压轴题解题策略：平行四边形的存在性问题

1、中考数学压轴题解题策略平行四边形的存在性问题解题策略2015 年 9 月 13 日星期日专题攻略解平行四边形的存在性问题一般分三步：第一步寻找分类标准，第二步画图，第三步计算难点在于寻找分类标准，分类标准寻找的恰当，可以使解的个数不重复不遗漏，也可以使计算又好又快如果已知三个定点，探寻平行四边形的第四个顶点，符合条件的有3 个点：以已知三个定点为三角形的顶点，过每个点画对边的平行线，三条直线两两相交，产生3 个交点如果已知两个定点，一般是把确定的一条线段按照边或对角线分为两种情况根据平行四边形的对边平行且相等，灵活运用坐标平移，可以使得计算过程简便根据平行四边形的中心对称的性质，灵活运用坐标对

2、称，可以使得解题简便例题解析例 ?如图 1-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线yx2 2x 3 与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左侧），与 y 轴交于点 C，顶点为 P，如果以点 P、 A、 C、 D 为顶点的四边形是平行四边形，求点D 的坐标图 1-1【解析】 P、A、 C 三点是确定的，过 PAC 的三个顶点分别画对边的平行线，三条直线两两相交，产生 3 个符合条件的点 D（如图 1-2）由 y x2 2x 3 (x1)24，得 A(3,0)， C(0, 3)，P( 1, 4) 由于 A( 3,0)右3，上 3C(0, 3)，所以 P( 1, 4)右3，上 3D1(2, 7)u

3、uuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuuur由于 C(0, 3) 下3，左 3 A( 3,0)，所以 P( 1, 4)下3，左 3D2( 4, 1)uuuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuuur由于 P( 1, 4)右1，下1C(0, 3) ，所以 A( 3,0)右1，下1 D3( 2, 1)uuuuuuuuuuuuuruuuuuuuuuuuuur我们看到，用坐标平移的方法，远比用解析式构造方程组求交点方便多了图 1-2例 ? 如图 2-1，在平面直角坐标系中，已知抛物线y x2+2x 3 与 x 轴交于 A、 B 两点，点 M 在这条抛物线上，点P 在 y 轴上，

4、如果以点P、M、 A、B 为顶点的四边形是平行四边形，求点 M 的坐标图 2-1【解析】在P、 M、 A、 B 四个点中， A、 B 是确定的，以AB 为分类标准由 y x2 +2x 3 ( x1)( x 3)，得 A( 1，0) ，B(3， 0)如图 2-2，当 AB 是平行四边形的对角线时，PM 与 AB 互相平分，因此点M 与点 P关于 AB 的中点（ 1,0）对称，所以点M 的横坐标为2此时 M(2， 3)如图 2-3，图 2-4，当 AB 是平行四边形的边时，PM/AB， PM AB 4所以点 M 的横坐标为4 或 4所以 M (4,5) 或(4, 21)我们看到，因为点P 的横坐标

5、是确定的，在解图2-2 时，根据对称性先确定了点M 的横坐标；在解图2-3 和图 2-4 时，根据平移先确定了点M 的横坐标图 2-2图 2-3图 2-4例 ?如图 3-1，在平面直角坐标系中，直线y x 4 与 x 轴交于点A，与 y 轴交于点B，点 C 在直线 AB 上，在平面直角坐标系中求 一点 D ，使得以 O、A、C、D 为顶点的四边形是菱形图 3-1【解析】由y x 4，得A(4, 0)，直线AB与坐标轴的夹角为45°在 O、 A、C、D四个点中，O、 A 是确定的，以线段OA为分类标准如图3-2，如果OA是菱形的对角线，那么点C 在OA的垂直平分线上，点C(2,2)关于

6、OA的对称点D 的坐标为(2, 2)如果OA是菱形的边，那么又存在两种情况：形如图 AOCD3-3，以的顶点O 为圆心， D 的坐标为OA 为半径的圆与直线(4, 4)AB的交点恰好为点B(0, 4)，那么正方如图3-4，以A 为圆心， AO 为半径的圆与直线AB 有两个交点C (422, 2 2) 和C(4 2 2, 2 2) ，点 C 和 C向左平移 4 个单位得到点 D ( 22,2 2) 和D(2 2, 2 2)图 3-2图 3-3图 3-4例 ? 如图 4-1，已知抛物线y4x216x与 x 轴的负半轴33交于点 C，点 E 的坐标为 (0, 3)，点 N 在抛物线的对称轴上，点M

7、在抛物线上，是否存在这样的点M、N，使得以 M、N、C、 E为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由图 4-1【解析】 C( 4,0)、E(0, 3)两点是确定的，点N 的横坐标 2 也是确定的以 CE 为分类标准，分两种情况讨论平行四边形：如图 4-2，当 CE 为平行四边形的边时，由于C、 E 两点间的水平距离为4，所以 M 、N 两点间的水平距离也为4，因此点 M 的横坐标为6或2将 x 6 和 x 2 分别代入抛物线的解析式，得M( 6,16) 或 (2, 16) 如图 4-3，当 CE 为平行四边形的对角线时，M 为抛物线的顶点，所以M( 2,16

8、) 3图4-2图4-3例 ? 如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线y ax2 2ax3a（ a 0）与 x 轴交于 A、 B两点（点 A 在点 B 的左侧），点 D 是第四象限内抛物线上的一点，直线AD 与 y 轴负半轴交于点 C，且 CD 4AC 设 P 是抛物线的对称轴上的一点，点 Q 在抛物线上， 以点 A、D、P、Q 为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P 的坐标；若不能，请说明理由图 5-1【解析】由y ax2 2ax 3a a(x 1)(x 3) ，得 A( 1, 0)由 CD 4AC ，得 xD 4所以 D (4, 5a)已知 A( 1, 0) 、 D(4, 5 a)， xP

9、 1，以 AD 为分类标准，分两种情况讨论：如图5-2，如果AD 为矩形的边，我们根据AD /QP，AD QP 来两次平移坐标由于A、 D两点间的水平距离为5，所以点Q 的横坐标为4所以Q( 4,21a) 由于A、 D两点间的竖直距离为5a，所以点P 的纵坐标为26a所以P(1, 26a)根据矩形的对角线相等，得AP2 QD2所以 22 (26a)2 82 (16a)2整理，得 7a2 1所以 a7此时 P (1， 267 ) 77如图 5-3，如果 AD 为矩形的对角线，我们根据AP/QD ， AP QD 来两次平移坐标由于 A、 P 两点间的水平距离为2，所以点 Q 的横坐标为 2所以 Q

10、(2,3a)由于 Q、 D 两点间的竖直距离为8a，所以点 P 的纵坐标为 8a所以 P(1, 8a)再根据 AD 2PQ2，得 52 (5a)2 12 (11a)2整理，得 4a2 1所以 a1 此时 P(1， 4) 2我们从图形中可以看到，像“勾股图”那样构造矩形的外接矩形，使得外接矩形的边与坐标轴平行，那么线段的等量关系就可以转化为坐标间的关系上面我们根据“对角线相等的平行四边形是矩形”列方程，还可以根据定义“有一个角是直角的平行四边形叫矩形”来列方程如图 5-2，如果 ADP 90°，那么 MAND ；如图 5-3，如果 QAP 90°，那么MDNPGQKA GAK

11、P图 5-2图 5-3例 ? 如图 6-1 ，将抛物线 c1： y3 x23 沿 x 轴翻折，得到抛物线c2现将抛物线 c1向左 平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为M，与 x 轴的交点从左到右依次为A、B；将抛物线 c2 向右也平移 m 个单位长度，平移后得到新抛物线的顶点为 N，与 x 轴的交点从左到右依次为D、 E在平移过程中，是否存在以点A、 N、E、 M为顶点的四边形是矩形的情形？若存在，请求出此时m 的值；若不存在，请说明理由图 6-1【解析】没有人能精确画好抛物线，又怎么平移抛物线呢？我们去伪存真，将A、 B、D、 E、 M、 N 六个点及它们的坐标在图中都标注出来（

12、如图6-2），如果您看到了MAB 和NED 是边长为 2 的等边三角形，那么平移就简单了如图 6-3，在两个等边三角形平移的过程中，AM 与 EN 保持平行且相等，所以四边形ANEM 保持平行四边形的形状，点O 为对称中心【解法一】如果 ANE 90°，根据 30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得 AE2EN4而 AEAO OE 2AO，所以 AO 2已知 AB 2，此时 B、O 重合（如图 6-4），所以 mBO 1【解法二】如果对角线MN AE，那么 OM OA，此时 MAO 是等边三角形所以等边三角形 MAB 与 MAO 重合因此 B、O 重合， m BO 1【解法

13、三】在平移的过程中，A( 1 m,0)、 B(1 m,0)， M ( m,3) ，根据 OA2OM 2列方程 (1 m)2 m2 3解得 m 1图6-2图6-3图6-4例 ?如图 7-1，菱形 ABCD 的边长为4， B 60°，E、H分别是AB、CD的中点， E、（ 1）求证四边形 EFGH 是平行四边形；（ 2）当四边形 EFGH 是矩形时，求 AE 的长；（ 3）当四边形 EFGH 是菱形时，求 AE 的长图7-1【解析】（ 1）证明三角形全等得EF GH 和 FG HE 大家最熟练了（ 2）平行四边形EFGH 的对角线FH 4 是确定的，当EG FH 4 时，四边形EFGH是

14、矩形以 FH 为直径画圆，你看看，这个圆与AD 有几个交点，在哪里？如图7-2如图 7-3，当 E 为 AD 的中点时，四边形ABGE 和四边形DCGE 都是平行四边形如图 7-4，当 E 与 A 重合时， ABG 与 DCE 都是等边三角形（ 3）如果平行四边形 EFGH 的对角线 EG 与 FH 互相垂直，那么四边形 EFGH 是菱 形过 FH 的中点 O 画 FH 的垂线， EG 就产生了在 RtAOE 中， OAE 60°， AO2，此时 AE 1又一次说明了如果会画图，答案就在图形中图7-2图7-3图7-4图7-5例 ? 如图 8-1，在平面直角坐标系中， 直线 AB 与 x 轴、y 轴分别交于点 A(4, 0)、B(0, 3)，点 C 的坐标为 (0, m)，过点 C 作 CE AB 于点 E，点 D 为 x 轴正半轴的一动点，且满足 OD 2OC，连结 DE ，以 DE 、DA 为边作平行四边形 DEFA（ 1）如果平行四边形DEFA 为矩形，求m 的值；（ 2）如果平行四边形DEFA 为菱形，请直接写出m 的值图 8-1【解析】这道题目我们着重讲解怎样画示意图我们注意到，点A 和直线 AB（直线