参数问题的思维策略

1、参数问题的思维策略东莞中学数学科组叶钦耀参数问题在历届的高考数学试题中常有出现，学生对此类问题常有畏惧心理，造成高考 得分偏低。因此，有关参数问题的解法是高中数学教与学和难点之一。由参数引起的讨论， 一般说来无非两种情形：要么给定命题结论，由此去探求参数的取值范围；要么由参数的取 值范围去探求命题在参数的制约下可能出现的各种结果，从而归纳出原命题的正确结论。但 不论是哪种类型，有关参数问题的题目很难一次性处理，分类讨论是其常规解法。但若在解 题前注意一下解题的方法，适当作一些“技术处理”，则可避免或简化分类讨论，收到事半功 倍的效果。下面，就介绍解决参数问题的一些常用的思维策略。1定义法数学概

2、念是以定义的方式表述的巧妙的解法常来源于对定义的使用，在参数问题中，同样要重视定义解题。由最值的定义可知：f(x)max二M二f(X)二M有实根且f (x) < M恒成立；f(x)min二m：= f (x) = m有实根且f (x) _ m恒成立；据此可使一类有关二次函数的逆向最值问 题得到转化和简解。例1已知函数y答卫的最大值为4,最小值为-1，试求a,b的值。简解：ymax =4=方程臂卫=4，即4/ - ax V_b=O有实根且不等式 筈卫岂4，即X +1x +14x? -ax 4 -b - 0恒成立，于是有匚0且厶_ 0，从而厶=0，即a? -16(4-b) = 0 ;同样由 2

3、ymin = -1= a -4(b 1) = 0。最后解得a = 4,b = 3。注解：与二次函数有关的逆向最值问题利用最值定义都可归为其判别式“也=0 ”，由此可使问题获解。2. 分离参数法有些参数问题，若能将已知式中的未知数和参数分离开来，就可把求参数范围的问题转 化为求函数的值域或最值问题，从而快速求解。xX X例 2 设函数 f(x) Wg1?(n T)n a ( a R, n N 且 n_2 )，若 f (x)在nx，(-二,1上有意义，求a的取值范围。简解：f (x)在 x (-匕,1上有意义，则 1 2xn-1 )x nxa 0在 n_2，x(y1时恒成立，即-(1)x (-)1

4、)x能恒成立，于是只需求n nng(x-(1)x (2)(L1)x在n-2，x (-= 1时的最大值，由g(x)是增函数可知：n nn1i _ n当 x =1 时 g (x) max = 2(1 - n)，故 a a | a ?，n N , n _ 2。注解：关于x的方程F(x,k) =0在区间A上恒有解求参数k的取值范围一类问题，常用“分 离参数法”求解较易，其一般步骤是：把方程F(x,k) =0分离为f (k)二g(x)；求出g(x)的 值域或最值，得到f(k)的范围(用含k的表达式)：解关于k的不等式求出k的范围。3. 数形结合法数形结合是一种常用的数学思想方法，用的是通过“数”与“形”

5、之间的对应与转化来 解决数学问题的思想。在某些参数问题中，只要善于把问题的数量特征结合图形进行分析， 往往能借助图像性质而有利于解决问题。例3已知方程|x-2n|=k、x(nN)在区间(2n -1,2n 1上有两个不相等的实根，求k的 取值范围。简解：由题意可知：k . 0。两边平方得：(x2n)2 =k2x，原命题可转化为抛物线 y=(x-2n)2与直线y二k2x在区间(2n -1,2n 1 (nN)上有两个不同的交点。结合图形分析 得到：当 x = 2n -1 时，有(x - 2n)2 k2x，从而有 k2 ：;当 x = 2n T 时，有(x - 2n)2 亠 k2x，2n -112n

6、+ 1从而有k2，故有k (0(n N)。2n 十12n+1注解：本题的常规解法是运用一元二次方程有关实根的分布来求解，过程较为复杂。运 用这一数形结合的解法，转化为抛物线与直线的交点个数的讨论。4. 变量代换法一些参数问题的题目隐晦生疏似难入手，若把某些字母或代数式实施变量代换，往往可 化难为易，化繁为简。2例4 设对所有的实数x，不等式x2 log2 4(a ° 2xlog2 Tog2也 斗 0恒成立， aa+14a2求a的取值范围。简解：设log2 a 1 "，所给不等式大于 0恒成立=(3 t)x2 -2xt 2t 0恒成立，即2aa +1a + 13x2 (x2

7、-2x 2)t 0恒成立二t 0恒成立，即log 20，则有1恒成立，故有2a2aa (0,1)。注解：本题的常规解法要用ax2 bx c 0恒成立的条件进行分类讨论，十分繁琐。这里先对原式作变量代换进行转化，得到精巧别致的解法5. 正难则反法有些参数问题从正面不易入手或不能解决，而它的反面情况则较为简单，这时根据“正 难则反”的原则，应用补集的思想逆向思维，从反面寻求解决，则往往容易凑效。例5 若关于 x 的方程 x2 4ax -4a 3 = 0， x2 (a -1)x a2 = 0，x2 2ax - 2a = 0 至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围。简解：当三个方程均无实数根有：< 216a 4(4a+3)c03 (a1)24a2c0 ，解之得：3 c a c 1，224a +8a c 0视R为全集，用“补集法”易得a3 -1厂：)时至少有一个方程有实数根。2注解：本题若从正面入手，讨论较为繁琐，则从反面思考、解决。正是“山重水复疑无 路，柳暗花明