江苏高考南通数学模拟试卷

1、高考模拟试卷(1)南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160 分）一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共 70分 1设 a,b R ， abi23i ，其中 i 是虚数单位，则ab1i2已知集合 Px xa， Qy ysin,R若 PQ ，则实数 a 的取值范围是3为了了解一片 经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm )，所得数据如图则在这100株树木中，底部周长不小于100cm 的有株rr(m 1,2)rrrrr4设向量 a (1,m)， b，且 ab ，若 (ab)a ，第 3题图则实数 m开始5如图所示的流程图的运行结果是a5, S16将边长为 a

2、 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，使 BDa ，a4N则三棱锥 DABC 的体积为SYaS7设等差数列 an 的前n 项和为 Sn ，若 a19 ， a4 a62 当 Sn 取最大值时， n8已知，且cos41 ，则 cos4sin 4445输出 Saa1结束第5题图9若在区间 ( 1,1)内任取实数 a ，在区间 (0,1) 内任取实数 b ，则直线 axby0 与圆(x 1)2( y2)21 相交的概率为10设函数 f (x)sin(2 x), x, a 的值域是 1,1 ，则实数 a 的取值范围为66211已知函数 f ( x) 满足：当 x1,3时， f ( x) ln x

3、，当 x11若在区间1 ,1) 时， f (x)2 f ( ) ,33x3内，函数 g( x)f ( x)ax( a0) 恰有一个零点，则实数 a 的取值范围是2212设椭圆xy1(a b0) 和圆O : x2y2b 2C : a2b2，若椭圆 C 上存在点 P ，使得过点 P 引圆 O 的两条切线，切点分别为A、 B，满足APB 60 ，则椭圆 C 的离心率的取值范围是13设数列 an 的通项公式为 an (3)n 1 ，则满足不等式n3naiai 的正整数 n 的集合为2i 1i 114设函数 f (x) 3x3 x2 x ，则满足 ( x 2) f (log 1 x)0 的 x 的取值范

4、围是2二、解答题： 本大题共6 小题，共 90分 . 请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .15（本小题满分 14 分）在 ABC 中， A, B,C 的对边分别为a,b,c ，且 b tan A(2cb) tan B （ 1）求角 A 的大小；uuuruuur（ 2）设 AD BC ， D 为垂足，若 b 2 ， c 3，求 ADAC 的值16（本小题满分14 分）如图，四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为矩形， PDBC，G为PA上一点 （ 1）求证：平面 PCD 平面 ABCD ；（ 2）若 PC 平面 BDG ，求证： G 为 PA 的中点 PGD

5、ACB17（本小题满分14 分）如图，某城市有一条公路从正西方AO 通过市中心 O 后转向东偏北角方向的 OB 位于该市的某大学M 与市中心 O 的距离 OM3 13km ，且AOM现要修筑一条铁路L， L在 OA 上设一站A ，在 OB 上设一站 B，铁路在 AB 部分为直线段，且经过大学M 其中tan2 ， cos3， AO15km13（ 1）求大学 M 与站 A 的距离 AM ；（ 2）求铁路 AB 段的长 AB BLLLMAO18（本小题满分16 分）22设椭圆 C : x2y2 1(ab 0) 的离心率为 e3 ，直线 y x2 与以原点为圆心、 椭圆 CabO 相切2的短半轴长为半

6、径的圆（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）设直线 x1 与椭圆 C 交于不同的两点 M , N ，以线段 MN 为直径作圆 D 若圆 D 与 y 轴2A, B ，求 ABD 的面积；相交于不同的两点（ 3）如图， A1 、 A2 、 B1 、 B2 是椭圆 C 的顶点， P 是椭圆 C 上除顶点外的任意点，直线 B2 P 交x 轴于点 F ，直线 A1 B2 交 A2 P 于点 E 设 A2 P 的斜率为 k ，EF 的斜率为 m ，求证： 2m k 为定值EyB2PA1OA2F xB1第18题图19（本小题满分16 分）2已知函数 f (x)ln x ， g (x) f ( x) axyg

7、( x) 的图象在点(1,g (1) 处的切bx ，其中函数线平行于 x 轴（ 1）确定 a 与 b 的关系；（ 2）若 a 0 ，试讨论函 数 g (x) 的单调性；（ 3）设斜率为k 的直线与函数yf ( x) 的图象交于两点A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) (x1x2 ) ，求证：1 k 1 x 2x120（本小题满分16 分）设数列 an的前 n 项和为 Sn ，满足 an Sn An2Bn C ( A 0, n N* ) （1）当 C1时，39设 bnann ，若 a1， a2求实数 A, B 的值，并判定数列 bn是否为等比数列；24若数列an 是等差数列，求B1

8、 的值；A（2）当 C0 时，若数列 an是等差数列， a11 ，且 nN * ，3n1求实数的取值范围n111，i 1ai2ai21第卷（附加题，共40 分）21 选做题 本题包括 A、B、C、D四小题，每小题10 分；请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答 CBA （选修：几何证明选讲）如图，设 AB、 CD 是圆O 的两条弦，直线 AB 是线段 CD的垂直平分线已知 AB6,CD 2 5 ，求线段 AC 的长度B （选修：矩阵与变换）1a若点 A(2,1) 在矩阵 M对应变换的作用下得到点B(4,5) ，求矩阵M 的逆矩阵b1C（选修：坐标系与参数方程）在极坐标系中，设圆C经过点（，圆

9、心是直线33， ）sin()与极轴的交点，求圆 C 的P623极坐标方程D （选修：不等式选讲）设 a, b, c 均为正数， abc 1 求证： 111abc abc【必做题】第 22题、第23 题，每题10 分，共计20 分.22（本小题满分10 分）已知数列 an满足 a11 ， an 1(3n3)an4n 6, n N * an2n（ 1）求证：数列是等比数列；n3n 1N * ，求证：当 n2 ， nN * 时， bn 1 bn 2b2n41（ 2）设 bn, nan252n123（本小题满分 10 分）如图，已知点 F (0, p) ，直线 l : yp(其中 p为常数且 p0)

10、， M 为平面内的动点，过M 作uuuruuuruuuruuurl 的垂线，垂足为 N ，且 NMNFFMFN （ 1）求动点 M 的轨迹 C 的方程；（ 2）设 Q 是 l 上的任意一点，过 Q 作轨迹 C 的切线，切点为A、B求证： A 、 Q 、 B 三点的横坐标成等差数列；y若 Q( 4, p) ， AB 20，求 p 的值MFOxlN2015 年高考模拟试卷(1)参考答案南通市数学学科基地命题第卷（必做题，共160 分）一、填空题1.6； 2.1,)； 3.70； 4.1； 5. 20； 6.2 a 3 ；7.5； 8.15；1259.5；10.,；11.(1,6ln3；【 解 析

11、】 当 x1,1)时，1(1, 3 ，由条件得，1662e3xf ( x)2 f (12ln12ln x ，函数 g (x)f (x)ax (a0) 恰有一个零点方程 f ( x)ax (a0)xx有唯一解，在直角坐标系内分别作出yf (x) 与 yax (a0) 的图象，当直线yax 经过点(1,2ln 3) 时， a6ln36ln3 ，当直线 yax 和曲线 f ( x) ln x 相切时，切点为 (e,1)，此时 a1 ，3e由图象可知，当1a6ln3 时，函数 yf (x) 与 yax (a0) 的图象由唯一的交点e12.3；【解析】在四边形OAPB 中，APB60，OAPOBP 90

12、 ， OAOBb ，,1)2OP2b，由题意得，2ba ，即 2a2c2a ，化解得c3 ，又在椭圆中 e1 ，a23e1 13.1 ，2，3 ；【解析】由于数列 an 的通项公式为 an( 3 )n 1 ，所以数列22 an 为等比数列，首项为a13 ，公比 q13；数列 12 ，公比 也是等比数列，首项为22an3q2n32不等式3i 1 ai22n1 ，nN9()33 x ln33 x ln3f (x)调 递 增 ， 且 f(0)0 ，12 n3 nnn1n()1 ()ai 等 价 于 3ai， 即 332，解之得aii 1i 1i1213123，n只 能 取1 , 214.(0,1)(

13、2,)；【解析】,2(3x3 x )ln322ln320 ，函数f ( x) 在 (,) 上单( x2) f (log 1 x)0x20或x20， 解 得 x2 或log 1 x0log 1 x02220 x 1二、解答题15. （ 1） b tan A(2cb) tan B ，由正弦定理，得sin Asin B,sin B(2sin C sin B)cos Acos B又在ABC 中， sinB0 ，sin AcosB2sin C cos Acos Asin B ，即sin( AB)2sin C cos A ， 又sin( AB)sin C0 ，cos A1 ，2又 0A，A；3（ 2） 由

14、余弦定理，a2b 2c22bc cos A ，b2 ， c 3 ， A，3a7 ，1BCAD1AB ACsin A ，即 7AD 323 ，222321227AD ACADAC cosCADADAD7，7 .16.（ 1）底面 ABCD 为矩形 ，BCCD ，又PDBC ，CD, PD平面 PCD ， PDCDD ，BC平面 PCD ，又BC平面 ABCD ，平面 ABCD平面 PCD ；（2）连接 AC ，交BD 于 O，连接 GO，PC/ / 平面 BDG，平面 PCA平面 BDG GO ，PC /GO，PGCO ， 底面 ABCD 为矩形，O 是 AC 的中点，即 CO OA ，GAOA

15、PGGA ，G 为 PA的中点 .17. （ 1）在AOM 中， AO15 ，AOM且 cos3， OM313，132222OA OMcosAOM由余弦定理得， AMOAOM(322231315313)151313915152315372.AM6 2 ，即大学 M 与站 A 的距离 AM 为 6 2km ；（ 2）cos3，且 为锐角，sin2，1313在 AOM 中，由正弦定理得，AMOM,sinsinMAO即 6 2313，sin MAO2 ，MAO，2sinMAO2413ABO，tan2 ， sin2 ， cos1，455sin ABOsin(4)1，又AOB，sinAOBsin()2

16、，105在AOB 中， AO15， 由正弦定理得，ABAO，sinAOBsinABO即 AB15，AB302 ，即铁路 AB 段的长 AB 为 302km 2151018. （ 1）圆 O 的方程为 x2y2b2 ，直线 yx2 与圆 O 相切，2b ，即b 1，又e3 ，1b 23 ，22a222x2a2 ，椭圆 C 的方程为y1 ；（ 2）由题意，可得M (1,15),N(1,15) ，2424圆 D 的半径 r15，AB1511124，4162ABD 的面积为 S111111 ；（ 3）由题意可知2228A1 (2,0), A2 (2,0), B1 (0, 1),B2 (0,1)，A2

17、P 的斜率为 k ，直线 A2 P 的方程为 yk(x2) ，yk( x2)2222由x2，得 (14k)x16kx16k40 ，y214其中 xA2 ， xP8k222 ，P(8k24k22 ,14k 2 ) ，14k14k则直线 B2 P 的方程为 y2k1 x1 ，（22k1)令 y0 ，则 x2(2 k1) ， 即 F ( 2(2k1),0) ，2k12k1直线 A1B2 的方程为 x2 y20 ，x2 y20x4k22k1 ，4k24k由，解得yk (x2)E (,) ，y4k2k12 k 12k14k2k1EF 的斜率 m2k1，2(2 k1)4k242k12k12mk22k1k1

18、 （定值）4219. （ 1）（ 2）g (x)f ( x)2bxln x2bx ，g ( x)1b ，axax2ax由题意得 g (1)12ab0 ，b2a1 ；xg ( x)12axb12ax2a1(2 ax1)(x1) (x0) ，xxx当 a0 时， g ( x)(x1) (x0) ，x当 x1时， g ( x)0 ，函数 g (x) 在 (1,) 单调减；当 0x1时， g (x)0 ，函数 g( x) 在 (0,1)单调增；112a( x1 )( x1)当 0a1， g ( x)2a(x0) ，时，即2ax2函数 g( x) 在 (1,1) 上单调减；12a函数 g( x) 在 (

19、,) 和 (0,1) 单调增；2a1)2当 a1 时，即 2a1 ， g ( x)(x0( x0) ，2x函数 g ( x) 在 (0,) 单调增；2a(x11)11)(x当 a时即1， g ( x)2a(x0) ，22ax1函数 g ( x) 在 (,1) 单调减区间；2a函数 g ( x) 在 (1,)和 (0,1 ) 单调增；2a（ 3）由题设 x2x10 ，1k11ln x2ln x11x2x1x2x2x1x1x2x1ln x2 ln x1x2x1x2x111ln x2x21x2x1x1x1令 h(x)ln xx1(x1) ，则 h (x)111x (x1) ，xxx1时， h ( x

20、)0，函数 g ( x) 在 (1,) 是减函数，而 h(1)0 ，x1时， h( x)h(1)0x2x10 ，x21 ，h( x2 ) ln x2x21 0 ，即 ln x2x21 ， x1x1x1x1x1x1令 H (x)ln x11(x1) ，则H ( x)11x11) ，xx22( xxxx1时， H ( x)0 ，H ( x) 在 (1,) 是增函数，x1时， H ( x)H (1)0 ，H ( x2 )ln x2110 ，x1x1x2x1即 11ln x2由得1k1 x2x1x2x1x120.（ 1） C 1，anSnAn2Bn1 ，令 n1，可得2 a1AB1，即 AB2 ，令

21、n2，可得 a12a24 A2B1，即 4A2B5，A1 , B3 , anSn1 n 23 n 1 ，2222当 n2 时，an 1Sn 11 (n 1)23 (n 1) 1，22 -，得 2anan 1n1 (n2) ，ann1n 1(n 1)，即n1n 1 ， abb212又 b1a110 ， bn0 ，2bn1数列 bn是等比数列；bn 1，2数列 an是等差数列，设 ana1(n1)d , Snna1n(n 1)2d ，An2anSnBn1，d n2(a1d )n a1d An2Bn 1 ， n N *2d2A2Ba1d ，2a1d1B1a1d1a11ddd2223；Addd222（2）当 C0 时， anSnAn2Bn数列 an是等差数列，