双缝干涉条纹间距公式的推导两种方法

1、双缝干涉条纹间距公式的推导双缝干涉条纹间距公式的推导y·O·xdd22如图建立直角坐标系，其x 轴上横坐标为d 的点与 d 的点为两波源。这两个波源的振动情况完全相同，则这两个波源发生干涉时的加强区为到两个波源的距离22差为波长整数倍n（零除外）的双曲线簇。其中d,0 、d ,0 为所有双曲线的公共焦点。这个双曲线簇的方程为：22x 2y 212d22nn222y··dOdx22用直线 yl 去截这簇双曲线，直线与双曲线的交点为加强的点。将yl 代入双曲线簇的方程，有：x 2l 21222ndn222解得：xn4l 22n22d上式中， d 的数量级为1

2、0 4 m ，为 10 7 m 。故 d 2n 22d 2 ， x 的表达式简化为：xnl242d其中 l的数量级为 10 0 m ， d 的数量级为 10 4 m 。故 l 2104 ， x 的表达式简化为：d 2xnl 2nld 2d可见，交点横坐标成一等差数列，公差为l，这说明：d（ 1）条纹是等间距的；（ 2）相邻两条纹的间距为 l 。dl至此，证明了条纹间距公式：x。d杨氏双缝干涉条纹间距到底是不是相等的海军航空工程学院李磊 梁吉峰 选自物理教师2008 年第 11 期在杨氏双缝干涉实验中，在现行的高中物理教科书中得出相邻的明纹（或者暗纹）中心间距为：x L/d ，其中 L 为双缝与

3、屏的间距，d 为双缝间距，对单色光而言，其波长 为定值，所以我们得出的结论是干涉图样为等间距的一系列明暗相同的条纹，但是在现行的高中物理教科书中所给的干涉条纹的照片却并非如此，如图1。我们可以看到只是在照片中央部分的干涉条件是等间距的，但是在其边缘部分的条纹的间距明显与中央部分的条纹间距不同。问题到底出在哪里呢首先我们来看现行的教科书上对于杨氏双缝干涉的解释，如图2。设定双缝 S1、 S2 的间距为d，双缝所在平面与光屏P 平行。双缝与屏之间的垂直距离为L，我们在屏上任取一点P1，设定点 P1 与双缝 S1、 S2 的距离分别为 r1 和 r2，O 为双缝 S 、 S 的中点，双缝S 、S 的

4、连线的中垂线与屏的交点为P，设 P 与P 的距离为x，为了获得明显的干涉条纹，在通常情况下L>>d，在这种情况下由双缝S 、12120101S2 发出的光到达屏上 P1 点的光程差r 为S M r r dsin，（1）221其中 也是 OP0 与 OP1 所成的角。因为 d<<L，很小，所以xsin tan L（2）x因此r dsin dL当 r dxk0， 1， 2， ，（3）L ± k时，屏上表现为明条纹，其中x1当r dL ±（ k 2） 时，屏上表现为暗条纹，其中是k 0，1， 2， 。（ 3）我们继续算得光屏上明条纹和暗条纹的中心位置。L当

5、 x± kd时，屏上表现为明条纹，其中k0， 1， 2， 。（ 4）1L当 x±（ k2） d 时，屏上表现为暗条纹，其中k 0， 1，2， 。（ 4）我们还可以算出相邻明条纹（或者暗条纹）中心问的距离为x xL（5） x d 。k1k至此我们得出结论：杨氏双缝干涉条纹是等间距的。问题就在于以上的推导过程中，我们用过两次近似，第1 次是在运用公式r r2 r1 dsin的时候，此式近似成立的条件是S1P1S2 很小，因此有S1M S2P1， S1M OP101211 1 2很小，只要满足d<<L 即可，因此r dsin是满足的。，因此 P OP S S M，如果

6、要保证S P S第 2次近似是因为 d<<L， 很小，所以 sin tan。下面我们通过表 1 来比较 sin与 tan 的数值。表 11°2°3°4°5°6°7°sin tan8°9°10°11°sin tan从表 1 中我们可以看出当 6°时， tan sin %。因此当 6°时，相对误差就超过了 %，因此我们通常说 sintan成立的条件是 5°，当 5°时， sinsintan 就不再成立。而在杨氏双缝干涉实验中，很小所对应的

7、条件应该是x<<L，这应该对应于光屏上靠近P0 的点，在此种情况下上述的推导过程是成立的，干涉条纹是等间距的。而当 x 较大时，也就是光屏上离P0 较远的点所对应的角也较大，当 5°时， sin tan就不再成立，上述推导过程也就不完全成立了，（ 2）式就不能再用了。此时 sinxL2x2所以， r dsindx± k，屏上表现为明条纹，其中k0， 1， 2， ，L2x2r dsindx±（ k1k 0，1， 2， 。2x22 ） ，屏上表现为暗条纹，其中L因此可以得到光屏上明纹或者暗纹的中心位置为x±Lk，屏上表现为明条纹，其中k 0， 1， 2， ，d 2k 221)L (kx±2，屏上表现为暗条纹，其中k 0， 1， 2， 。1)2 2d 2( k2则相邻的明条纹中心问距为x 明 xk1 明一 xk 明 L(k1)Lkd 2(k 1) 2 2k 2 2d 2邻暗条纹中心间距为x 暗 xk1 暗一 xk 暗 L (k 11 )L (k1 )22d 2(k 11)2 2d 2(k1)2 222由上式可见相邻的明、暗条纹就不再是等间距的了，这也正如教科书上的照片所示的条纹分布。下面我们通过一个实例来定量计算等间距条纹的条数。例 1：用氦氖激