勾股定理典型例题详解及练习

1、典型例丿知识点一.直接应用勾股定理或勾股定理逆定理例X如图，在单位正方形组成的网格图中标有AB、CD、EF、GH四条线段,其中能构成一个直角三角形三边的线段是（）A. CD、EF、GHB. AB、 EF、 GHC. AB. CD、GHD. AB. CD、EF1）題意分析'本题考查勾股定理及勾股定理的逆定理。d2）解題患路；可利用勾股定理直接求出各边长，再进行判断。丄在及中，AF=1, AE=2,根据勾股定理，得口EE =丿伯十/护=孙十2 =辰同理AB = 2, （7/7CD = 2鼻计算发现"尸+（22）2 = （713）2,即AB1十£护=GH2 ,根据勾股定理

2、的逆宦理得到UAABs EEs GH为迫的三角形是直角三角形.故选解題后的思卩1. 勾股左理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角形。 因此，解题时一定要认真分析题目所给条件，看杲否可用勾股左理来解。2. 在运用勾股定理时，要正确分析题目所给的条件，不要习惯性地认为 “c ”就杲斜辺而“固执”地运用公式八=a2+b其实，同样是EC, NC不一定就等于90。，不一定就是斜辺，月EC不一定就是直角三角 形。P3. 直角三角形的判定条件与勾股定理是互逆的，区别在于勾般定理的运 用是一个夙iW（个三角形杲直角三角册）到“数”（八=2十沪） 的过程，而直角三角形的利定是一个从“数"

3、（一个三角形的三辺满足=小+D?的条件）到“形”（这个三角形是直角三角形）的过程“4. 在应用勾股定理解题时，要全面地考虑间题，注意间题中存在的多种 可能性，遴免漏解。“例2=如图，有一块直角三角形纸根朋6两直角辺AC=6cm, BC=3cmo 现将直角辺AC沿直线AD折養,便它落在斜边AB上,且点.C落到点E处, 则仞等于（八A. 2cmB. 3cmC. 4cmD. 5cm卩1）題意分析：本题考查勾股定理的应用门2）解題思路；本题若直接在&仞中运用勾股定理是无法求得CD的长的，因为只知道一条边47的长，由题意可知，ZCB和ZUED关于直 线 对称，因而MCDAAED.进一歩则有 AE

4、=AC=6cm. CD=ED. ED 丄AB,设CD=£2>cm;则在Rt A ABC中，由勾股定理可得 卫序办得 aB=10cm,在艮RDE 中，< r2+ （10-6） 2= （8-x） 2。解得x=3c 卩2解題后的思考勾股定理说到底是一个等式，而含有未知数的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求线段的长时常通过解方程来解决。勾股定理表达式中有三个量，如果条件中只有一个已知量，必须设法求出另一个量或求出另外两个量之间的关系,这一点是利用勾股定理求线段长时需要明确的思路。方程的思想：通过列方程（组）解决问题，如：运用勾股定理及其逆定理求线段的长度或解决实际问题时，经常利

5、用勾股定理中的等量关系列出方程来解决问题等。例3： 场罕见的大风过后，学校那棵老杨树折断在地，此刻，张老师正和占明、清华、绣亚、冠华在楼上凭栏远眺。清华开口说道：“老师，那棵树看起来挺高的。”"是啊，有10米高呢，现在被风拦腰刮断，可惜呀！”“但站立的一段似乎也不矮，有四五米高吧。”冠华兴致勃勃地说。张老师心有所动，他说："刚才我跑过时用脚步量了一下，发现树尖距离树根恰好3米，你们能求出杨树站立的那一段的高度吗"占明想了想说：“树根、树尖、折断处三点依次相连后构成一个直角三角形。"“勾股定理一定是要用的，而且不动笔墨恐怕是不行的。"绣亚补充说。

6、几位男孩子走进教室，画图、计算，不一会就得出了答案。同学们，你算出来了吗思路分析：1）題意分析：本题考查勾股定理的应用2）解题思路：本题关键是认真审题抓住问题的本质进行分析才能得出正确的解答解答过程：屮设直角三角形的三边长分别为血be如图，则a二3米,冃卩 它+b ic 一3）= a（米）。4=4 10丿cb 10102° （米）。*解得心（+）9斫贺Op解題后飽思考：7这是一道阅读理解类试题。这种题型特点鲜明、內容丰富超趣常规， 源于谍本，高于谍本，不仅考查阅读能力，而且还条合考查数学意识和数 学综合应用能力，尤其考查数学思维能力和创新意识。解题时，一嚴是通 过阅谟 理解概念，掌握

7、右法，领悟思想，抓住本质，然后才能解答间题,知识点二、构造直角三甬形使用勾股定理2例4；如图，一个长方体形的木柜啟在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙）， 有一只蚂蚁夙柜第上处沿着木柜表面爬到柜角G处。屮请你画出蚂战能够最快到达目的地的可能路径当 "，BC=A, CCi = 5时，求蚂蚁爬过的最短路径的长討求点闵到最短路径的距离,厂： T1一厂1 r -i 1 -1 r -iT a11 T11111111111 r .X.J -丄.4 .-J.-1_ .- .1111111111A t1111111 T 1I11111F.J11L .11 r 1 r 1 L 1-r -1 $ a r 1

8、 L i亍1 -1I1ii1i1a1i11 r .X J 丄. 4 -.u.1111111111厂.1.-.丄. J.1.-J-L.-L . 4111111111 k t1* T '1 n -1b 厂11 1 1 -J-1 -r -l »r .JI1L .11 T i r 1i-1-r 卡1 r-1 L 111111l1i1t111-L ._ J -U .-X .-J-e.L.备用图1)題意分析；本题芳查勾般定理的应用 Q2)解題思路：解決此类间题的关键是把立体图形间题转化为平面图形间题，夙而利用勾股定理解决。路径虽无数最短却唯一，要注意弄洁哪一条路径是最短的匚a解答过程&#

9、163;(1)如图，木柜的表而展开图是两个矩形 曲鸟和蚂蛾能够最决到达目的地的可能路径有如图的恥；和屁】。*(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段时耳到G,爬过的路径的长是 口护+(4 + 5,7。蚂蚁沿着木柜表酝经线段占矗到6,爬过的路径的长是/2=7(4+4)2 + 52=9b 屮 1汎最短路径的长是“範。d(呼=坐=4=(3)作丄/q于E,则 TU 腼 所求。3解題后的思考：卩转化的思想是将复朶问题转化、分解为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的间题来处理的一种思想方法。女山在讦多实际间题中，首先 将实际间题转化为数学问题，另外，当问题中没有给出直角三角形时，通常通过作辅助线构造直角三角形将它们

10、转化为直角三角形问题等。 例乐有一块直角三第形的绿地，壘得两頁角辺长分别为6m,汕.现在 要将绿地旷充成等腰三角形，且扩充部分是以8m为直角迫的直角三角形， 求扩充后等腰三角形緑地的周长 4思路分析：此题如有图形将变得很简单，按图形解答即可。但若没有 图形，则需要讨论几种可能的情况。这正是“无图题前细思考，分类讨论 保周到”。0解答过程；在Rt廊C中，ZACB = 90°, C = 8, BC = 6,由勾 股定理有：AS = 10,扩充部分为RtZWCD扩充成等腰血D应分以 下三种情况=如图1,当AS = AD=10时，可求CD=CS = 6,得 屈D的周长为32m.如图2,当川8

11、二30二10时，可求CD二4, 由勾股定理得，拡击，得血D的周长为必十纸勾皿如图3,25 当占召为底时，设AD = BD=则仞=兀-6,由勾股定理得，3 ,80解题后的思考：分类讨论思想是解题时常用的一种思想方法，同学们如果掌握了这种方法,可以使思维的条理性、缜密性、灵活性得到培养，才能在解题中真正做到不重不漏。知识点三、勾股定理及其逆定理的正逆混用例6:（1）图甲是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形。若大正方形的面积为13,每个直角三角形两条直角边的和是5,求中间小正方形的面积。（2）现有一张长为、宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形。（要求

12、：先在图乙中画出分割线，再画出拼成的正方形并标明相应数据）思路分析1) 題意分析：本题考查利用勾股定理进行图形的拼劃剪接Q2) 解题思路，注意拼接过程中面积是不变的心 解答过程C1)设直第三角形的较长直角辺长为a,较短直角边长为b,则小正 方形的边长为広由题意得卩a A-b= 5q由勾股定理，得/+胪=13彳一得2勿)=12心所以-掰二/+护-2於二13-12二1即所求的中间小正方形的酝积为3(2)所拼成的正方形的面积为6-5x2=1 W),所以可按照图甲制 作。由得门一 & = Id由、组成方程组解得。=3, E = 2*结合题意，每个直角三角形的较长直角边只能在纸片6.5cm的长边

13、上 截取，去掉四个直角三角形后，余下的面积为 13-1x3x2x4=13-12=1()2,恰好等于中间的小正方形的面积.于是，得到以下分剧拼合方法：口解題后的恩考二这是一道综合题，根据题目所提供的信息是不难解决问题的，但杲，要注意掌握和运用好题目所给的各个有用信息，否则，问 题就不容易得到解决。P4知识点四.连续应用勾股定理卍7：如图，以等腰三角形AOE的斜边为直角边向外作第2个等腰直角 三角形ABAp再以等腰直角三角形ABA】的斜边为直角边向外作第3个等 腰直角三角形AiBBp,如此作下去，若0 A=OB=1,则第口个等腰直角三弟形的酝积冷=1）題意分析；本题若查利用勾股定理进行归纳推理“2

14、）解題思路先在取AAB0中，由OA=OB = 1求出AB= 72 .再在RtAAB A中，由AB = A Aj=求出A】B=2, 5再分别求出AOBs AABAis AAiBBis的面积，从中发现规律，猜想出结论。2?£RtAAB0 中，由ZA0B = 9D°, OA=OB = 1,可求出 AB=血，S丄"2aob=2 xlxi= 2 =24；在現ABA】中，由 Z 知 AB=90°, AB=AA】=172 ,可求出 A】B=2, S2=2x2=1 = 2°；在中，由 N2AiBBi=90°, AiB=BBi=2,可求出 AiBi=2

15、旋，S3=2 x2x 2=2=2、在 RjAAj B2Bi 中，由 ZB2AiBi=90*, AiB1=A1B2= 22,可 2求出 Bi &2=4j S4= 2x22 x 2 V2 =4=22； »由此可以猜想 Sw=2?!-2 4-'解题后69思苇；类比归纳法是两种或两种以上在某些关系上表现相似 的对象迸行对比，作出归纳判断的一种科学研究方法。在中考数学中考查 类比归纳法，旨在引导学生通过对知识的类比和归纳，把知识由点连成线， 由线织成网，使知识有序化、系统化，从而使学生掌握知识內在的规律。* 磊习导学下一讲範们将讲解四边形的应用，本讲內容是中考重点之一，如特殊

16、四边形（平行四边形、矩形、畫形、正污形、等屢梯形）的性质和判定， 以及运用这些知识解决实际间题。中考中常以选择题、壊空题、解答题和 证明题锌彫式呈现，近年的中考中又出现了开敢题、应用题、阅读理解题、 学科间综合题、动点问题、折蛊问题等，这些都是热点题型，应引起同学 们高度关注。2 同步练习（答题吋间：刃分钟）屮X选择题存1如图，每个小正方形的边长为1,9 C是小正方形的顶点，则艺A. 90°D. 3叫2.如图所示，H、B、C分别表示三个村庄,AB=1000米,BC=600米,AC=800米，在社会主义新农村建设中，为了丰富群众生活，拟建一个文 化活动中心，要求这三个村庄到活动中心的距

17、离相等，则活动中心P处的位萱应在（）亠A. AB中点处C. AC中点处B. BC中点处 *DZC的平分线与AB的交点处Q3. 如图，长方体的长为15,宽为10,高为2山点£到点U的距离为5, 只蚂掠如果要沿着长方体的表面就点月爬到点E,需要爬行的最愆距韶 是（八A. 521B. 25C. 105 + 5 D. 30填空题J4. 某楼梯的侧面视图如图所示，其中AB = 4米，ABAC = 3 ,ZC二乡0°,因某种活动要求铺设红色地毯，则在AF段楼梯所铺地毯的长度应为O卩5. 已知取AABC的周长是4 + 4柘，斜边上的中线长是2,则5磁=6. 如團 长方体的底面辺长分别为l

18、cm和3cm,高为6ctm如果用一根 细线从点/开始经过4个侧面缠绕一圈到达点.&那么所用细线最短需要 cm；如果从点卫开始经过4个侧面龜绕疋圈到达点R那么所用细线最短 需 Cilla Pfl4 3cm7. 图甲是我国古代着名的“赵爽弦图"的示意图，它是由四个全等的直角三角形围威的。在RtAABC中，若直角辺AC=6, BC=6,将四个直角三 角形中边长为6的直角辺分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学惋车笃 则这个风车的外围周长（图乙中的实线）是B图乙p8. 如图，学校有一块长方形花圃,有极少馥人为了避开拐角走“捷径3在花圃內走出了一条“路3他们仅仅少走了步路（假设2歩为1米），却踩伤了花草.心29. 如图所示的圆柱体中底面园的半径是匚，高为2,若一只小虫从4点 出发沿着鬲柱体的侧血爬行到C点，则小虫爬行的最短路程是（结 果保留根号）。d三、解答题d10. 如图，如行是公路J (?为东西走向)两旁的两个村庄，卫村到公路? 的距离AC=lkm, B村到公路?的距离ED=2km, F村在卫村的南偏东4亍 方向上。4(1) 求出儿疗两村之间的距离；则(2) 为方便村民出行，计划衽公路边新建一个公共汽车