数列知识点梳理

1、数列知识点梳理一、数列的相关概念( 一 ) 数列的概念1数列是按一定顺序排列的一列数，记作a1 , a2 , a3an ,简记 an .2数列 an 的第 n 项 an 与项数 n 的关系若用一个公式anf (n) 给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。3数列可以看做定义域为N（或其子集）的函数，当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。( 二 ) 数列的表示方法数列的表示方法有：列举法、解析法（用通项公式表示）和递推法（用递推关系表示）。( 三 ) 数列的分类1 按照数列的项数分：有穷数列、无穷数列。2 按照任何一项的绝对值是否不超过某一正数分：有界数列、无界数列

2、。3 从函数角度考虑分：递增数列、递减数列、常数列、摆动数列。递增数列的判断：比较f(n+1)与 f(n)的大小（作差或作商）( 四) 数列通项an 与前 n 项和n 的关系SnS1n11 Sn a1a2a3anai2 anSnSn 1n2i 1二、等差数列的相关知识点1定义： an1and (常数 ) (nN )或 anan1 d (常数 ) ( nN且 n2) 。当 d>0 时，递增数列， d<0 时，递减数列，d=0 时，常数数列。2通项公式： ana1(n1)dam( n m)ddn(a1d )pnqd= ana1， = a na m是点列（n， n）所在直线的斜率.n1d

3、nma3前 n 项的和：Snn(a1an )na1n(n1)dn2(a1dAn2Bn22d)n22Sn 是等差数列。 n4等差中项：若a、b、 c 等差数列，则 b 为 a 与 c 的等差中项 :2 b=a+c5、等差数列的判定方法(n N*)(1)定义法 : an+1-a=d 是常数 (2)等差中项法 : 2an 1anan 2n(3)通项法 : anpn q(4)前 n 项和法 : SnAn 2Bn6性质 : 设a n 是等差数列，公差为d, 则(1) m+n=p+q,则 am+an=ap+aq特别地，当mn2 p 时，则有 aman2a p(2) an, an+m, an+2m 组成公差

4、为 md的等差数列 .(3) S n, S 2n-S n, S 3n-S 2n 组成公差为 n2d 的等差数列 .(4) 若 an 、 bn 是 等 差 数 列 ， 则 kan 、 kanpbn(k 、 p 是 非 零 常 数 ) 、 ap nq( p, q N * ) 均是等差数列，公差分别为：(5)若 等 差 数 列 an 、 bn 的 前 nAnf (n) ， 则和 分 别 为 An 、 Bn ， 且Bnan(2n1)anA2n1f (2 n1) . 如设 an 与 bn 是两个等差数列，它们的前n 项和bn(2 n1)bnB2n1Sn3n1，那么ana7_分 别为 Sn 和 Tn ，若

5、4 n3bn_，Tnb7（6） Sn 的最值：法1、可求二次函数Snan2bn 的最值；法2、求出 an 中的正、负分界项，即：当a10， d0，解不等式组an0n 值 . 当an可得 Sn 达到最大值时的10a10， d0 ，由an0n 值 . 例：若 an 是等差数列，首项an 1可得 Sn 达到最小值时的0a10, a2003a20040 ， a2003a20040 ，则使前 n 项和Sn0 成立的最大正整数n 是（答： 4006）7 a1, d ,n, an , Sn 知三求二 ,可考虑统一转化为两个基本量a1, d ; 或利用数列性质 ,8、巧设元：三数 : ad, a, ad ,四

6、数： a3d , ad, ad ,a3d9、项数为偶数2n 的等差数列an，有 S偶S奇S奇annd ，S偶an1S2 nn(a1a2n )n(a2a2 n1 )n( anan1 )( an , an 1 为中间两项 )项数为奇数2n1的等差数列an有 S2 n 1 (2n1)an (an为中间项 ) ，S奇S偶S奇n. 例、项数为奇数的等差数列 an 中，奇数项和为80，偶an ，S偶n1数项和为 75，求此数列的中间项与项数（答：5； 31） .10、如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.注意：公共项仅是公

7、共的项，其项数不一定相同，即研究 an bm .三、等比数列的相关知识点（类比等差数列）1、定义： an 1q （ q 为常数， q 0 , an0, n N ）或an当 a1 0且q 1； a1 0且0 q 1时，递增数列当 a1 0且0 q 1； a1 0且q 1时，递减数列当 q 0时，摆动数列当 q 1时，常数数列2、通项公式：ana1q n 1 =（ a1 , q0 ） anam q n m =na1 (q1)3、前 n 项和： Sna1 1qn( q（要注意 q 的讨论）Aq nA（ q1）1q1)4、等比中项： x G y 成等比数列G 2xy ，或 Gxy.只有同号两数才存在等

8、比中项，且有两个，如已知两个正数a, b( ab) 的等差中项为A，等比中项为B，则 A与 B的大小关系为 _5、等比数列的判定方法 (n N*)(1)定义法 : a/an=q 是常数(2)等比中项法 : an 1anan2n+12(3)通项法 :ancq n ( c, q 为非零常数 ).(4)前 n 项和法 :SnAq nA6、性质： an是等比数列（1）若 m np q，则 a ·aa·a特别地， 当 mn2 p 时，则有2nam.an a pmpq例：在等比数列 an 中， a3a8124, a4a7512 ，公比 q 是整数，则 a10 =_（答：512）；各 项

9、 均 为 正 数 的 等 比 数 列 an 中 ， 若 a5 a69 ， 则 l o g3 a 1l o ga3 2l o 3ga 1 0（答： 10）。（2） a , a , a组成公比为的等比数列 .nn+mn+2m（3） Sn S2 nSn S3nS2 n( Sn0) 仍为等比数列 , 公比为 qn .例、在等比数列 an 中， Sn 为其前 n 项和，若 S3013S10 , S10S30140 ，则 S20 的值为 _（答： 40）（ 4）若 an 是等比数列， 则 | an | 、 kan 成等比数列； 若 an 、bn 成等比数列， 则 anbn 、an 成等比数列；公比分别为：

10、7 a1, d ,n, an , Sn 知三求二 ,可考虑统一转化为两个基本量a1, d ; 或利用数列性质 ,8、巧设元：三数 : a / d ,a, ad ,四数： a / 3d, a / d, a. d , a 3d9、非零常数 列既是等比数列，又是等差数列 . 故常数数列 an 是此数列既成等差数列又成等 比数列的条件 .例、设数列 an 的前 n 项和为 Sn（ nN ）， 关于数列an有下列三个命题：若anan 1( nN) ，则an既是等差数列又是等比数列；若Sn a n2、R，则an是等差数列；若Sn11n，则 an 是等比数列。b n ab这些命题中，真命题的序号是10、正数

11、列 an 成等比，则数列 log a a n ( a 1)成等差数列；若数列 a n 成等差，则数列 a an 成等比数列；例、已知a0 且 a1，设数列 xn 满足 loga xn 11 log a xn (nN*) ，且 x1 x2x100100 ，则 x101x102x200. （答： 100a100 ）11、在 等比数 列 an 中 ，当项 数为 偶数 2n 时， S偶qS奇 ； 项数为 奇数 2n1时 ，S奇 a1qS偶 .12. 会从函数角度理解和处理数列问题.四、求通项1、等差、等比数列公式法；2、形如 an+1-a=f(n)形式，求法：累加法；n3、形如 a=a ·

12、f(n), 求法：累乘法；4、形如 a=Aa +B (AB 0) ,求法：构造法n+1nn+1n例、已知 a11,an3an 12，求 an ；已知 a11,an2an1 2n 求 an5、形如anan 1(k 0) 形式，求法： m=1时求倒数；另外可能周期数列或构造法kamn例：已知a11,anan1，求 an （答： an1）；已知数列满足a1 =1 ，3an 113n21an 1ananan 1，求 an （答： ann2）s, (n1)6、已知 S , 求 a求法：阶差法 .即利用公式a n=1注意 ：一定不要忘n ，nsnsn1,(n2)记对 n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1

13、 的情况是否符合当n2 的关系式，从而决定能否将其合并。例、已知 an 的前 n 项和满足 log 2 (Sn 1) n1，求 an （答： an3,n1）；2n,n2数列 an 满足11a21an2n5 ，求 an （答： an14, n1a1222n2n1, n）22f (1),( n1). 例、数列 an 中，7、已知a1a2anf (n)求 an，用作商法anf (n),( n2)f ( n1)a1 1, 对所有的 n2 都有 a1a2a3ann2 ，则 a3a5_（61 ）16五、数列求和的常用方法：1、公式法 ：（等差、等比数列直接用公式）常用公式： 1+2+3 += n n1n2

14、212 223 2n 2n n1 2n113 2333n 3n n1例、等比数列 an 的前 n26项和 S 2，则 a12a 22a32an2 _（答：4n1 ）；32、等差数列的绝对值的和（已知等差数列前n 项和为 Sn ） 当 a1>0,d<0时，若 ak 0,a k+1 <0, 则 :S=|a 1 |+|a2|+|a k|+|ak+1|+|a n|=1k 0,ak+1>0,则: 当 a <0,d>0时，若 a12k|+|ak+1nS=|a |+|a|+|a|+|a|=3、分组求和法 ：例、求数列31,51,71,91 ,的前 n 项和4、并项求和法4

15、81632例、 Sn1357(1)n (2 n1) （答： (1)nn ）5、倒序相加法 ：例、求证： Cn03Cn15Cn2(2n1)Cnn(n1) 2n已知 f ( x)x2，则 f (1)f (2)f (3)f (4)f ( 1)f (1)f ( 1) _1x22346、裂项相消求和, 常见类型11)11 ；1k)1 11；(2n11 (111)n(nnn1n(nk ( nn k )1)(2n 1)22n2n112)111)(n12) ； n1n1 ( n kn )n(n1)(n2 n(n1)(nkk例、求和：111（答：n）；447(3n2)(3n1)3n11在数列 an 中， an1

16、，且 S ，则 n _（答： 99）nn17、错位相减法 :适用于 anbn 其中 an 是等差数列，bn 是各项不为0 的等比数列。例、 an 为等比数列， Tnna1( n1)a22an1an ，已知 T11， T24 ，求数列n 的首项和公比； 求数列 Tn.a11q 2；n2n 1n2）； a 的通项公式 （答：，T8、通项转换法 ：先对通项进行变形，发现其内在特征，再以上求和法求和。例、求和：1111n（答：2n）121231 2 3n 1六、等比数列的前n 项和公式的常见应用题：生产部门中有增长率的总产量问题.例如，第一年产量为a ，年增长率为 r，则每年的产量成等比数列，公比为 1r .其中第 n 年产量为 a(1r ) n 1 ，且过 n 年后总产量为：aa(1 r ) a(1r ) 2.a(1r) n1a a(1r