勾股定理16种证明方法

1、勾股定理的证明【证法1】（课本的证明）做8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b,斜边长为c,再做三个边长分别为a、b、c的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形.从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等.即2 2 1 2 1a2 b2 4 ab 二c2 4 ab22， 整理得【证法2】（邹元治证明）a2=c2以a、b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积ab等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状， 使A E、B三点在一条直线上，B、F、C三点在一条直线上，C G D三点在一条直线上.v Rt HAE 坐 Rt EBF, /

2、 AHE = / BEFv / AEH + / AHE = 90o, / AEH + / BEF = 90o. / HEF = 180o 90o= 90o.四边形EFGH是一个边长为c的 正方形.它的面积等于c2.v Rt GDH坐 Rt HAE,D b G a Cac cbFaBv / HGD + / GHD = 98, / EHA + / GHD = 98. 又v / GHE = 90o, / DHA = 90o+ 90o= 180o.2 ABCD是一个边长为a + b的正方形，它的面积等于（a + b）.a b 2 =4 -ab c22【证法3】（赵爽证明） 以a、b为直角边（b>

3、a）,a2 b2以c为斜a2b2二 c2边作四个全等的直角三角形，则每个直角1ab三角形的面积等于2.把这四个直角三角形拼成如图所示形状v Rt DAH坐 Rt ABE, / HDA = / EABv / HAD + / HAD = 90o, / EAB + / HAD = 900, ABCD是一个边长为c的正方形，它的面积等于c2.v EF = FG =GH =HE = b a ,/ HEF = 900.2 EFGH是一个边长为ba的正方形，它的面积等于（b-a）.1 2 24 疋一ab + （b a f = c2 2【证法4】（1876年美国总统Garfield证明）以a、b为直角边，以c

4、为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2ab把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使B三点在一条直线上v Rt EAD 坐 Rt CBE, / ADE = / BECv / AED + / ADE = 90o, / AED + / BEC = 90o. / DEC = 180o 90o= 90o. DEC是 一个等腰直角三角形,A Eca1 c 它的面积等于2又 v / DAE = 90o, / EBC = 90o, AD/ BC ABCD是 一个直角梯形，它的面积等于1 1 12(a+b32ab*c2 a2 +b2 = c2.【证法5】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设

5、它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为c.把它 们拼成如图那样的一个多边形，使 D E、F在一条直线上.过C作AC的延长线交DF于 点P八、v D、E、F在一条直线上，且Rt GEF幻Rt EBD,v / EGF + / GEF = 90°, / BED + / GEF = 90°, / BEG =18(090o= 90o.G个边长为c的正方形./ AB = BE = EG = GA = c , ABEG是 / ABC + / CBE = 900. Rt ABC 刍 Rt EBD,a bH a / ABC = / EBD / EBD + / CBE = 900.即 /

6、CBD= 9(0.又 v / BDE = 900,/ BCP = 900,BC = BD = a . BDPC是一个边长为a的正方形. 同理，HPFG是一个边长为b的正方形. 设多边形GHCB的面积为S,则2 2 1a b = S 2 ab,2c2 二 S 21 ab2a2 b2=c2，斜边长为 C三点在一条ccacPbbajT、【证法6】(项明达证明)做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (b>a)c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、直线上.过点Q作QP/ BC交AC于点P. 过点B作BML PQ垂足为M；再过点 F作FNL PQ垂

7、足为Nv / BCA = 900 , QP/ BC / MPC = 900 ,v BM 丄 PQ / BMP = 900 , BCPM是一个矩形，即/ MBC = 9v / QBM + / MBA = / QBA = 900 ,/ ABC + / MBA = / MBC = 900 , / QBM = / ABC又 v / BMP = 900 , / BCA = 900 , BQ = BA = c , Rt BMQ坐 Rt BCA 同理可证Rt QNF坐Rt AEF从而将问题转化为【证法4】（梅文鼎证明）.【证法7】（欧几里得证明）做三个边长分别为a、b、在一条直线上，连结BF CD 过 C作

8、 CL± DE交AB于点M交DE于点L.v AF = AC , AB = AD,/FAB = / GAD FAB 坐 GAD1av FAB的面积等于2 GAD勺面积等于矩形ADLM 的面积的一半，矩形ADLM勺面积二a同理可证，矩形MLEE的面积的正方形，把它们拼成如图所示形状，使H C B三点cv正方形ADEB勺面积=矩形ADLM勺面积+矩形MLEB勺面积 c2=a2+b2，即 a2+b2=c2.【证法8】（利用相似三角形性质证明）如图，在Rt ABC中，设直角边点C作CDL AB垂足是D在 ADC和 ACB中,v / ADC = / ACB = 90o,/ CAD = / BAC

9、 ADCs AACBAD： AC = AC : AB,即 AC2 = AD AB.同理可证， CDBs ACBAC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c,过从而有 BC BD *AB2 = c2 AC2 BC2 二 AD DB AB 二 AB2 ，即 a2 b【证法9（杨作玫证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形 于F, AF交DT于R.过B作BP! AF,E, DE交 AF于 Hv / BAD = 90o,Z PAC = 90o, / DAH = / BAC又 v / DHA = 90o,Z BCA =AD = AB

10、 = c ,a、b （b>a）,斜边长为c.过A作AF丄AC AF交GT 垂足为P.过D作DE与CB的延长线垂直，垂足为 Rt DHA坐 Rt BCA DH = BC = a , AH = AC = b.由作法可知，PBCA是一个矩形，所以 Rt APB 坐 Rt BCA 即 PB = CA = b , AP= a,从而 PH = b a.v Rt DGT 坐 Rt BCA ,Rt DHA坐 Rt BCA Rt DGT坐 Rt DHA. DH = DG = a，/ GDT = / HDA.又 v / DGT = 90o,Z DHF = 90o,/ GDH = / GDT + / TDH

11、= / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TF丄AF, TF = GT GF = b a . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=b-a,下底BP= b,高FP=a + (b a) 用数字表示面积的编号(如图)，则以c为边长的正方形的面积为2C S1 S2 S3 S4 S5S8S3 S4A2 b亠b - aa亠b -a 1b2 - 1 ab2 ,S3 S4 =b2 fab S8b2 - Si - Sg把代入，得c2 二 S S2 b2 - 3 - S8 & S9 =b2 +S2 0 = b2 +a2a2 b2二 c2面积的

12、编号（如图）.v / TBE =/ ABH =90o, / TBH =/ ABE又v / BTH =/ BEA =90o,BT = BE=b , Rt HBT 坐 Rt ABEBb28D613MFE45c/ BHT = 90o,q【证法10】（李锐证明）设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（b>a），斜边的长为c.做三个边长分别为a、 b、c的正方形，把它们拼成如图所示形状，使A、E、G三点在一条直线上.用数字表示 HT = AE = a . GH = GT HT = b a. 又 v / GHF + / BHT = 90o,/ DBC + / BHT = / TBH +v DB =

13、EB ED = b a,/ HGF = / BDC = 90o, Rt HGF坐 Rt BDC 即 3 = S2.过 Q作 QML AG 垂足是 M 由/BAQ = / BEA = 90o,可知 / ABE =/ QAM 而 AB = AQ = c，所以 Rt ABE 幻 Rt QAM.又 Rt HBT 幻Rt ABE 所以 Rt HBT 幻 Rt QAM.即 S厂 S5.由 Rt ABE 坐 Rt QAM 又得 QM = AE = a，/ AQM = / BAE/ AQM + / FQM = 90o,Z BAE + / CAR = 90o,Z AQM = / BAE / FQM = / CA

14、R又 v / QMF = / ARC = 90o, QM = AR = a, Rt QMF坐 Rt ARC 即 S4 = & .S7=S S2 S3 S4 S5=S2= S5S4a2 = S1S6b2 = S3S7S82 2a b S1 S6 S3 S7 S8=Si S4 S3 S2 S52=c即 a2 +b2 =c2.【证法11】（利用切割线定理证明）在Rt ABC中，设直角边 BC = a，AC = b，斜边AB = c.如图，以B为圆心a为半 径作圆，交AB及AB的延长线分别于 D E,贝S BD = BE = BC = a .因为/ BCA = 90o, 点C在。B上，所以AC

15、M© B的切线.由切割线定理，得AC2 =AE *AD=AB BE AB - BD即b2 . a2=c a c -a22二 c -a22=c - a.22+ b = cCED A【证法12】（利用多列米定理证明）在Rt ABC中，设直角边 BC= a, AC= b,斜边AB = c （如图）.过点A作AD/ CB 过点B作BD/CA则ACBE为矩形，矩形ACBD内接于一个圆.根据多列米定理，圆内接 四边形对角线的乘积等于两对边乘积之和，有ABDC 二 ADBC ACBD ,AB = DC = c , AD = BC = a ,aAC = BD = b ,AB2 =BC2 +AC2，即

16、 c2 =a2+b2 , a2 +b2 = c2.【证法13】（作直角三角形的内切圆证明）AB = c.作Rt ABC的内切圆O O,在Rt ABC中，设直角边 BC = a , AC = b，斜边 切点分别为D E、F （如图），设。O的半径为r.v AE = AF , BF = BD, CD = CEAC BCAB 二 AE CE 亠BD CD AF BF=CE cd = r + r = 2r,a b -c = 2ra b = 2r c.a b $ = 2r c 2,a2 b2 2ab = 4 r2 rc cS ABC =2ab2ab = 4S ABC ,-br - a b c r 2=2

17、1cr2S.ABC = S.AOB ' S BOC ' S.AOC12r c c r=2 =. 2.4 r rc - 4S ABC.4 r2 rc 二 2ab >a2 b2 2ab =2ab c2【证法14】（利用反证法证明） 如图，在Rt ABC中，设直角边点C作CDL AB垂足是D假设a2+b2式c2 ,即假设 AC2+BC2式AB2 ,则由AB2 =AB *AB = AB AD BD = AB *AD AB * BD又2r rca2 b2 二 c2AC BC的长度分别为a、b,斜边AB的长为c ,过可知 AC2 式 ABAD,或者 BC2 式 ABBD.即 AD：

18、AO AC AB 或者 BD： BO BC AB在厶ADC和 ACB中 ,v / A = / A,.若 AD: AO AC AB,贝S / AD字/ ACB在厶CDB和 ACB中 ,v / B = / B,.若 BD BO BC AB,则/ CDBZ ACB又 / ACB = 90o,AC2 BC2 = AB2的假设不能成立. / AD字90o,Z CD字90o.这与作法CDLAB矛盾.所以,r i:aabq2 abb2abab【证法15】(辛卜松证明)a_b一 a a2+b2=c2Bba C设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的长为c.作边长是a+b的正方形ABCD 把正方形ABCD划分成上方左图所示的几个部分，则正方形ABCD的面积为 (a +b 2 =a2 +b2 +2ab ；把正方形ABCD划分成上方右图所示的几个部分，贝卩正方形 ABCD勺 2 1 2(a +b f = 4汉一ab +c22面积为2= 2ab c . a2 b22ab=2ab ' c2, a2+b2=c2【证法16】（陈杰证明）E、Bc5bACGfl23baa7E b D H a M4Fa、H、M三点在一条直线上.用数字表设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（b>a），斜边的长为c.做两个边长分别为 b的正方形（b>a）,把它们拼成如图所示形状，使 示面积的编号（