江苏高考数学试题及答案

1、普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷 )一、选择题 (5 分×12=60 分 )1设集合 P1,2,3,4， Qx x2, xR，则 PQ 等于（）A1 ，2B 3，42C 12cos x1()D -2 ， -1， 0，1， 2yx的最小正周期为（）函数2RA B C 2D 423从 4 名男生和3 名女生中选出4 人参加某个座谈会，若这4 人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有（）A140 种B120 种C35 种D34 种4一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（）A 1003B 20833cmcm3C5003D 416 333cm

2、3cm2y25若双曲线x1的一条准线与抛物线28x 的准线重合，则双曲线的离心率为（）8b2yA 2B2 2C 4D4 26某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了 50 名学生， 得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50 名学生这一天平均每人的课外阅读时间为（）A0.6 小时B0.9 小时C 1.0 小时D 1.5 小时人数 (人)20151057 (2 xx ) 4 的展开式中 x3 的系数是00.51.0 1.52.0时间 (小时 )（）A 6B12C 24D 488若函数 yloga ( xb)( a0,a 1) 的图象过两点 (1,

3、0)和 (0,1)，则（）A a=2，b=2B a=2 ， b=2C a=2， b=1D a=2 ， b= 29将一颗质地均匀的骰子（它是一种各面上分别标有点数1， 2，3，4， 5，6 的正方体玩具）先后抛掷3 次，至少出现一次6 点向上的概率是（）A 5B 25C3191216216216D21610函数 f ( x)x33x1在闭区间 -3， 0上的最大值、最小值分别是（）A 1，-1B 1， -17C3， -17D 9，-1911设 k 1， f ( x)k ( x 1) ( xR ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数 yf ( x) 的图象与 x 轴交于A 点，它的反函数yf 1

4、 ( x) 的图象与 y 轴交于 B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形 OAPB 的面积是3，则 k 等于（）A 3346B CD x23512设函数 f (x)( x R) ，区间 M= a， b(a<b)，集合 N= y yf (x), xM ，则使 M=N1x成立的实数对 (a，b)有（）A0 个B1个C2 个D 无数多个二、填空题 (4 分× 4=16 分)13二次函数 y ax2bx c ( xR )的部分对应值如下表：x-3-2-101234y60-4-6-6-406则不等式 ax2bxc 0 的解集是 _.14以点 (1,2) 为圆心，与直线4x

5、3y350 相切的圆的方程是 _.15 设数列 an a1(3n1)1 ) ，且 a454 ，则 a1 的数值是的前 n 项和为 Sn ， Sn2( 对于所有 n_.16平面向量 a， b 中，已知 a=(4 ， -3)， b =1，且 a·b=5，则向量 b=_.三、解答题 (12 分 ×5+14 分 =74 分 )5，求 sin()的值.17已知 0<< ， tan+cot=2322218在棱长为 4 的正方体 ABCD -A1B1C1D 1 中，O 是正方形 A1B1C1D1 的中心，点 P 在棱 CC1 上，且 CC 1=4CP.( )求直线 AP 与平

6、面 BCC1B1 所成的角的大小（结果用反三角函数值表示）；( )设 O 点在平面D1AP 上的射影是H ，求证： D1H AP； ( )求点 P 到平面 ABD 1 的距离 .D 1C1·OA1B 1·HPDC19制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损.某投资人打算投资甲、乙两个项目 . 根据预测， 甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100和 50，可能的最大亏损率分别为30和 10 . 投资人计划投资金额不超过10 万元，要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元 . 问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？22已知函数

7、f ( x)( x R) 满足下列条件：对任意的实数x1， x2 都有(x1x2 )2( x1x2 ) f ( x1 )f ( x2 ) 和 f (x1)f (x2 )x1 x2，其中 是大于 0 的常数 .设实数 a0 ，a，b 满足 f (a0 )0 和 b af (a) ； )证明1 ，并且不存在 b0a0 ，使得 f (b0 ) 0 ；( )证明(ba0 )2(12 )(a a0 ) 2 ； ( )证明 f (b) 2(12) f ( a) 2.20设无穷等差数列 a 的前 n 项和为 S .( )若首项 a13，公差 d1 ，求满足 S2( Sk ) 2 的正整数nn2kk； ( )

8、求所有的无穷等差数列 an ，使得对于一切正整数k 都有 S2(Sk ) 2 成立 .k、参考答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题5分，满分 60分 .1A 2B 3D 4C 5A 6B 7 C 8A 9D 10C21已知椭圆的中心在原点，离心率为1，一个焦点是F （ -m,0） (m 是大于 0 的常数 ).11B 12A4 分，满分 16分 .2二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题( )求椭圆的方程；13(, 2) (3, )14 ( x1) 2( y 2) 225( )设 Q 是椭圆上的一点，且过点F、Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M. 若 MQ2 QF ，求

9、直线 l 的斜率 .15 216(4,3)55三、解答题17本小题主要考查三角函数的基本公式和三角函数的恒等变换等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分 12 分.解：由已知 tancot25，得 sin4sin2.22350,c o s12s i n.25从而 s i n (3) s i n c o sc o s s i n3341331(4 33) .52521018本小题主要考查线面关系和正方体性质等基本知识，考查空间想象能力和推理论证能力.满分 12 分.解法一：（ I）连结 BP. AB平面 BCC1B1， AP 与平面 BCC 1B1 所成的角就是 APB, CC1=4CP,CC1

10、=4 ， CP=I.在 RtPBC 中， PCB 为直角， BC=4 ， CP=1，故 BP= 17 .AB4 17在 RtAPB 中， ABP 为直角， tan APB =,BP17417 APB= arctan.1719本小题主要考查简单线性规划的基本知识，以及运用数学知识解决实际问题的能力.满分 12 分.解：设投资人分别用x 万元、 y 万元投资甲、乙两个项目 .xy10,0.3x0.1y1.8,由题意知x 0, y 0.目标函数z=x+0.5y.上述不等式组表示的平面区域如图所示，阴影部分（含边界）即可行域.作直线 l 0 : x0.5 y0，并作平行于直线l 0 的一组直线 x0.

11、5yz, zR,与可行域相交，其中有一条直线经过可行域上的M 点，且与直线 x0.5 y0 的距离最大，这里M 点是直线xy10和 0.3x0.1y1.8 的交点 .xy10,得 x=4，y=6解方程组0.1y0.3x1.8,此时 z 1 40.5 6 7 （万元） .7 0当 x=4， y=6 时 z 取得最大值 .答：投资人用4 万元投资甲项目、6 万元投资乙项目，才能在确保亏损不超过1.8 万元的前提下，使可能的盈利最大 .20本小题主要考查数列的基本知识，以及运用数学知识分析和解决问题的能力.满分 12 分.解：（I ）当 a13 ,d1 时，2n(n 1) d3 nn(n 1)1 n

12、 2Snna1n2222由 S 2(Sk ) 2 ，得 1 k 4k 2(1 k 2k )2 ，k22k 3 ( 1 k即1) 0又 k0，所以 k4 .4(Sn ) 2（ II ）设数列 an 的公差为 d ，则在 S2中分别取 k=1,2,得nS1(S1)2a1a12,（ 1），即4 32 1d )2S4(S2) 24a1d (2a1（ 2）22由（ 1）得 a10 或 a11.当 a10 时，代入（ 2）得 d0 或 d6,若 a10, d0，则 an0, Sn0 ，从而 Sk(Sk ) 2成立若 a0, d6，则 a6(n1)，由 S18,(S )2324,S216 知1n33nS9(

13、S3 ) 2 , 故所得数列不符合题意 .当 a11时，代入（ 2）得 46d (2d )2 ，解得 d0 或 d2若 a11, d0 ，则 an1, Snn ，从而 S2(Sk ) 2成立；k若 a11, d2 ，则 an2n1, Sn 13(2 n1) n2 ，从而 S(Sn ) 2 成立 .综上，共有3 个满足条件的无穷等差数列： an : an=0 ，即 0，0， 0， ； an : an=1 ，即 1，1， 1， ； an : an=2 n 1，即 1， 3，5， ，21本小题主要考查直线、椭圆和向量等基本知识，以及推理能力和运算能力.满分 12 分 .x2y21(ab 0).解：（

14、 I ）设所求椭圆方程是ba22由已知，得cm,c1 ,所以 a2m,b3m .a2x 2y 21故所求的椭圆方程是23m24m（ II ）设 Q（ xQ , yQ ），直线l : yk( xm) ，则点 M (0, km)当 MQ2QF 时，由于 F (m,0),M (0, km), 由定比分点坐标公式，得xQ02m2m , yQkm01 km.1231232m km4m2k 2m2又点 Q(991.3,) 在椭圆上，所以4m23m23解得 k26, .当 MQ2QF 时， xQ0(2)(m)2m, yQkm121km2于是4m2k2 m21 ，解得 k0故直线 l 的斜率是0，2 6 .4

15、m23m222本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.满分 14 分 .证明：（ I）任取 x , x2R, xx ，则由 ( x1x2 ) 2( x1x2 ) f ( x1 )f (x2 )112和 | f (x1 )f (x2 ) | | x1x2 | 可知 ( x1x2 ) 2( x1x2 ) f ( x1 )f (x2 ) | x1x2 | | f ( x1 )f ( x2 ) | | x1 x2 |2 ，从而1. 假设有 b0a0 ，使得f (b0 )0 ，则由式知0(a0b0 )2(a0b0 ) f (a0 )f (b0 )0 矛盾不存在 b0 a0 ，使得 f (b0 )0.（ II ）由 baf (a)可知(ba0 ) 2 aa0f (a) 2(aa0 ) 22(aa0 ) f ( a)2 f (a) 2由 f (a0 )0和 式，得 (a a0 ) f (a)(aa0 ) f (a)f (a0 )(aa0 ) 2由 f (a0 )0 和式知， f (a) 2 f (a)f (a0 ) 2( aa0 ) 2由、代入式，得(b a0 )2(aa0 ) 222