同角三角函数的基本关系

1、1.2.2 同角三角函数的基本关系课堂实录 农八师石河子高级中学数学组肖蕾教材分析普通高中课程标准实验教科书人教版A必修（4）同角三角函数基本关系式是学习三角函数定义后，安排的一节继续深入学习的内容，是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具，是整个三角函数的基础，在教材中起承上启下的作用。同时，它体现的数学思想与方法在整个中学数学学习中起重要作用。学情分析我的学生从认知角度上看，已经能掌握了三角函数定义的两种推导方法，从方法上看，学生已经对数形结合，猜想证明有所了解。从学习情感方面看，大部分学生愿意主动学习。从能力上看，学生的学习基础较弱，主动学习能力、探究的能力较弱三维目标

2、知识与技能目标1.能根据三角函数的定义导出同角三角函数的基本关系式；2.掌握两种基本关系式之间的联系；3.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其它三角函数值的方法。 过程与方法目标培养学生由特殊结论-猜想一般规律-进行严格证明的科学思维方式；通过用单位圆推导公式培养学生用数形结合思想处理数学问题的能力；通过例题与练习提高学生动手能力和分析解决问题的能力。情感与态度目标培养学生积极参与大胆探索的精神；让学生通过自主学习体验学习的成就感,培养学生学习数学的兴趣和信心。 重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用.教学难点:课本的三个公式的推导及应用.课时安排2课时，第一课时教学过程导入新课复习引入：

3、任意角的三角函数（板书）一）我们可以利用单位圆定义任意角的三角函数.如图所示,设是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么: (1)y叫做的正弦,记作sin,即sin=y; (2)x叫做的余弦,记作cos,即cos=x;(3)叫做的正切,记作tan,即tan=(x0). 所以,正弦、余弦、正切都是以角为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数,我们将它们统称为三角函数.二）利用三角函数定义我们判断出三角函数符号规律：一全正,二正弦,三正切,四余弦”.三）填写下列表格，通过表格你能发现什么规律吗？你发现了_学生： 老师：很好，这两个规律中说明两点，第一，是同一个角所用的公

4、式；第二，是任意角的关系。我们通过几何画板演示来体会那个点。判断下列式子是否成立?下列四个命题中可能成立的一个是（ ）活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin2+cos2=1,故cos的值最容易求得,在求cos时需要进行开平方运算,因此应根据角所在的象限确定cos的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.（学生甲）解:因为sin2+cos2=1,所以cos2=1-sin2=1-()2=.又因为是第二象限角,所以cos<0.于是cos=,从而tan=×()=（

5、学生乙）解：如图所示由任意角三角函数定义又P点在第二象限所以从而tan=×()=.点评：这个方法很好，计算又简单。（学生丙）解：由三角函数定义设由勾股定理得，是第二象限角从而tan=点评：方法很好，但缺一点严谨性。比如我可以取还可以取等等。在这里怎样做更好。学生：老师：可以，但有一点大家忘了，r要取正。学生：t>0设由勾股定理得是第二象限角从而tan=老师：这样做就完美了！以上的方法都很好，不管是什么方法，同学们都注意到1）已知三角函数的其中一个，就可以求出其它两个三角函数，这就是“知一求二”；2)三角函数值的取值与角的范围有关系，所以要先定象后定值。我们再来看看对于这道题我去

6、掉其中的一个条件，怎么做？学生:要分类讨论。（学生丁）解：因为sin2+cos2=1,所以cos2=1-sin2=1-()2=.在第一或二象限角. 当在第一象限时，即有于是cos=,从而tan=×=.当在第二象限时，即有于是cos=,从而tan=×()=.（学生）解：如图所示由任意角三角函数定义又P点在第一或第二象限在第一或二象限角. 当在第一象限时，即有于是cos=,从而tan=×=.当在第二象限时，即有于是cos=,从而tan=×()=.（学生）解：设又P点在第一或第二象限在第一或二象限角由勾股定理得当在第一象限时，从而tan=是第二象限角，从而ta

7、n=学而时习之：本节课你收获了什么？小结：学生：(一)同角三角函数的基本关系式: 平方关系: 商数关系: (二)公式的应用: 知一求二:由一个角的某一三角函数 值求出其它的两个三角函数值； (三)数学思想方法: 分类讨论； 方程(组)的思想总结：1. 已知一个角的某一个三角函数值，便可运用基本关系式求出其它三角函数值。在求值中，确定角的终边位置是关键和必要的。有时，由于角的终边位置的不确定，因此解的情况不止一种。2. 解题时产生遗漏的主要原因是：没有确定好或不去确定角的终边位置；利用平方关系开平方时，漏掉了负的平方根。课堂小结 由学生回顾本节所学的方法知识:同角三角函数的基本关系式及成立的条件

8、,根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出). “知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值. 教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.作业 课时作业2课后反思通过本节课发现在教学中注意几个方面的问题。首先，在教授过程中与学生的互动不能少少，学生的积极性没有充分被调动起来。使学生充分发挥主动性和积极性

9、，以加深他们对知识的理解以及熟练程度。我们老师总害怕课堂给学生多了，学生就会学的少，其实，这是错误的想法，相信学生真的很聪明。在课堂练习及例题时，要注意到给学生留充分的时间来思考和解答，合理安排课堂时间；在讲练习题的时候，刚开始要多板书，让学生注意到解题步骤规范的重要性。在解题活动中，当一道题解完之后，要给学生做出解题过程中反思的示范。包括重新把题读一遍，感知解题前后的不同认识，提高阅读理解能力；把所解问题与教材基础知识相联系，相比较，通过解题强化理解基础知识，加深对基础知识是解题力量的源泉的认识；总结所解问题中最本质的东西，实现积累，把一道题当作一类题来认识，拓宽知识视野，提高思想境界；收集

10、学生中的不同思路和看法，肯定正确见解，澄清疑点和错误。其次，讲授新课的题目不易多，要精，精于定义。最后，讲授新课的时候，板书内容要详细，练习时只是口述解题步骤，难以规范学生的步骤。新课程倡导教师“用教材”而不是简单的“教教材”。教师要创造性的用教材，要在使用教材的过程中融入自己的科学精神和智慧，要对教材知识进行重组和整合，选取更好的内容对教材深加工，设计出活生生的、丰富多彩的课来，充分有效地将教材的知识激活，形成有教师教学个性的教材知识。既要有能力把问题简明地阐述清楚，同时也要有能力引导学生去探索、自主学习。设计感想 公式的推导和应用是本节课的重点,也是本节课的难点. 公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,这类问题可按下列情形分别处理: (1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果; (2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可