单因素方差分析完整实例

1、什么是单因素方差分析令獗采学单因素方差分析是指对单因素试验结果进行分析，检验因素对试 验结果有无显著性影响的方法。单因素方差分析是两个样本平均数比较的引伸，它是用来检 验多个平均数之间的差异，从而确定因素对试验结果有无显著性 影响的一种统计方法。单因素方差分析相关概念因素：影响研究对象的某一指标、变量。水平：因素变化的各种状态或因素变化所分的等级或组另I。单因素试验：考虑的因素只有一个的试验叫单因素试验。单因素方差分析示例1例如，将抗生素注入人体会产生抗生素与血浆蛋白质结合的 现象，以致减少了药效。下表列出了5种常用的抗生素注入到牛 的体内时，抗生素与血浆蛋白质结合的百分比。现需要在显著性水平

2、a = 0.05下检验这些百分比的均值有无显著的差异。设各总 体服从正态分布，且方差相同。青四链红氯霉环霉霉9索素索素素29.627.35.821.629.224.332.66.217.432.828.30.11.18.25.5803032.034.88.319.024.2在这里，试验的指标是抗生素与血浆蛋白质结合的百分比， 抗生素为因素，不同的5种抗生素就是这个因素的五个不同的水 平。假定除抗生素这一因素外，其余的一切条件都相同。这就是 单因素试验。试验的目的是要考察这些抗生素与血浆蛋白质结合 的百分比的均值有无显著的差异。即考察抗生素这一因素对这些 百分比有无显著影响。这就是一个典型的单因

3、素试验的方差分析 问题。令狐采学创作单因素方差分析的基本理论1与通常的统计推断问题一样，方差分析的任务也是先根据实 际情况提出原假设H0与备择假设H1,然后寻找适当的检验统计 量进行假设检验。本节将借用上面的实例来讨论单因素试验的方 差分析问题。在上例中，因素A （即抗生素）有s （=5）个水平41,如“,力5,在每一个水平仙 =12 r Q下进行了 nj = 4 次独立试验，得到如上表所示的结果。这些结果是一个随机变 量。表中的数据可以看成来自s个不同总体（每个水平对应一个 总体）的样本值，将各个总体的均值依次记为山皿 r他则按 题意需检验假设"1 :山皿屮$不全相等为了便于讨论，

4、现在引入总平均卩 S.S卩=二匸Wfij 冗=工呵77 3=1其中：7=1再引入水平Aj的效应8j显然有砒办+ 也 + n鼻=0, §j表示水平Aj下的总体平均 值与总平均的差异。利用这些记号，本例的假设就等价于假设令狐采学创作Hl :兀甩£不全为零因此，单因素方差分析的任务就是检验S个总体的均值W是否相 等，也就等价于检验各水平Aj的效应可是否都等于零。2.检验所需的统计量假设各总体服从正态分布，且方差相同，即假定各个水平= 1,2,-, $斥的样本叼力叼门,%侏自正态总体N(pij,o2), pj与o2未知，且设不同水平Aj下的样本之间相互独 立，则单因素方差分析所需的

5、检验统计量可以从总平方和的分解 导出来。下面先引入：水平Aj下的样本平均值：数据的总平均：总平方和：总平方和ST反映了全部试验数据之间的差异，因此ST又称为总 变差。将其分解为ST = SE + SA其中：上述SE的各项(旳-耳j)2表示了在水平Aj下，样本观察值与样 本均值的差异，这是由随机误差所引起的，因此SE叫做误差平令狐采学创作令狐采学创作方和。SA的各项则(夠-)2表示了在水平Aj下的样本平均值与 数据总平均的差异，这是由水平Aj以及随机误差所引起的，因 此SA叫做因素A的效应平方和。可以证明SA与SE相互独立，且当“0 : %=九=°为真时，SA与SE分别服从自由度为s一 l,n - s的乂2分布，即SA / o2 j2(s - 1)SE / o2 j2(n - s)于是,当耳)：§1 =久=0为真时这就是单因素方差分析所需的服从F分布的检验统计量。3.假设检验的拒绝域通过上面的分析可得，在显著性水平次下，本检验问题的拒 绝域为为了方便分析比较，通常将上述分析结果编排成