复旦-汪源源-信号与通信系统-第一次习题课

1、信号与系统第一次习题课2015.5.14郭威请大家先取回上次作业，请大家先取回上次作业，本次作业下课再交本次作业下课再交重点讲解题目题号： 第一章，1-4，1-5，1-29，1-32，1-41；第二章，2-3，2-4，2-7，2-16。顺带过过题目中的知识点。习题0 绪论0-1：求解思路：信息量定义注意单位：log2 bit loge nat log10 hart解答：PI1log)(252. 3105. 01log1log22bitPIEE)(966. 8002. 01log1log22bitPIXX0-2：证明：MibitPIii1)(1log2信息量的定义统计平均量的定义：离散变量X，出

2、现的次数NiiiiiNiiiNPXNNXNNXXlimlim)(1log121bitPPPIHMiiiMiii0-3(1)：解答：等概率出现平均信息速率的定义0-3(2)：解答：41P)(21log2bitPIH注意：每个字母用2个脉冲sbitmsbittHv/200522每个符号的信息量平均信息速率每个符号的传输时间bitPPHiDAii985. 1310log1034log414log415log511log222220-4：解答：每个符号的信息量：平均信息速率：0-5：解答：1： 2：221116log 32 112log 2246.40432224H 36.404 10/Hvbit s

3、t24 log 10 13.288Ibit 42log 1013.288Ibit习题1 确定性信号分析1-2(a):kTTtkTTkTTtkTTwtEtf434044cos)(10|sincos1)(1044440EwtwTEdtwtETdttfTCkTTTTT02wTwdteeTEdtewtETdtetfTCkTTwtkjwtkjTTjkwtTtjkwk2cos1)(1044)1()1(4401k2.54kEC 1k2cos)1 (10)2cos)1 (12cos)1 (1(2kkkwkkwkTECk511Sa()Sa()222kkkC或1.1. 离散频谱离散频谱周期信号傅里叶周期信号傅里叶

4、级数的系数级数的系数2.2. 注意积分时，分母注意积分时，分母=0=0的讨论的讨论可以不单独讨论习题11-2(b):44cos)(kTTtkTTwtEtf20cos2/1)(10440dtwtETdttfTCkTTT220wTw244241cos20cos2/1)(100kkdtewtETdtetfTCkTTwtjkTtjkwk12125Sa()Sa()22kkkC或2TT 可以不单独讨论1-4ktkktkttgp22322102212212cos1)(Tw202T 21)2cos1 (21)(1021210dttdttgTCkTp0121211( 2)2221122110( )(1cos2)

5、21124jkw tjk tkTjk tjk tjtjtkCf t edtt edtTedteeedt2k41kC2k342sin)441(12CkkkCk001( )2cos();=0pkkkkgtCCkt实信号：实偶信号：1.1. 读图，确定周期，写表达式读图，确定周期，写表达式2.2. 实实偶函数，则相位为偶函数，则相位为0 01-5周期函数偶函数奇函数只有偶次谐波只有奇次谐波00012( )2cos()( )()kkkf tCCkw twf tf tTT)()(tftf)()(tftf02202211222( )2cos(2)2cos()/ 2nnnnnnknf tCCntCCntTT

6、)2()(Ttftf21211221( )2cos(21)( )()2nnnTknf tCntf tf tT 1.1. 读题画读题画0-T0-T时间内波形！时间内波形！2.2. 充分利用转化题目中条件充分利用转化题目中条件1-51-7(a)：(b): elsewweewFwFjwtwj0)()(0)(11010000110011( )( )()22wjwtjwtjwtwwf tF w edweedwSa ttw0202)(2200)()(2wwewweewFwFjjwj002sin2)cos1 (1021)(21)(02002022200tttwtwttdweedweedwewFtfwjwtj

7、wjwtjjwt1-8(a): 02220( )20AtAtAtAtf telse 6T)6()6()(1tftftf2022022( )()()sin(0)22( )2 (0)jwtjwtAAAF wtA edttA edtw wwF wA w2211( )2 Sa ( )( )( )2 ( )cos4 Sa ( )cos6F wAwf tF wF wwTAww周期构造辅助函数1-8(b): elsetAtAtf02224)(6T)6()6()(2tftftf22sin2( )()sin2cos2 (0)422( )2 (0)jwtAAAwF wtedtwjjw wwwF wA w222si

8、n2sin2cos2 cos6 (0)( )( )2 ( )cos24 (0)Awwjjww wf tF wF wwTwwA w周期构造辅助函数1-10: 法1：利用性质证明易错：法2：利用公式推导)()(012ttftf)()()()()()()(21011011100wFewFttfewFttfwFtfjwtjwt时移比例00002101,11( )()( )()( )()jwtjwtjwtt ddtjwtjwtjwF wf tt edtfeedefedFw e 0)()(12jwtewFwF0011101101( )( )()( )()()jwtjwtf tF wf ttF w ef t

9、tFw e1-16( )16 (10)8 (20)4 (30);( )( )16 (10)8 (20)4 (30).h ttttf th tf tf tf t1-17：dtfftftf)()()(*)(21210;(0)(1)( ) ()( )0.(0)tdt tuu tdtu tt()()01;(0)(2)( )()(1) ( )0.(0)11( );( )( );111( )1111( )( )(1) ( )1111tttttttedetueu tdeu tte u tu twjwjwwwweu tjwjwjwjwjwjwjw 验证：计算中讨论：计算中讨论：t t0 0和和t t0 01-

10、17：dtfftftf)()()(*)(21212()22()2022;(0)(3)( )()() ( )0.(0)11( );( );121111.() ( )1212ttttttttttte edeete ueu tdeeu tte u teu tjwjweeu tjwjwjwjw验证：02222()1;(0)(4)( )() ()(1) ( )0.(0)11( )( );( )( )( );( )11111( )( )( )(1) ()11ttttetdtete utu tdteu ttwe u ttu tjwwjwwwjwjwjjwjwwjwwjwww 验证：1111111 ( ) (

11、 ) ( )111( )( )( )twjwwwwjwjwjwjwjwjwtu te u tu t 1-21：法1：直接傅里叶变换222waaetawaetaa2222( )2()F tfw对称性(互易特性)：02102121221212121)()21(212)2(11)(212121212221weweeetttgwwww0202)(2)()(2)(2)(212112112wejwejdwwdGjwGtjtgjttgtgww0)()(0)()(2121wwjGwGwwjGwG2221)()(wGwG1-21：法2：先拆分再傅里叶变换)2112121121(21)2(11)(21jtjttt

12、g)(tf)( tf )211211(21)(2jtjtjtg)( tf )(tf112211( )1221( ).2()()2wwf tjtF weuweuw)()(21)(1wFwFwG)()(21)(2wFwFjwG11( )2()ataweu te uwajwajt对称性：1-260000024222222222() ( )( )( ) /( )1( )( )( )( )( )11(1) ( )( )( );1( )( )( ) ( );(1)(2)( )( ),112iititgvgd vvvCCjw V wV wV wRdtRV wjwRCjwH wh tte u tV wjwRC

13、jwV te u tV wjwwEwG wH w V wwE wV wwEE电路方程：证明：242222221( ),2(1)4111( ).tan ,(,)22122 2gvvww dwdwwEE w dwdwwt tw 令1-6-11-28010201001020021122( )( );cos( );sin( )11( )cos( )*( )=()()( )221( )sin( )*( )=()()( )2211( )( )( )( )( )( )( )22(LLx tX ww tF ww tF wx tw tX w F wX wwX wwG wjx tw tX w F wX wwX w

14、wG wY wG w HwF wG w HwF wH w设化简可得00( )1)()()( )2LLY wHwwHwwX w000cccwwwwww带通滤波器：1-290(1cos),( )20,( )( ),( )( )=011g( )( )( )( )22( )0,( )0,11( )( )( )( )2212ccccjwtcccwjwtjwtwcwjwtjwtwwkewwH welsef tF wf twwwF wtG w edwF w H w edwwwF wH wF w H w edwF w H w edwk设由题知，频带限制在，即时，因为时,所以：00220001( )( )2 2

15、 ()()()2222jwjwjwtjwtjwtjwtF w eedwF w eeeedwk f ttf ttf tt脉冲信号：并非特指脉冲信号：并非特指 ,rect,rect等；等；时域时域卷积卷积，频域相乘；，频域相乘；注意频带有限。注意频带有限。1-32dttgtgdttgtgRtg)()()()()()(*实信号()22200()()0(1)( )( )()( ) ()1,0,01212,0,02(2)( )ata taataaataaataa ta tata tata taReu t eu tdteeu t u tdteeedtaeaeedteaReedte edteedte()0(

16、)()()0,0,01(),01()1(),0ta tata tata tata taaaedte edteedteedteaeaea利用利用定义计算，讨论定义计算，讨论 0 0和和 0 01-32()()02200220220(3) ( )( )()()()()()()(),0atata ta taaataataaataataaataatReu te uteu teut dteu teeut dte eu teut dteedteedtedteedtee0,01(),01()1(),0aaaadtedteaeaea 1-35121212121212212112( )( )( )( )()()

17、( )( )( )()( )()( )()( )( )g tf tf tff tdf tfdRf t f tdtffffRR卷积：互相关：1.1. 图解法：先将图解法：先将 f1(t) 或或 f2(t) 转换为转换为f1(t- ) 或或 f2(t- )，然后在然后在 轴上移动，与轴上移动，与f2( ) 或或 f1( ) 重叠则相乘计算；重叠则相乘计算；2.2. 注意卷积和互相关的定义，注意卷积和互相关的定义，t和和不可写错。不可写错。1-351-352212211222222( )(23), 10(1) , 1044(23),01(21),01( );( );( )( )44(2) ,12(4

18、),12440,0,( )11(),02211,0( )22(aABABtttABABttg tRRRABABttelseelsebAttAtg tA 2212211225(2),2215,3;( );( )( )221771),1(),32220,0,AARRRttAelseelse1-41(1)sin11sin11sinsin( )()1sin()1sincoscossin1 cos1 cos( )( )( )Satf tddttttttdtdtdttttttf tjf ttjtsin( 31)xdxPx(2),cossin( )( )(1cos)sin( )( )( )(1cos)ccm

19、ccmmcjw tmmwww tw tf tf tkw tw ttf tjf tkw t e括号内为慢变化，为窄带信号，只需对快变化载波作希尔伯特变换奇奇得偶，奇偶得奇。奇奇得偶，奇偶得奇。2-1121212111211,21211( , ) ( ), ( )cos()cos() ,cos()cos() ,cos()cos() ( )102snniiijjjijijijnnijiijjijijijj iniiiiiiiiniR t tE s ts tawtaw tpd da awtw tpd dawtwtpd 2122121cos();1( )( )cos2 ()()2iinjwjwssiii

20、niiiiawttG wRedawedawwww 功率谱密度：习题习题2 随机信号分析随机信号分析1. 定义自相关定义自相关；2. 讨论讨论 i = j 和和i j ；3. 求和符号展开；求和符号展开；4. Cos正交性正交性2-3002222220*1210 120 2121(1) ( ) ( )cos() ( ) cos()0;1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos ()( ) 2( ) ( )( )( )cos()( )cos() ( ,; )zE z tE m tw tE m t Ew tD z tE z tE z tE z tE m tEw tE m tRE z t z

21、tm tw tm tw tp z zdz dz 2*0 10 2120200002001cos()cos() ( )( )( ) ( , )cos( )2(3)( )( );( )() ,cos ()()21( )cos( )2111() ()()2 224mjwzzmzmw tw tpdm t m tp mdmwRP wRedwRSawwwwwRwRwSawwww 2200()() 221( )(0)2zzzwwwwSaSaP wSR1. 广义平稳条件：广义平稳条件：E和和D与与t无关，无关，R与与 有关；有关；2. 功率谱求解：维纳功率谱求解：维纳-辛欣定理辛欣定理3. 作图时，坐标清晰，

22、重要交点标注，作图时，坐标清晰，重要交点标注，w0一般较大一般较大（2）独立独立2-4222022(1)(1),2(1),()( )20,0,1( )(1)2224222;(2)1( )( )(1)222(1)22ssBssBBBjwjwssBwfkwBkfBGfGwBBelseelsewkPGw dwdwBkwBdwBkBwkRGw edwedwBkwB平均功率：022022222(1)2sin ()Sa ()Sa ()BjwjwBswedwedwBkBkBBBPB 数字频率数字频率w w，模拟频率，模拟频率f,wf,w=2f=2f计算公式计算公式p97p97 维纳辛维纳辛钦定理钦定理2-4

23、12266236(3)10101010,10( )1( )0,1( )sSKBVVSVssRBss t即相距的两样值是不相关的2-722221( )(0)( )( )0.2()2ffnnnnffE n tRPSdSf dfV2( )0.45( )nE n tPV2-2-9 2-2-352-2-9 2-2-352-7 答案：答案： (2) (2) 由傅里叶变换公式由傅里叶变换公式 知：知： 令令 得：得： 其中，其中， 此时此时n(t)与与n(t- )不相关不相关 (3) (3) 由第一题结果知，均方根为由第一题结果知，均方根为0.450.45，白噪声默认均值为，白噪声默认均值为0 033651( )( )()22 22 200102 2001010()220.2(210 )jnnRSrectedf