向心加速度公式推导完整版

1、向心加速度公式推导完整版一李朝辉整理向心加速度是匀速圆周运动中的教学难点，这是由于学生因长期接受标量运算而产生山二0,于是有Q二三二=Cl 的思维定势，认为匀速圆周运动中物体运动速率不变，故其At因此我们在教学中必须强调两点，一的矢量性，速度的方向变化也表示速慶有变化，故Av *0,另一是速度变化的方向就是加速度的方向因此在教学中必须说清楚的方向。教材 中引进了速度三角形的方法，实际上已经考虑到了上述两点。关于向心加速厦公式的推导方 法甚多，下面提供几种有推导方法，供大家参考。方法一：（课本上的方法）利用加速度的定艾推导（又称矢量合成法）：如图所示：设小球在很短的时间t内从A运动到B,在时间t

2、内速度变化为因为 OABABDC （可自己证一下），所以有：Zkv/v二AB/R 当tTO时，AB二弧AB所以:厂弧AB/t, a=Av/1所以a=v2 /R方法二：在矢量合成法中应用三角函数推导：如图所示，物体自半径为r的圆周a匀速率运动至b.所经时间为若物体在a. b点 的速率为Va=Vb=V,则其速度的增#Av=Vb-Va=Vb+ （Va）,由平行四边形法则作出其矢量 图如图。由余弦定理可得v =+ v2 - 2v2 cosJ1 - cos 81-cos 620由三角公式可知加亏=.eAv = 2vsin 20 g当 8 -*0时）sin-=乙£于是有180 - 9另由图1可釦

3、Q =-可见当6T0时，a =90° ,即Av的方向和vb垂直，由于vb方向为圆周切线方向， 故Av的方向指向圆心.因Av的方向即为加速皮的方向，可见匀速國周运动中加速慶的方向其大小为指向圆心， 方法三：利用运动的合成与分解推导(简称运动合成法)由于惯性，小球有离开圆心沿切线运动的趋势，而细线的拉力却拉着小球向圆心运动.这样小球运动可分解成沿切线方向的匀速直线运动和沿半径方向的初速度为零的匀加速直 线运动设在很短的时间t内，小球沿圆周从A到B,可分解为沿切线AC方向的匀速直线运动 和沿AD方向初速度为零的匀加速直线运动如图一:1 2AC= vt , AD= at2由 RtAADBRt

4、AEDB 可知：BD±AD DE ,BD二AC（2=-3t2 （2P丄畀）2 24由于时间E很短，即r趋近丁0,所以-a2t2趋近于0.4故有：Mr方法四：利用开普勒第三定律、万有引力定律和牛顿第二定律推导向心加速慶设：质量为m的人造地球卫星以速率v在半径为r的近圆轨道上绕地球运行，运行周期 为T,地球质童为Mo根据开普勒第三定律订2 /卢=k (k为常量)根据万有引力定律：F=GMm/r2对于圆周运动的物体有：T=2n r/v根据牛顿第二定律:a=F/m联立上述冬式有：a二(GMk/4n2 ) X (v2 /r)所以：av2 /r方法五：曲率圆法由干曲线运动是变速运动故肓定有加速度

5、质.也 的舜时加速度定义为=lini3严1式中罟为一段肘间内的平均加速度、瞬时加速度是平 均加速度在3-0时的极限，加速度方向肯定与速度 方向不在同一直线.般的曲线运动为求在任一点的蜕时加速度通 常将具分解为法向加速度心.，与切向加速度如图7-1所上示设质点沿曲线运动在八、 B两点的翼时速度各为s与f 叭| 间隔时间4速度增鞏为! 如 将H分解为法向分址 / /3 与切向分址法向分M 皿表示速度方向的变化® 7-1切向分拭表示速厦大小的变化则法向加速度心与切 向加速度血分别为I Vn1 unlm- tdf= IlTB .先确定心.设-4是半径为"的圆周上一点该風 称曲线A点

6、的曲率圆p称曲率半径）曲线AH近似 为孩例上的.AB ,矢虽三角形HED与几何三角形向心加速度公式推导完整版一李朝輝整理相似故有需=于弐二于罟剧5 =皿毛=皿宁至=lim斗旦=AL"丄/f “ X（ * P A仆 pP方向垂直干5 抬向曲率圆圆心故通常称法向加速度为向心加速度，至干切向加速度则与直线运动中一样絆于速度大小的变化率.曲线运动的瞬时加速度是切向加速度与向心加速度的矢址和方向与速度方向成。=打1、伽竺.",一般的曲线运动同时有切向加速度与向心加連度当X寻时，速率増大当化号时速率减小；若切向加速度为零速率不变即为匀速率曲线运动例如匀速岡周运动其加速度即为向心加速度大

7、小a=节不变，方向与速度方向垂直而梧向圆心匀速圆周运动是切向加逶度为零而向心加速度大小不变的曲线运动：若法向加速度为冬则运动方向不变，即为变速冑线运动.可见直线运动是曲线运动的特例.曲线运动也可以是匀变速运动，即合加速度的大小、方向均不变例如斜（平）抛运动就足加速度恒为尺的匀变速曲线运动.求解曲线运动的瞬时速度与瞬时加速度的运动学舉本方法都是通过矢量的分解与合成从定义出发用 微无法解决.方法六：类比法：设有一位置矢量r绕。点获转，其矢端由a至b时发生的位移为$ （如图4）。若所-_ As经时间为则在此段时间内的平均速率宀込显然这个速率描述的是位置矢量矢端的运动速率，当趙近于零时，这个平均速率就表示位置矢量的矢端在某一时刻的即时速率，二2穴R 如果旋转是匀角速的，则其矢端的运动也是匀速率的，易知其速率丫 一 A 图5图6(1)式中t为旋转周期。再如图5是一物体由a至b过程中，毎转过1/8圆周，速度变化的 情况。现将其速度平移至图6中，容易看出图6和图5相类似，所不同的是图5表示的是位0.-AV 置矢量的旋转，而图6则是速度矢量的我转