专题05函数的单调性与最值-2018年高考数学(文)热点题型和提分秘籍

1、专間砧函数的单调性与最值 【高频考点 解读】 1 “理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义 2 “会运用基本初等函数的图象分析函数的性质 执占 八、八、 题型】 热点题型一 函数单调性的判定与证明 1 例 1、 2017 北京，文 5】已知函数 f(x)=3x-(3)X，贝 V f(x) (A) 是偶函数，且在 R 上是增函数 (B) 是奇函数，且在 R 上是增函数 (C) 是偶函数，且在 R 上是减函数 (D) 是奇函数，且在 R 上是增函数 【答案】B 【解析】= = Q J-31 所以该国数是奇函数并且二护是増函 数，是;JW数，根据增圏数-減函数苯函数，可知该函数是增函数，故选

2、【提分秘籍】判断(或证明)函数单调性的主要方法 (1) 函数单调性的定义； (2) 观察函数的图象； (3) 利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则； (4) 利用导数等。 其中(3) 般用于选择、填空题。 X 一 1 _L 1 厂 1 、 【解析】设1 v Xi v X2 v 1, f (x) = a = a 1 + X 一 1 X 一 1 丿 f(X1) ) f(X2) )= a 1 + X；7 a 1 + 吕 二 J 由于一 1K1 W-K0*故当 QQ 时山罚危2) )b即加订沁I函数在LlnD 上递獄 当时，尢j)血)6 3丈Yh 由一元二次IS数圈象可知血)的递减区间是

3、(-亠-小 递堀区间打(一 1)Q 热点题型三函数单调性的应用 例 3.(1)已知函数f(x)的图象向左平移 1 个单位后关于y轴对称，当X2X1 1 时，f(X2)f(x” (X2 x v 0 恒成立，设 a= f i 2 , b= f(2) , c = f (3)，贝U a, b, c 的大小关系为( ) A. cab B. cba C. acbD. ba c 为 _ 。 【答案】(1) D (2) x|0 v xv 3 或 1 v xv 31,2和(3 ,+)上为增函数，故 f(x)的增区间 定义在 R 上的奇函数y= f(x)在(0,+s)上递增, / 、 1 且f |2 = 0，则满

4、足f (log 9 X) 0 的X的集合 得函数y = |x2 4x + 3|的图象，如图所示。 【解析】(1)由于函数f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y轴对称，故函数y = f(x)的图 象本身关于直线 x= 1 对称，所以a=f j-1 = f j5。当X2 xi 1 时，f(X2) f (xi)( X2-xi) v 0 恒成立， 等价于函数f(x)在(1 ,+R)上单调递减，所以 b a c。故选 Do (2)由奇函数y = f (x)在(0 ,+s)上递增，且f i2 = o,得函数y = f (x)在(一8, 0)上递增，且f 2 1 1 1 - _ 1 1 _

5、1 =0o由f (log 9 x) 0，得 log 9 x 2 或一 2V log 9 xv 0，解得 Ov xv云或 1 v xv 3.所以满足条件的x的取 2 2 3 1 值集合为x|0 v xv -或 1 vxv 3 o 3 【提分秘籍】 1“含 f 不等式的解法 首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x) f ( h(x)的形式，然后根据函数的单调性去掉 f ，转 化为具体的不等式(组)，此时要注意g(x)与h(x)的取值应在外层函数的定义域内。 2 “比较函数值大小的思路 比较函数值的大小时， 若自变量的值不在同一个单调区间内， 要利用其函数性质，转化到同一个单调区 间上进行比较

6、，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解。 3 “求参数的值或取值范围的思路 根据其单调性直接构建参数满足的方程 (组)(不等式(组)或先得到其图象的升降，再结合图象求解。 【举一反三】 X 5 函数y = 一一2在(1,+m)上单调递增，则 a的取值范围是( ) x a 2 A. a= 3 B av 3 C. aw 3 D . a一 3 【答案】C 解析尸錚产1+吕厂 由函数在(一1, +)上单调递詹 W _ _ 解得恋九故选 热点题型四函数的单调性与最值 例 4、已知定义在区间(0,+)上的函数f(x)满足f -f(X2)，且当 x 1 时，f (x) v 0。 込2丿 (1) 求

7、f(1)的值； (2) 判断f (x)的单调性； (3) 若f(3) =- 1,求f(x)在2,9上的最小值。 【解析】(1)令Xi = X20, 代入得贞1尸贞助)-兀叭=0,故甩=叽 (2只壬取r* +眄, 且 XLX1； 宙于当工1时皿)为所収危卜。即兀-夬* 因此用】)0 恒成立，试求实数 a的取值范围。 【解析】 当a=2 时，f(x) = x+ 2X+ 2，联想到g(x) = x+X的单调性，猜想到求 f(x)的最值可先证 明f(x)的单调性.任取 K xivX2, / K XiV X2,. xiX2 i,. 2XIX21 0。 又 Xi X2V 0，二 f(Xi) V f(X2)

8、, “妙在4上是増圄数, 1,十罚上的最小值为用)=齐 莊区间卩，十上, XI恒成立, T，+ 2x 等价干心大于函數廡旳二一 + M 在1, +00)1的最大值:. 只需求働址)=-(+肚诳卩+呵上的最大值。 矶JC) )二一仪+ 1尸+1在1+00) )上递;喊, 二当工二1时，於膿大值为卩(1尸一九 -3；故实数口的取值范围是(T, +补 【高考风 i 【20i7 北京，文 5】已知函数 f(x) =3X -( )x，贝 V f (X) 是偶函数标在l 则 f (Xi) f(X2)= (Xi- X2)+ 2xi 2x2 Xi X2 XiX2 2xiX2 ， (A) 上是增函数 2 (B)

9、 是奇函数，且在 R 上是增函数 (C) 是偶函数，且在 R 上是减函数 (D) 是奇函数，且在 R 上是增函数 判断正确的是( ) I |和均为真命题 I、为真命题，为假命题 和均为假命题 |汀|、为假命题，为真命题 【答案】B 【2017 课标 II，文 8】函数f(x) =1 n(x2 -2x-8)的单调递增区间是 A. （Y, _2）B. （Y，, _1） C. （1, ：） D. （4,二） 【答案】D 【解析】函数有意义，则： x2 -2x-8 0，解得：x ： -2 或 x 4，结合二次函数的单调性、对 数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为 4, :.故选

10、 D. 1. 【2016 高考北京文数】已知川(2d),出4.1),若点 P(x, V)在线段AB 上,则 2 丫一丁的最大值为() A.-1 B.3 C.7 D.8 【答案】C 【解析】由题意得，AB： -1 二 (T-4)； T =-2PY + 9 , 2-4 + = 4.丫一 9 兰 44-9 = 7，当工=4 时等号成立，即 2x-y 的最大值为 7,故 选 C. (-1,1)上为减函数的是( D. y = 2 T 【答案】D 【解析】由/ = 2x = (|)-T在|R 上单调递减可知 D 符合题意，故选 D. 3.【2016 高考上海文科】设广(斗)、莒(工)、*(卞)是定义域为

11、R 的三个函数，对于命题：若+ 、 +拭对、+ h(町均为增函数，则 (力、加电中至少有一个增函数； 若/(x) + g(x)、 /巧+执町、琴(旧+恥 0 均是以 T 为周期的函数，则 y(x)、g(x)、|乩)均是以丁为周期的函数，下列 【解I 13丿 y =3x是增函数, 3x 是减函数，根据增函数 -减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选 B. 2.【2016 高考北京文数】下列函数中，在区间 所以该函数是奇函数，并且 【答案】（1） x|0cx0, 若对任意|z E-J,函数八对在区间卩畀+】|上的最大值与最小值的差不超过 1,求口的 取值范围 【答案】D 1 才3门念灯）十区丹川

12、十【危十C3巧匕典十巧站円叫又川羽+以力、职对+心）、 曲卄畑均杲以 T 为周朋的函臥所以巧【丿3松朗+冈专冷片展心1处, 所以/x）杲周期为T的的数、同理可得直 S、城M均罡以T対周期的函数j正确j増的数抑减函 数也可能为增函数，因此不正确 选 D. 【答案】2 【解析】m=i+! 2）的最（口 在 R 上单调递减，且 关于 x的方程 | fx） |= 2 -恰有两个不相等的实数解，则 的取值范围是 （1）当凸=1 时，解不等式f（x） 1； (2)若 关于工的方程） + b 朝（F）= 的解集中恰有一个元素，求 的值; 对于任意不相等的实数 X1, X2,都有 m 0； 对于任意的a及任意

13、不相等的实数 X1, X2，都有n 0；【解(2) logJ-+aj-hlog:(jc1 = (有且仅育一解. f 1 、 等价于-+臼x=l且仅有一解等价于 + x-l=O有且仅有一解. 匕 J 当灯=0R寸,A = 1,符合题意; 当朴圭0B寸2i = l + 4i3 = 07 a =. 4 f L fl logo - a 乜丿 E 丿 所以/闵在(Q他)上单调递;血 函数几刃在区间灯+1上的最大值与最小值分别为fg fit +1). /(/)-/(/ + 0 = logJ y + dj-log ,丰町兰 1 即肿+(口+1“_1 ，对任意/ 成立. 7 K-I 因为u0，所以函数y =

14、ar + 在区间 ， 由 3 1 ， 得 2 t0 4 7 3 故“的取值范围为 1. 【2015 高考四川，文 15】已知函数f(x)= 2x, g(x) = x2 + ax(其中a R).对于不相等的实数 X1, X2, /(斗)-几$) ，现有如下命题: (1)由 解得 : 所以 时，“有最小值 亍】上单调递增, 对于任意的 a,存在不相等的实数 xi, X2,使得 m= n; 对于任意的 a,存在不相等的实数 xi, X2，使得 m=- n. 其中真命题有 _ (写出所有真命题的序号 ). 【答案】 【解析】对于。因为厂凶=讹0恒成立故正确 对于P取即威工)=九一&当m巳0，恒

15、成立、 即肌功是单谓逸増国数, 当 L + 0 时AfrH + “ 当 L-8 时j ft( (XL一 8 因此对任肓的存在丿二吃与函数凰均有交点恵)正确 * 1 + /? 2. - 【2015 高考陕西，文 10 】设 f(x) = InxO a b ，若 p = f(iuh)，q = / ( - ) 7 =1( /()+/(b)，则下列关系式中正确的是( ) A. ： 一.： .、.“ B？尸 C.广八:： D. “一.：“ “： x2x f4cib) 所以 n “，故答案选C 因为 + A , a-b )=In - 2 2 a + h ；r = y( 1 . x 【答案】S晶-&

16、 2 【解析】/（-2） = （-2 尸=4,所以 f /(-2) = /(4 = 4 + -6 = -y “当斗益 1 时，.f（X）乏 1 ；当X 1 时，八工工2屈-&，当 才=,A = b 时取到等号因为?76-6当应=0时，Jg = ,显然杲苛幽数; X 当帀工。时，/二口十 1, /（1）/（-1）af（i）+/（-1）o. 所以此时丁 3）是非奇非偶函数. (2) 贝”00 一 二但珂一花X珂+帀）十1二 3 一 +切一 因为码 无2 E1,2；所i次坷一帀丈0, 2 xi + X| 4, 4 ? 所以小即g 5 烷、 故函数/（刃在12上单调递増 1.（2014 “北京

17、卷）下列函数中，定义域是 R 且为增函数的是（ ） x 3 A. y = e B . y = x C. y = In x D . y = | x|所以2瓷。（再亠乞、- 4 0 【答案】B【解析】由定义域为 R,排除选项 C,由函数单调递增，排除选项 A, D. 2. (2014 “湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间 (一R, 0)上单调递增的是( ) A. f(x) = X B . f(x) = x2+ 1 C. f (x) = x D . f(x) = 2 一 【答案】A【解析】由偶函数的定义，可以排除 C, D,又根据单调性，可得 B 不对. 3. (2014 “江苏卷)已知函数 f

18、 (x) = ex+ e，其中 e 是自然对数的底数. (1) 证明：f(x)是 R 上的偶函数. (2) 若关于x的不等式mf x) w e_x+ m- 1 在(0,+)上恒成立，求实数 m的取值范围. (3) 已知正数a满足：存在xo 1 ,+)，使得f(xo)1;所以血-丄f；】 = - 冷 - 計壬倉成立. 当且仅当卩=2即*二血2时等号成立. 0馳擞 妙V+占一城一护+却 则疋0) =/_+3心_环 当 N 时出一务毕- 又故疋 眇心所以兵0是山十向上的单调通増宦埶 因此 在1 ,+s)上的最小值是 g(1) = e + e 1 2a. 由于存在x 1 ,+)，使 ex0 + e x

19、 a( x0+ 3 x)0 成立， 当且仅当最小值 g(1)0 , 1 丄 J 1 口 rr e + e 故 e + e 2a . e 1 令函数 h(x) = x (e 1)ln x 1,贝U h(x) = 1 - .令 h(x) = 0,得 x= e 1. x 因初1 +1=3,所以一 宀丙1 因此实数机 当x (0 , e 1)时，h(x)0,故h(x)是(e 1,+)上的单调递增函数. 所以h(x)在(0,+)上的最小值是 h(e 1). 注意到 h(1) = h(e) = 0，所以当 x (1 , e 1) ? (0 , e 1)时，h(e 1) h(x)h(1) = 0； 当 x

20、(e 1, e)? (e 1, +)时， h( x) h(e) = 0. 所以h(x)0 对任意的x (1 , e)成立. 即 a 1(e 1)ln a,从而 ea 1 h(e) = 0, 即卩 a 1(e 1)ln a,故 ea 1ae 1 ea1ae1 4. (2014 “四川卷)以 A表示值域为 R 的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数 $ (x)组成的集 合：对于函数 $ (x)，存在一个正数 M使得函数$ (x)的值域包含于区间M, M .例如，当$ 1( x) = x3, $ 2(x) = sin x 时，$ !(x) A, $ 2(x) B.现有如下命题： 设函数f(x)的

21、定义域为D,贝 U f(x) A的充要条件是 ？ b R, ? a D, f(a) = b； 若函数f(x) B,则f(x)有最大值和最小值； 若函数 f(x) , g(x)的定义域相同，且 f(x) A, g(x) B,则 f (x) + g(x) / B； x 若函数 f(x) = aln(X + 2) + -2T(x 2, a R)有最大值，则 f (x) B x十 I 其中的真命题有 _ .(写出所有真命题的序号) 【答案】 【解析】若f(x) A,则函数f(x)的值域为R,于是，对任意的 b R, 定存在a D,使得f(a)= 4 故正确. e)时，h( a)0 , U数其值域为(1

22、l)i于是,存在庐X使得函数JW的值1姻含于- 赵jwi=-b i, toitm数JWS有最大值和最小值，故筍気 当捋)丿时由可短和壬青的&匸乩存在艇乩便得夬町二乩所I儿当曲芳时，对于 團数他+的，如果存在一个正数弼使得用)+希的值域包合于-M Mb刃吆对于该区间外的某 个加他一定存在一个快得用)十人胡二由Q-g(即)，即A)+M- V；码 故正 Y 对于兀0二皿t+2)+齐7( (Q-%当Q0或3-幼易知的E- ,所次存在正数 梗得血 -胚闾故正确 5. (2014 “四川卷)已知函数 f(x) = ex-ax2 bx 1，其中a, b R, e= 2.718 28为自然对数的底 数

23、. (1) 设g(x)是函数f (x)的导函数，求函数 g( x)在区间0 , 1上的最小值； (2) 若f(1) = 0,函数f(x)在区间(0, 1)内有零点，证明：e 2v av 1. 【解析】(1)由 f (x) = ex ax2 bx 1,得 g(x) = f (x) = ex 2ax b,所以 g(x) = ex 2a. 当 x 0 , 1时，g(x) 1 2a, e 2a. 1 当aw 时，g(x) 0,所以g(x)在0 , 1上单调递增， 因此g(x)在0 , 1上的最小值是 g(0) = 1 b; 当aI时，g(x) w0,所以g(x)在0 , 1上单调递减， 因此巩町在1的

24、最小值是戌灯勿 令妣二 4 得E1(域凯1)? 所以函数g(Q在区间0,迥加)单调递减，在区间(lupki), 1上单调通增, 干是朮)在4 I上的最小值是旳观2珂尸加-加叫迥-h 综上所述 当 却寸，於)在山11上的最小值是曲)二1-釧 訊刃在0； I上的最小值是 飘)二加-2血2毋一枷 当嚼寸，炎)在仙1上的最小值是威D=E-加債 正明：设加为用诳区间(0, 1)内的一个零点，则由介尸涣町=0可孙 斥)在区间【0,对上不可育懑碉递增，也不可能单调递握. 则帆诃可能恒为正也不可能恒为员“ 故的在区间(山砂内存在雾点轧 同理g(x)在区间(Xo, 1)内存在零点X2.故g(x)在区间(0 ,

25、1)内至少有两个零点. 由知，当aw2 时，g(x)在0 , 1上单调递增，故g(x)在(0 , 1)内至多有一个零点； 当a号时，g(x)在o, 1上单调递减，故g(x)在(o, 1)内至多有一个零点，都不合题意. 所以 1 a 0，g(1) = e- 2a b0. 由 f(1)= 0 有 a+ b= e 10，g(1) = 1 a0. 解得 e 2 a 1. 所以，函数f (x)在区间(0，1)内有零点时，e 2a 1. 【高考冲 朿口 0 , 即 x3 ,又 00.50 , 二f (x)在(3 , +8)上单调递减. 2 、 , _ 4.若f (x) = x + 2( a 1)x + 2

26、 在区间(一8 , 4)上是减函数, 则实数 a的取值范围是( A. a 3 D. a- 3 【解析】 对称轴 x = 1 a4,. aw 3. 5. A. (0,1) B. (0,1) U (1 , 2) C. (1 , .2) D. 2 , +8) 【解析】当a1 且x2 ax+1 有最小值时，f(x)才有最小值 log a宁 , a1, ? 1a. 2. 0 6. 若存在正数x使 2x(x a)x乞成立，所以a x 2 min，而函数f(x) = x在(0，+m) 上是增函数，所以f(x)f(O) = 1,所以a 1,故选 D. 7. 若函数y = log a(x2+ 2x 3)，当x=

27、 2 时，y0,则此函数的单调递减区间是 ( ) A. ( a, 3) B. (1 ,+) C. ( a, 1) D. ( 1，+m) 【答案】A 【解析】当x=2时，尸1。汰却2-2-3)=1嗫6 由复合函数单调曲山 30；j 单;咸区间需满足“ 一 解之得 &已知函数f(x)的图象向右平移 a(a0)个单位后关于直线 x= a+ 1 对称，当X2x1 时，f(X2) f(x( X2 X1)ab B. cba C. acb D. bac 【答案】D f (x)的图象向右平移a( a0)个单位后关于直线 x = a+ 1对称，知f (x)的图象关于直线 2 = f 2 .由 X2X11

28、 时，f(X2) f(X1)( X2 X1)ac,故选 D. f X2 f X1 9.下列函数f(x)中，满足对任意 X1, X2 (0，+a)，都有 - 一0的是( ) X2 X1 1 2 C. (0，+m) 【答案】D D. ( 1，+m) 【解析】由函数 x=1 对称.由此可得 (e). A. f(x) = X B. f(x) = (x 1) X C. f (x) = e D. f (x) = ln( x + 1) 【答案】A f X2 f X1 【解析】满足 - 0 其实就是f (X)在(0，+a )上为减函数，故选 A. 关于点(1,0)中心对称，若s, t满足不等式f(s2 2s) w f(2t t2) “则当 1 s 4时，二2S的取值范围 s十t 是( ) 1 1 A. 3, - ) B. 3， - 2 1 1 C 5, 2) D. 5, -2 【答案】D 【解析】“函数f(x 1)的图象关于点(1,0)中心对称，“ f(X)的图象关于点(0,0)中心对称，“ f(X) 为奇函数，f (X) = f( X)，“ f (s2 2s) f(2t t2)? f(s2 2s) t 2t， “ ( s t)( s + t 2) 0，.s t 且 S+ t 2，或 s t 且 s + t 0 【解析】y = |x|在0 ,+)上单调递