ,查表可得： n 1 21， n22 .23 从两个正态总体中分别抽取容量为20和 15的两独立的样本，设总体方差相等，S12 , S22 分别为两样本方差，求P S

21、122.39 .S22解 设 n1 =20， n2 =15 分别为两样本的容量，2为总体方差，由题意，(n11)S1219S122( n21)S2214S2222=2 ，2= 2 (14)(19)19S12192又因 S12 , S22 分别为两独立的样本方差：22= S12 F (19,14)14S214S22所以： P S12 2.391PS122.3910.950.05.S22S2224设总体 XN(,2 ) ，抽取容量为20 的样本 X1, X2 , X 20 ，求概率20) 2( X i1） P 10.85i 137.57 ；220X ) 2( X i2） P 11.65i 138.58 .2解1）因 Xi N (0,1) ，且各样本间相互独立，所以：202Xi220Xi2 2 (20)i 12i 1故： P 10.85237.570.990.050.94202）因： i 1Xi X19S22 (19)2,所以：22欢迎下载14精品文库19S2P 11.6538.580.9950.10.895.225设总体X N(80,2 ) ，从中抽取一容量为25 的样本，试在下列两种情况下P( X80 3)的值：1） 已知20 ；2）未知，但已知样本标