江苏省2011年高中数学25《对数的运算》学案苏教版必修1

1、第 25 课时 对数的运算【学习目标】1. 正确理解和掌握对数的运算性质；2. 理解推导运算性质的依据和过程，并会用语言叙述，培养学生数学语言转换能力，学会寻求合理、简洁的运算途径，提高运算能力【课前导学】复习回顾1对数的定义logaN b其中.a（ 0， 1）（ 1，）与N（ 0，）.2指数式与对数式的互化：ab NlogaN b.3. 重要公式：负数与零没有对数； log a 10， log a a 1；对数恒等式 alog aNN ；b(4) logaa b.【课堂活动】一、建构数学：1. 运算性质：若 a 0， a1， M 0， N 0，则(1)log a( MN)log aM log

2、 aN；M(2)logaN log aM log aN；n(3)logaM nlog aM( n R)【思路分析】现在我们来证明运算性质，为了利用已知的幂的运算性质，应将对数形式根据对数的定义转化为指数形式，因此需要引进中间变量，起一定的过渡作用.证明： (1)设 log aMp， log aN q由对数的定义得：Map， N aq MNap·aq ap+q再由对数定义得log a ，即证得 log a log a log aMN pqMNMN(2) 设 log M p， logN q由对数的定义可以得：aap， qMapp qa， q a，M aNNaM再由对数的定义得：log a

3、N pq，M即证得 log aN log aM log aN.(3) 设 log aM p 由对数定义得 M ap，npnnp再由对数定义得M（ a ） alogn即证得 lognM np.M nlog M.aaa【解后反思】上述三个性质的证明有一个共同特点：先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂的运算性质进行恒等变形，然后再根据对数定义将指数式化成对数式其中，应主要体会对数定义在证明过程所发挥的关键作用.( 要求：性质 (2) 、 (3) 学生尝试证明，老师指导)说明 ：（ 1）语言表达： “积的对数=对数的和”（简易表达以帮助记忆）.；（ 2）注意有时必须逆向运算：如log 10 5 l

4、og 10 2log 10 10 1 ；（ 3）注意性质的使用条件：每一个对数都要有意义.log 2 (3 )(5 )log 2 (3 )log 2 (5 ) 是不成立的，log 10 (10 ) 22 log10 (10 ) 是不成立的；（ 4）当心记忆错误：log a ( MN )log a Mlog a N ，试举反例，log a ( MN )log a Mlog a N ，试举反例 .（ 5）对数的运算性质实际上是将积、商、幂的运算分别转化为对数的加、减、乘的运算.2.对数换底公式log a Nlog m N. （尝试证明）logm a说明 ：由换底公式可得以下常见结论（也称变形公式）

5、：log a b log b a1；log a m bn n log a b ；mlog b a log a xlogbx .换底公式的意义是把一个对数式的底数改变，可将不同底问题化为同底，便于使用运算法则，所以利用换底公式可以解决一些对数的底不同的对数运算.师接下来，我们利用对数的运算性质对下列各式求值：二、应用数学：例 1 求下列各式的值：（ 1） log 2 2345 ；（ 2） log5 125 ；（ 3） lg 32lg 2 1 ；lg1.2（ 4） log 2843log 2 843 .解：（ 1） log2 2345log 2 23log 2 453 5log 2 435213

6、；（ 2） log5 125log 5 533log 5 53 ；（ 3） lg32lg21lg3lg 41lg1.21；lg1.2lg1.2lg1.2（ 4） log 2843log 2843log 2 (843)(843)log 2 (6448)log 2 42 .点评 :熟练掌握对数的运算性质并能逆用性质是解题的关键.例 2 用 log a x， log a y， log a z 表示下列各式：xyx2·y（ 1） log a z；（2） log a.3z解：（ 1） log axy log a （ xy） loga z log a x log a y log a z.z（ 2

7、） logax2· y log a （ x2·y ） log a3 z3zlog a x2log a311y log az 2 loga x 2 loga y 3 log a z.例3 计算：7lg243lg27 lg8 3lg10（1） lg14 2lg 3 lg7 lg18；（ 2） lg9；（ 3）lg1.2.【说明】此例题可讲练结合 .解： (1) 解法一： lg14 2lg7 lg7 lg183 lg(2 ×7) 2(lg7 lg3) lg7 lg(3 2×2) lg2 lg7 2lg7 2lg3 lg7 2lg3 lg2 0.解法二：lg14

8、 2lg7 lg7 lg18 lg14 lg （ 7 ） 2 lg7 33lg14×7 lg1 0.72×18（ 3 ）【解后反思】此题体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质的逆用常被学生所忽视.lg243lg3 55lg35（ 2） lg9 lg3 2 2lg32 .11lg27 lg8 3lg10lg （ 33） 2 lg2 3 3lg （ 10） 2（ 3）lg1.223×2lg103（lg3 2lg2 1）23lg3 2lg2 12 .【解后反思】此例题体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如(3) 题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母

9、的联系.(2) 题要避免错用对数运算性质 .例 4 已知 log 18 9a,18b5 . 求 log 36 45 . 思路分析一 先将指数式 18ba 化成对数式 log18 5 b ，然后将所求式化为以 18为底的对数式，利用已知代入即可 . 思路分析二 将所有已知、未知的式子都化为常用对数来计算. 思路分析三 将已知的对数式log 18 9 a 化成指数式，然后将所求式也化成指数式，逐步寻求转化关系.解法一 log 18 9a,18b5,log 18 5b ，log 36 45log 18 45log 18 (95)log 18 9log 18 5ablog 18 361822 log

10、18 18log 18 92.alog 18 9解法二 log 18 9a,18b5,lg 9a lg 18, lg 5b lg 18，log 36 45lg 45lg( 9 5)lg 9lg 5a lg 18b lg 18ablg 3622lg 18 lg 92 lg 18a lg 182.lg 18a9 解法三log 18 9a, 18a9,有18b5,455918b18a18ab ，令 log 36 45x, 则36x4518ab ,36 x(1818) x18ab ，33即 182 x9x18a b ,18a9, 18 2 x9x 36 x(18a ) x18 a b18 ax a b

11、 ，2xaxa b,xab2.a【解后反思】 本题的解题方法是将指数式18 ba 化成对数式 log 18 5b ，再把所求对数的底通过换底公式换成和它们相同的底的对数，以便利用已知条件及对数的性质来求值，也可将对数式 log 18 5 b 改写成指数式 18a9 ，以便利用已知条件及指数运算法则来求解.三、理解数学：1. 求下列各式的值：（） log2 log2 （） lg lg （） log5 log1（） log 3 log 3 155 36解：（） log 2 log 2 log 2 3log 2 （ 2） lg lg lg （×） lg 11（ 3） log 5 log 5

12、 3 log 5( × 3 ) log 5 51（ 4） log 3 log 3 15 log 315 log 33 log 3 2. 用 lg x， lg y， lg z 表示下列各式：(1) lg （ x y z）xy2xy3x（） lg z（） lgz（） lg y2z解： (1) lg（ xyz） lgx lgy lg ；(2) lgxy2x2z lg2lgz lgy lgx lg yzxy3 lgx lgylg ；(3) lg3z lg x lg31 lgx y lgy lgz21 lg x lgy 2lg；(4) lgxx lgy21lg x（ lg2z）2 lgzy l

13、gyz21lgx 2lgy lgz .23 . 已知 25a53b10c ，求 a,b, c 之间的关系 .分析：由于a, b, c 在幂的指数上，所以可考虑用对数式表示出a, b,c 。解： 25a53b10c ，两边取以10 为底的对数得：5alg 2 3b lg5 c ， lg 2c,lg5c， lg 2lg51，5a3b c c 1 . 5a 3b点评 : 本题要求关于a, b 的代数式的值，必须对已知等式两边取对数，恰当的选取对数的底数是十分重要的，同时lg 2lg51 是关键 .【课后提升】1.若 a0, a 1, x, y R,且 xy0，下列等式中：x2xl o ag2 l o

14、 ag ； l o agx22 l o agx ； log a ( xy)log a xlog a y ； log a (xy)log a xlog a y . 不正确的是.2.计算 lg 3 2 lg 3 53lg 2 lg 51.3.若 lg xa, lg yb ，则 lgxlg( y ) 2 的值为1 a 2b2.1024.已知 log 2 log 1 (log 2x)log 3 log 1 (log 3y)log 5 log 1 (log 5 z) 0 ，那么 x, y, z 的大235小顺序为zxy.5. 若 log x (21)1 ，则 x21 ，若 log 2 8y ，则 y6

15、.6. log 2 (64 2642 )3 .7. 计算：(1) loga loga1（ a， a）（） log318 log32(3) lg1 lg25(4)log5 10 log 5 0.254（ 5） log5 25 log2 64(6) log2（ log2 16）解： (1) log log1 log1；a2a（× 2 ） logaa（ 2） log3 18 log 3 log18log 3 ；3 2（ 3） lg1 lg25 lg （1÷） lg1lg10 2；44100（ 4） log 5 10 log 5 0.25 log 5 102 log 5 0.25 log 5 (100 ×0.25) log 5 25；（ 5） log 5 25 log 2 64 log 5 52 log 2 26×× 22；（ 6） log 2 （ log 2