单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计

1、单级直齿圆柱齿轮减速器的优化设计、问题描述设计如图所示的单级圆柱齿轮减速器。减速器的传动比u=5 ,输入功率P =75 5 44 =295kW，输入轴转速n =980r/min。要求在保证齿轮承载能力的条件下， 使减速器的质量最小。x1bX2ziX3mX=x 1 X2 X3 X4 X5X6T=X4llX5diX6d2二、分析减速器的体积主要决定于箱体内齿轮和轴的尺寸三、数学建模积V可近似的表示为根据齿轮几何尺寸及结构尺寸的计算公式，单极圆柱齿轮减速器箱体内齿轮和轴的总体71OO71oO71OVdi - ds1 b1d2 - ds2 b2ds1 h I3444兀2H /'2'2

2、2+ dJh + l2)- 一(D 2 - Di tb2 - C)- 4 d；c4 s21242. 4 0由上式克制，单极标准直齿圆柱齿轮减速器优化设计的设计变量可取为这里近似取d = b2 = b0根据有关结构设计的经验公式将这些经验公式有：=5m、D2 = d2、d。= 0.2（ D2 - DJ、c = 0.2b，并取l 32mm、I3 = 28mm将这些经验公式及数据代入式（2-1 ）且用设计变量来表示，整理得目标函数的表达式为f x = 0.785398154.75%x；x； 85%x2x：85x3 0.92为乂2x/50.8x!x2x3x6 -1.6x1x3x6 x4x；28x5 3

3、2xf1）为避免发生根切，应有 乙Zmin =17应有于是得约束函数（2-1）(2-2)2）根据工艺装备条件，跟制大齿轮直径d2不超过1500mm故小齿轮直径d1不应超过300mm即mz _30cm于是有约束函数g2 x 二 x2x330 岂0足16空b <35，由此得mg3（x）二为怡 -35 乞 0(2-3)(2-4)(2-5)g1 x =17 X2 岂03）为保证齿轮承载能力同时又避免载荷沿齿宽分布严重不均,要求齿宽系数： f二b满m1g4(x) =16-XiX3_0(2-6)4）对传递动力的齿轮，模数不能过小，一般 m_2mm且取标准系列值，故有g5 X =0.2X3 乞0(2-

4、7)5）按经验，主、从动轴直径的取值范围为10cm md乞15cm，故有g6 x =10 x5 乞 0(2-8)g7 x 4x5 -15 乞 0(2-9)g8 x =13-冷 一0(2-10)g9 x = X6 - 20 乞 0(2-11 )6）按结构关系，轴的支承跨距满足：h _b 2.0.5dS2，其中厶为箱体内壁到轴承中心线的距离，现取厶=2cm，则有约束函数x0.5x6 4 _X4 _ 07）按齿轮的接触疲劳强度和弯曲疲劳强度条件，应有:336 KT1 u 1 3a , buH2KbdimYF1:-F1YF1YF2< tFF 2(2-12)(2-13)(2-14 )(2-15)式

5、中，a为齿轮传动的标准中心距，单位为 cm, a= 0.5mz1 u 1 ； K为载荷系数，这里取K =3 ； T1为小齿轮传递扭矩，单位为N *cm，=955000P/n1 =95500 295/980N cm 287474N *cm .为齿轮的许用接触应力，单位为 MPa，这里取；f、F2分别为小齿轮与大齿轮的 许用弯曲应力，单位为MPa，这里取 打261MPa、卜F = 213MPa ; 丫日、Yf2分别为 小齿轮、大齿轮的齿形系数，对标准齿轮：Yf =0.169 0.006666 -0.000854才(2-16)Y =0.2824 0.003539乙-0.000001576z；(2-1

6、7)对以上公式进行代入、运算及整理，得到满足齿轮接触强度与弯曲强度条件的约束函数:(2-18)g12 x = 7474/X1x2xf 0.169 0.6666 10x0.854 10*x；L261 乞 0(2-19)g13 x =7474/X1x2x" 0.2824 0.177 10，x2 -0.394 10*x； 1-2130(2-20)根据主动轴（本例即小齿轮轴）刚度条件，轴的最大弯曲挠度ymax应小于许用值'y 1，即1g11 x = 45002x21x31x12 一855 乞 0ymax - lyb 0（2-21）其中取y丄0.00311 ； ymax则由下式计算:y

7、max 二 &|3/48EJ(2-22)式中，Fn为作用在小齿轮齿面上的法相载荷，单位为N， Fn =21；/（mz CO少），a 为齿轮压力角，=20 ； E为轴的材料的弹性模数，E =2 105MPa ； J为轴的惯性矩，单4位为cm，对圆形截面，J =：dS,/64。同理，对以上公式进行代入、运算及整理，可得到满足轴的弯曲刚度条件的约束函数(2-23)g14 x A 0.01298x2怡如4好-0.003x4 虫 08）按轴的弯曲强度条件，有(2-24)式中，1为轴受的扭矩，T =T1 ； M为轴所受的弯矩，单位为Ncm，M二Fnl1/mz1cos= 26444h/m ； d为考

8、虑扭矩和弯矩作用性质诧异的系数，这里取d =0.58 ； t J为轴的许用弯曲应力，人】 = 55MPa ； W为轴的抗弯剖面模数，对实心轴，W=0.1d；。由此，对小齿轮和大齿轮轴，可分别写出满足弯曲强度条件的约束函数 word文档可自由复制编辑(2-25)(2-26)g15 27310x21x;Jx4x53 1 0.29709x|x/x 2 -5501gi6 x 戸27310乂2妆34乂5” 1 7.42727x；xfx4, 2 -55 乞 0四、优化方法、编程及结果分析1优化方法综上所述，单级标准直齿圆柱齿轮减速器以体积最小为优化目标的优化设计问题，是个 具有十六个不等式约束的六维优化问

9、题，其数学模型可简记为min f x x 二 X1x2x3x4x5x6【 R6S.t.gj x -0j",2, ；16考察该模型，它是一个具有6个设计变量，6个约束条件的有约束非线性的单目标最优 化问题，属于小型优化设计，故采用 SUMT惩罚函数内点法求解。2方法原理内点惩罚函数法简称内点法，这种方法将新目标函数定义于可行域内，序列迭代点在可行域内逐步逼近约束边界上的最优点。内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。3编程求解fun cti on f=myfun(x)f=0.78539815*(4.75*x(1)*x (2) A2*x (3)A2+85*x(1)*x (2)*x(3

10、)A2-85*x(1)*x (3)A2+0.92*x(1)*x (6) A2-x(1)*x (5) A2+0.8*x(1)*x (2) *x (3)*x (6)-1.6*x(1)*x (3)*x (6)+x * x(5)A2+x *x (6) A2+28*x (5)A2+32*x (6)八2)3.2不等式约束函数文件fun cti on c,ceq=myobj(x)c=x (2) *x (3)-30;x(1)*x (3)A(-1)-35;16-x(1)*x(3)A(-1);x(1)+0.5*x(6)+4-x(4);41840*x (2) A(-1)*x (3)A(-1)*sqrt(x(1)A(

11、-1)-855;6461*1/(x(1)*x (2) *x(3)A(2)*(0.169+0.6666*10A(-2)*x (2)-0.854*10A(-4)*x(2)A(2)-261;6461*1/(x(1)*x (2)*x(3)A(2)*(0.2824+0.177*10A(-2)*x (2)-0.394*10A(-4)*x(2)A(2)-213;0.01229*x (2) A(-1)*x (3)A(-1)*x A(3)*x (5) a(-4)-0.003*x(4);26444*1/(x (2)*x(3)*x *x(5) A(-3)*sqrt(1+0.29709*x (2) A2*x (3)

12、A2*x a(-2)-55;26444*1/(x (2)*x(3)*x *x(6) A(-3)*sqrt(1+7.42727*x (2) A2*x (3) A2*x a(-2)-55;ceq =;3.3命令文件fun =myfun;x0 = 23;21;0.8;42;12;16;A =;b =;Aeq =;beq =;lb = 4;17;0.2;15;10;13;ub = 40;25;1.5;60;15;20;nonIcon = myobj;opti ons = optimset('largescale','off);x, fval = fmincon(fun, x0,

13、 A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonIcon, opti ons)3.4计算结果分析x = 10.360223.85920.672521.260210.000013.0000fval =3.0461e+004x 0 = 23;21;0.8;42;12;16;f 二 f x =0.53852 105 cm3得最优解* Tx =10.3602 23.8592 0.6725 21.2602 10.0000 13.0000f = f x = 0.29734 105 cm3该方案的体积比原设计方案下降 44.8%。由于齿轮模数m应为标准值，齿数Z1应为整数，其他参数一般也为适当圆整，

14、所以最优 解x , f还不能直接采用。经标准化与圆整后的结果为x = bZ1m h ds1 ds2T=10 24 0.7 21 10 13?f x = 0.30630 105 cm3经验证，圆整后的设计方案满足全部约束条件，且使减速器体积较原设计方案减小约 43.1%。五、课程实践心得体会机械优化设计是将机械工程设计问题转化为最优化问题，然后选择适当的最优化方法，利用电子计算机从满足要求的可行设计方案中自动寻找实现预期目标的最优化设计方案。作为机械专业的一名学生，本课程，掌握最优化问题的基本解决方法，从多 个可能的方案中选出最合适的、能实现预定最优目标的最优方案有着很现实的意义，为 今后的工程实际提供了良好的理论储备。虽然这门课对数学水平有一定的要求，原理