从勾股定理说数学思想方法

1、1从勾股定理说数学思想方法从勾股定理说数学思想方法西南大学主讲人：张广祥2 数学思想方法数学思想方法n 第第5讲讲 从勾股定理说起从勾股定理说起3提纲：从勾股定理说起提纲：从勾股定理说起n1 教什么、学什么教什么、学什么?n2 怎样在教学中导入数学探究怎样在教学中导入数学探究n3 从面积测量到勾股定理的发现从面积测量到勾股定理的发现n4 秦九韶公式秦九韶公式n5 希尔伯特多边形剖分定理希尔伯特多边形剖分定理n6 勾股定理的推广勾股定理的推广n7 蝴蝶定理的傻瓜证法蝴蝶定理的傻瓜证法41. 1.教什么教什么? ?学什么学什么? ?高中数学课程标准高中数学课程标准基本理念基本理念3: 3:数学学习

2、不应限于接受、记忆、模仿、数学学习不应限于接受、记忆、模仿、练习练习倡导自主探索、动手实践、合作交流、倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学阅读自学养成独立思考、积极探索的学习习惯养成独立思考、积极探索的学习习惯5新课标的教学要求新课标的教学要求n高中课标高中课标设立设立“数学探究数学探究”、“数学建模数学建模”、“数学阅读数学阅读”等学等学习活动，为学生形成积极主动的、习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式创造有利条件，以多样的学习方式创造有利条件，以激发学生的学习兴趣和创新潜能激发学生的学习兴趣和创新潜能6 未来的教师怎么办？未来的教师怎么办？n通过不同形式的自主学习、探究活动，

3、通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程体验数学发现和创造的历程7这是这是“金牌之路金牌之路”吗？吗？传统应试教育传统应试教育: :学生的练习学生的练习3 3题题1. 1. (x)=(m-1)x(x)=(m-1)x2 2+1-lg(m)x+1+1-lg(m)x+1是偶函数是偶函数, ,求求 (10)(10)、 (-3.1)(-3.1)、 (2)(2)的大小顺序的大小顺序2. 2. (x)=ax(x)=ax2 2+bx+c(a0)+bx+c(a0)对任意对任意x x都有都有 (2-x)= (2-x)= (2+x),(2+x),求不等式求不等式 lg lg (x (x2 2+x+

4、1/2) +x+1/2) lg lg (2x(2x2 2-x+5/8)-x+5/8)8应试教育应试教育: :学生练习题学生练习题n3. 3.函数函数y=1-2a-2a cos x-2 siny=1-2a-2a cos x-2 sin2 2x x的最小值为的最小值为 (a).(a). (1) (1)求求 (a)(a)的表达式的表达式.(2).(2)若若 (a)=1/2,(a)=1/2,求求a, a,并对此并对此a a求求y y的最大值的最大值. .n解解 y=1-2a-2a cos x-2(1-cos y=1-2a-2a cos x-2(1-cos 2 2x) x) =2(cos x- a/2)

5、 =2(cos x- a/2)2 2- (a- (a2 2/2-2a+1 )/2-2a+1 )n注注 题摘自题摘自金牌之路金牌之路高中竞赛辅导高中竞赛辅导92 从勾股定理看：从勾股定理看：怎样在教学中导入探究怎样在教学中导入探究n平凡的定理平凡的定理n直观的问题直观的问题n观察与想象观察与想象n发现与证明发现与证明10陈省身：几何学的最重要定理陈省身：几何学的最重要定理n几何学家陈省身说：几何学家陈省身说：n中学几何中最重要的就是中学几何中最重要的就是“三角形内角和定理三角形内角和定理”与与“勾股定理勾股定理”，其它如，其它如“等腰三角形定理等腰三角形定理”就没有那就没有那么重要了。么重要了。

6、n三角形内角和定理是欧几里得几何的一个基本定理，三角形内角和定理是欧几里得几何的一个基本定理，在非欧几何中它是不对的，这也是欧氏几何与其它几在非欧几何中它是不对的，这也是欧氏几何与其它几何不同的地方；何不同的地方；n勾股定理也重要，这个定理讲的是长度，长度和角度勾股定理也重要，这个定理讲的是长度，长度和角度都很重要。几何是从都很重要。几何是从GEO翻译过来的，就是讲量度。翻译过来的，就是讲量度。n摘自陈省身先生访谈录，数学通报第摘自陈省身先生访谈录，数学通报第44卷卷200511三个不同教学层次三个不同教学层次知道勾股定理知道勾股定理证明勾股定理证明勾股定理发现勾股定理发现勾股定理12知道勾股

7、定理：简单知道勾股定理：简单n知道勾股定理知道勾股定理n定理定理 a2+b2=c213证明勾股定理：不困难证明勾股定理：不困难n最经典的证明最经典的证明1：112214勾股定理证明勾股定理证明2 2n图形最简洁的证明：图形最简洁的证明：nc2=2ab+(b-a)2=a2+b215勾股定理证明勾股定理证明3 3n图形最怪异的证明：图形最怪异的证明：16发现勾股定理发现勾股定理n教学不容忽视的问题：教学不容忽视的问题：n勾股定理再发现勾股定理再发现17被误解的发现被误解的发现n数方格发现勾股定理：数方格发现勾股定理：18被误解的发现被误解的发现n简单的验证并不是真正的发现简单的验证并不是真正的发现

8、n再发现：亲历的体现；亲历的再发现：亲历的体现；亲历的思考思考193从面积测量到勾股定理的发现从面积测量到勾股定理的发现n土地测量导致最初的几何学土地测量导致最初的几何学20一个自然的问题一个自然的问题n土地测量是否可能导致土地测量是否可能导致n勾股定理的发现？勾股定理的发现？21九章算术：面积出入相补九章算术：面积出入相补n数学家怎样看数学家怎样看“面积拼补面积拼补”？22数学家的问题；我对数学家的问题；我对“发现发现”的观点的观点n怎样把两个正方形剖分拼补成为一个正怎样把两个正方形剖分拼补成为一个正方形？方形？n游戏一般的问题：游戏一般的问题：n真正的数学由此产生真正的数学由此产生23赵爽

9、弦图赵爽弦图: :对再发现的启示对再发现的启示n青方、朱方、弦方青方、朱方、弦方24赵爽弦图：提示勾股定理的发现赵爽弦图：提示勾股定理的发现刘徽：出入相补刘徽：出入相补（Hilbert:Hilbert:面积剖分）面积剖分）112225问题是数学发展的动力问题是数学发展的动力n伽罗华（伽罗华（E.Galois 1811-1832E.Galois 1811-1832）说：）说：n最有价值的科学书籍是作者在书中明白最有价值的科学书籍是作者在书中明白指出了他所不明白的东西的那些书指出了他所不明白的东西的那些书. .遗憾遗憾的是的是, ,这还很少被人们所认识这还很少被人们所认识; ;作者由于作者由于掩盖

10、难点掩盖难点, ,大多害了他的读者大多害了他的读者. .26 出入相补出入相补: :刘徽公式刘徽公式 2 2 股股 股弦和股弦和= =股弦和股弦和2 2- -勾勾2 2股弦和股弦和股股弦弦勾勾方方11274 4 秦九韶公式秦九韶公式n秦九韶公式：勾股术的精彩应用秦九韶公式：勾股术的精彩应用 )2(41)(41)2(22222222222bcacagucaahsh股股弦弦cba28秦九韶公式秦九韶公式= =海伦公式海伦公式)2(41)(41)2(22222222222bcacagucaahs)()(cmbmamms)(21cbam29秦九韶公式证明（秦九韶公式证明（1 1）n只要证明只要证明n股

11、股= =abca2222h股股弦弦cba30秦九韶公式证明（秦九韶公式证明（2 2）勾勾2 2= =弦弦2 2- -股股2 2=(b=(b2 2-h-h2 2)-(c)-(c2 2-h-h2 2)=b)=b2 2-c-c2 2. .由刘徽公式由刘徽公式 股股= = = =股弦和勾方股弦和方2acba2)(222h股股弦弦cba31矩形剖分定理矩形剖分定理: :1122ABCD32 5 Hilbert 5 Hilbert多边形剖分定理多边形剖分定理定理定理 两个多边形面积相等则必剖分相等两个多边形面积相等则必剖分相等. .证证 多边形多边形=若干三角形若干三角形=若干矩形若干矩形 = =若干正方

12、形若干正方形=一个正方形一个正方形 （剖分相等）（剖分相等）121233n问题问题1. 1.几何角度几何角度: :如何以面积方式推广勾如何以面积方式推广勾股定理？股定理？n问题问题2. 2.代数角度代数角度: : (a) (a)三角形两边之和大于第三边（三角形两边之和大于第三边（a a b+cb+c）. . (b) (b)直角三角形直角三角形a a2 2+b+b2 2=c=c2 2. . 怎样统一上面两个命题怎样统一上面两个命题? ?6 勾股定理推广勾股定理推广34 勾股定理推广：几何方式勾股定理推广：几何方式n思路思路:1+2=3.:1+2=3.n定义定义 ABCABC的补的补 ADE.AD

13、E.123ABCDE35补三角形外积圆直径补三角形外积圆直径n已知已知 ABCn补补 ADEABCDE36定理定理* *三角形两短边三角形两短边( (交点交点A)A)上正方形面积上正方形面积的和等于补三角形过的和等于补三角形过A A的外接圆直径与最的外接圆直径与最长边所组成的平行四边形的面积长边所组成的平行四边形的面积. .注注 直角三角形的补三角形就是它本身直角三角形的补三角形就是它本身. .37勾股定理推广二：代数方式勾股定理推广二：代数方式n一个自然的问题：一个自然的问题：n勾股定理：三边长的等量关系勾股定理：三边长的等量关系n不等定理：两边之和大于第三边不等定理：两边之和大于第三边n二

14、定理能否统一？二定理能否统一？38勾股定理推广二：代数方式勾股定理推广二：代数方式思路：设三角形三边思路：设三角形三边a a、b b、c c，最长边为，最长边为a a，则，则ab+c.ab+c.直观想法直观想法: 1 + ,: 11t1使使 1=( )1=( )t t+( )+( )t t. . 因而因而a at t=b=bt t+c+ct t. . ababacac39勾股定理推广二：代数方式勾股定理推广二：代数方式( (续续) )n定理定理 三角形三边分别为三角形三边分别为a a、b b、c c，最，最长边为长边为a a，则，则 (1) ab+c(1) a1t1使使a at t=b=bt

15、t+c+ct t (3)(3) ABCABC是锐角、直角、钝角三角形是锐角、直角、钝角三角形当且仅当当且仅当t t 2 2、t=2t=2、t t 2 2（分别）（分别）. .407 蝴蝶定理的傻瓜证法蝴蝶定理的傻瓜证法n蝴蝶定理蝴蝶定理 圆内三条弦圆内三条弦ABAB、CDCD、EFEF交于交于O O，若，若O O平分平分ABAB，则，则O O也平分也平分GHGH（如图）（如图）. .ABCDFEO1234HG41蝴蝶定理蝴蝶定理n蝴蝶定理蝴蝶定理: :一个近代初等几何定理一个近代初等几何定理n大约大约18151815年发现年发现, ,n19441944年年Month.AMSMonth.AMS给

16、了这个美丽字给了这个美丽字n19871987美国美国Math.MagazineMath.Magazine给了给了1515个证明个证明n张景中的面积法张景中的面积法: :真正的傻瓜证法真正的傻瓜证法42蝴蝶定理证明蝴蝶定理证明: :张景中面积法张景中面积法n张景中引张景中引理理: :n共角三角形面积比等于共角夹共角三角形面积比等于共角夹边乘积之比边乘积之比43蝴蝶中的共角三角形蝴蝶中的共角三角形n观察蝴蝶中的共角三角形观察蝴蝶中的共角三角形1 1、2 2、3 3、4 4ABCDFEO1234HG44蝴蝶定理证明蝴蝶定理证明n证证 由正弦定理由正弦定理(s=ab sinab)(s=ab sinab

17、)共角三角形面积比共角三角形面积比等于夹边乘积之比等于夹边乘积之比. .如图四个三角形面积比之如图四个三角形面积比之积积 =1=1 =1 =1 整理得整理得GO=HO.GO=HO.14324321SSSSSSSSDODGFOFHHOCOGODOEOEGCOCHFOHOEOGO45发现与探究是数学课程的主要目标发现与探究是数学课程的主要目标n2020年来数学课程处于狂热的应试教育状年来数学课程处于狂热的应试教育状态态, ,愈演愈烈愈演愈烈n数学科学是人类理性的高度体现数学科学是人类理性的高度体现46数学中的理性数学中的理性n数学家数学家C.G.C.G.雅可比说：雅可比说：n科学的唯一目的是为了人

18、类心智的荣耀科学的唯一目的是为了人类心智的荣耀, ,n一个关于数的问题与一个关于宇宙的问一个关于数的问题与一个关于宇宙的问题有同样的意义题有同样的意义n我们的期望：我们的期望：n数学中充满问题和奥妙需要人们付出的数学中充满问题和奥妙需要人们付出的是冷静与思考是冷静与思考47复习思考题复习思考题n1. 1. 观察以下图形证明勾股定理观察以下图形证明勾股定理. .48复习思考题复习思考题n2. 2. 把边长是整数的直角三角形三边把边长是整数的直角三角形三边长称为勾股数长称为勾股数,(3,4,5),(3,4,5)是是勾股数勾股数. .n有趣的是有趣的是: :勾股数勾股数(a,b,c)(a,b,c)中至少有一中至少有一个是个是3 3的倍数的倍数; ;至少有一个是