数值计算方法试题一

1、数值计算方法试题一一、填空题（每空 1 分，共 17 分）1、如果用二分法求方程x 3x 40在区间 1,2 内的根精确到三位小数，需对分（）次。2、迭代格式 xk1xk(xk22) 局部收敛的充分条件是取值在（）。S( x)x 30x 11 ( x 1)3a(x 1) 2b( x 1) c 1 x 33、已知2是三次样条函数，则a =() ， b =（）， c =（）。4、 l 0 ( x),l 1( x), ln ( x) 是以整数点 x0 , x1 , , xn 为节点的 Lagrange 插值基函数，则nnnl k ( x)xk l j (xk )(xk4xk23)l k ( x)。k

2、 0( ) ， k 0) ，当 n 2 时 k 0(5、设 f ( x) 6x 72x43x 21和节点 xk k / 2, k0,1,2, 则 f x0 , x1 , xn 7 f 0。和6、5 个节点的牛顿 - 柯特斯求积公式的代数精度为，5 个节点的求积公式最高代数精度为。7、 k ( x) k 0 是区间 0,1 上权函数(x) x 的最高项系数为1 的正交多项式族， 其中 0 (x)1，14 (x)dxx。则 0x1 ax2b18、给定方程组ax1x2b2 ， a 为实数，当 a 满足，且 02 时，SOR迭代法收敛。yf ( x, y)9、解初值问题 y( x0 ) y0 的改进欧

3、拉法阶方法。10aA 01a10、设aa1，当 a（当其对角线元素 l ii (i1,2,3) 满足（二、选择题（每题2 分）yn01 yn hf ( xn , yn )yn 1ynh f ( xn , yn ) f ( xn 1, yn01 )2是）时，必有分解式ALLT ，其中 L 为下三角阵，）条件时，这种分解是唯一的。1、解方程组 Axb 的简单迭代格式 x(k 1)Bx (k )g 收敛的充要条件是（）。（1） (A) 1,(2)(B) 1, (3)( A)1, (4)(B) 1bf (x)dxa2、在牛顿 - 柯特斯求积公式：稳定性不能保证，所以实际应用中，当（ 1） n 8 ，

4、（ 2） n 7 ， （3） n 3、有下列数表nC i(n ) f ( xi ) 中，当系数 C i( n) 是负值时，公式的(b a) i 0）时的牛顿 - 柯特斯求积公式不使用。10 ，（4） n 6 ，x00.511.522.5f(x)-2-1.75-10.2524.25所确定的插值多项式的次数是（）。（ 1）二次；（2）三次；（ 3）四次；（4）五次yn 1ynhf ( xnh , ynh f ( xn, yn )1，试4、若用二阶中点公式24求解初值问题 y2 y, y( 0)问为保证该公式绝对稳定，步长h 的取值范围为（）。(1) 0 h2 ,(2)0 h 2 ,(3)0h2,(

5、4)0 h2三、 1、（ 8 分）用最小二乘法求形如yabx2的经验公式拟合以下数据：1925303819.032.349.073.31ex dx 时，2、（15 分）用 n8 的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）计算 0(1) 试用余项估计其误差。（ 2）用 n8 的复化梯形公式（或复化Simpson 公式）计算出该积分的近似值。四、 1、（ 15 分）方程 x 3x1 0在 x1.5 附近有根，把方程写成三种不同的等价形式（1）x1xn 11x3x 1xn 13xn1113对应迭代格式；(2)x对应迭代格式xn；（3）x1x对应迭代格式 xn 1xn31。判断迭代格式在x01.5

6、的收敛性， 选一种收敛格式计算 x1.5附近的根，精确到小数点后第三位。选一种迭代格式建立Steffensen迭代法，并进行计算与前一种结果比较，说明是否有加速效果。2、（8 分）已知方程组 AXf ，其中4324A341f3014 ，24（ 1） 列出 Jacobi 迭代法和 Gauss-Seidel 迭代法的分量形式。（ 2） 求出 Jacobi 迭代矩阵的谱半径，写出 SOR迭代法。dyy 1dx五、 1、（ 15 分）取步长 h0.1，求解初值问题y(0)1用改进的欧拉法求y(0.1) 的值；用经典的四阶龙格库塔法求y( 0.1) 的值。2、（8 分）求一次数不高于4 次的多项式 p(

7、 x) 使它满足p( x0 ) f (x0 ) , p(x1 ) f ( x1 ) , p (x0 ) f ( x0 ) , p (x1 )f( x1 ) ,p( x2 ) f (x2 )六、（下列 2 题任选一题， 4 分）1、数值积分公式形如（ 1） 试确定参数 A, B,C , D 使公式代数精度尽量高； （ 2）设 f (x)C 4 0,1 ，推导余项公1式 R(x)0 xf ( x)dxS( x) ，并估计误差。2、用二步法y f ( x, y)求解常微分方程的初值问题y( x0 )y0 时，如何选择参数0 , 1 , 使方法阶数尽可能高， 并求局部截断误差主项，此时该方法是几阶的。

8、数值计算方法试题二一、判断题：（共 16 分，每小题分）、若 A 是 n n 阶非奇异阵，则必存在单位下三角阵L 和上三角阵 U ，使 ALU 唯一成立。（）、当 n8时， Newtoncotes 型求积公式会产生数值不稳定性。（）bnAi f (xi )f ( x)dx3、形如 ai 1的高斯（ Gauss）型求积公式具有最高代数精确度的次数为2n 1。 （）210A111、矩阵012的范数A 2 。（）2aa0A0a05 、 设0 0a ，则 对 任意 实数 a 0 ， 方 程组 Ax b 都 是病 态的 。（ 用）（）6、设 ARn n ， Q Rn n ，且有 QT Q I （单位阵）

9、，则有 A 2QA 2。（）7、区间 a,b 上关于权函数 W ( x) 的直交多项式是存在的，且唯一。 （）8、对矩阵 A 作如下的 Doolittle分解：223100223A4772100b12451a1006 ，则 a, b 的值分别为 a 2， b2。（）二、填空题：（共 20 分，每小题2 分）1、设 f ( x)9x83x421x210 ，则均差f 20 ,21 ,28 _， f 30 ,31 , ,39 _。2、设函数 f ( x) 于区间 a,b 上有足够阶连续导数，p a, b 为 f ( x) 的一个 m 重零点， Newtonxk 1f ( xk )xk m迭代公式f

10、' (xk ) 的收敛阶至少是_ 阶。、区间 a, b 上的三次样条插值函数S( x) 在 a,b 上具有直到 _阶的连续导数。A724、向量 X(1, 2)T , 矩阵31，则AX 1_， cond( A)_。1f (x)dx f ( x0 )f ( x1) 具有最高的代数精确度， 则其求积5、为使两点的数值求积公式：1基点应为 x1_， x2_。6、设 A R nn ， ATA ，则 ( A) （谱半径） _ A 2。（此处填小于、大于、等于）10A211lim Ak7、设42 ，则 k_。三、简答题：（ 9 分）1、方 程 x42x在区间 1,2内 有 唯 一 根 x*， 若用

11、迭 代 公 式： xk 1ln( 4 xk ) / ln 2(k0,1,2,) ，则其产生的序列xk 是否收敛于 x* ？说明理由。2、使用高斯消去法解线性代数方程组，一般为什么要用选主元的技术？1 cos xf ( x)3、设 x 0.001，试选择较好的算法计算函数值x2。四、（ 10 分）已知数值积分公式为：hh f (0)f (h)h2 f ' (0) f ' (h)f (x)dx02，试确定积分公式中的参数，使其代数精确度尽量高，并指出其代数精确度的次数。五、（ 8 分）已知求a (a 0) 的迭代公式为：证明：对一切 k 1,2, xka ，且序列xk 是单调递减的

12、，从而迭代过程收敛。六、（ 9 分）数值求积公式精度是多少？330f ( x) dx f (1)f (2)2是否为插值型求积公式？为什么？其代数七、（ 9 分）设线性代数方程组 AXb 中系数矩阵 A非奇异， X 为精确解， b0 ，若向量 XXXrcond ( A)是 AX b 的一个近似解，残向量rb A X ，证明估计式：Xb （假定所用矩阵范数与向量范数相容） 。八、 (10 分 ) 设函数 f ( x) 在区间 0,3上具有四阶连续导数，试求满足下列插值条件的一个次数不超过3 的插值多项式 H ( x) ，并导出其余项。012012-1133九、(9 分 ) 设n ( x)是区间 a

13、, b 上关于权函数 w( x) 的直交多项式序列， xi (i 1,2, , n, n 1)为n 1 (x) 的零点，l i ( x)(i1,2, n, n1) 是 以 xi 为 基 点 的 拉 格 朗 日 (Lagrange) 插 值 基 函 数 ，bf ( x) w( x) dxa（1）当 0bn 1Ak f ( xk )为高斯型求积公式，证明：k 1n 1k, j n,kAi k ( xi ) j (xi ) 0j 时， i 1（ 2） a l k ( x)l j ( x) w( x)dx0(k j )n1bbl k2 ( x)w(x)dxw( x)dx（ 3） k 1aa十、（选做题

14、8 分）若 f (x)n 1 ( x) ( x x0 )( x x1 )( x xn ) ，xi (i 0,1, n)互异，求f x0 , x1 , x p 的值，其中p n 1。数值计算方法试题三一、（24 分）填空题(1)(2 分 ) 改变函数 f ( x)x1x(x1) 的形式，使计算结果较精确。(2) (2 分 ) 若用二分法求方程 f x 0 在区间 1,2 内的根，要求精确到第 3 位小数，则需要对分次。x12x22f x，则 f '(3)(2分 ) 设x1 x2x2x3 ,0x1S xx 2 是 3 次样条函数，则(4)(3 分)设x3ax2bxc,1(5)a=, b=,

15、 c=。1(6)(3分 ) 若用复化梯形公式计算exdx，要求误差不超过1060，利用余项公式估计，至少用个求积节点。x1 1.6x21(7)(6 分 ) 写出求解方程组0.4x1x22 的 Gauss-Seidel迭代公式(8)，迭代矩阵为，(9)此迭代法是否收敛。54A3,则A， Cond A(10)(4分)设4。(11)(2分 ) 若用 Euler 法求解初值问题 y'10 y, y 01 ，为保证算法的绝对稳定，则步长 h的取值范围为二 . (64 分)(1)(6 分 ) 写出求方程 4xcos x1 在区间 0,1 的根的收敛的迭代公式，并证明其收敛性。(2)(12 分) 以

16、 100,121,144 为插值节点，用插值法计算115 的近似值，并利用余项估计误差。(3)(10 分) 求 f x ex 在区间 0,1 上的 1 次最佳平方逼近多项式。1sin xdxIx5(4) (10 分) 用复化 Simpson 公式计算积分0的近似值，要求误差限为 0.5 10。(5) (10 分) 用 Gauss 列主元消去法解方程组：x14x22x3243x1x25x334(6)2x16x2x32713512x1211x2(7) (8 分) 求方程组1的最小二乘解。(8) (8 分) 已知常微分方程的初值问题：dy dxx y ,1x1.2(9) y(1) 2(10) 用改进

17、的 Euler 方法计算 y(12. ) 的近似值，取步长 h 0.2 。三 (12 分，在下列 5 个题中至多选做 3 个题 )(1) (6 分 ) 求一次数不超过 4 次的多项式 p(x) 满足：(2)p 115 ， p' 120 ， p'' 130 ， p 257， p' 272(3) (6 分) 构造代数精度最高的如下形式的求积公式，并求出其代数精度：11xf x dx A0 fA1 f 10(4)2101A(5)(6 分) 用幂法求矩阵11的模最大的特征值及其相应的单位特征向量，迭代至特征值的相邻两次的近似值的距离小于0.05 ，取特征向量的初始近似值

18、为1,0T。(6) (6 分) 推导求解常微分方程初值问题(7)y' xf x, y x ,a x b, y ay0(8)的形式为yi 1 yi h 0 fi1fi 1,i=1,2,N(9)的公式，使其精度尽量高，其中f ifxi , yi ,xia ih , i=0,1, ,N,(10) h b a N(11) (6 分 ) 求出用差分方法求解常微分方程的边值问题y' ' p x y' q x y r x0, a x b(12)y' a 0, y b 0所得到的三对角线性方程组。数值计算方法试题一答案一、填空题（每空1 分，共 17 分）1、（10 ）

19、 2 、（(2 ,0) (0,2 )， b =（ 3）， c =（ 122） 3 、 a =( 3 )x j ) 、 (x47!6945236.254、(1)、 (x 23 ) 5、 6、 2746 、7、 08、 a19、 210、（2 ,2）、（l ii 022二、选择题（每题2 分）1、（(2)）2、（ 1）3、（1）4、（3）三、 1、（ 8 分）解：span1, x 2 解方程组ATACAT yAT A43391AT y173.6其中33913529603179980.7C0.9255577解得：0.0501025所以 a0.9255577，b0.0501025RT f ba h2

20、f()11e010.0013022、（15 分）解：1212827681 ( x2四、 1、（ 15 分）解：（1）( x)1）3（1.5） 0.181 ，故收敛；3，( x)11（ 2）2x21（1.5） 0.171 ，故收敛；x ，（ 3）( x) 3x2，（1.5） 31.521，故发散。选择（ 1）： x01.5 ， x11.3572， x21.3309， x31.3259 ， x41.3249 ，x51.32476 ， x61.32472xk1xk( xk )xk ) 2Steffensen迭代：( ( xk )2( xk ) xk计算结果： x01.5 ， x11.324899，

21、x21.324718有加速效果。x1( k 1)1 (24 3x2(k ) )4x2(k 1)1 (303x1( k)x3(k) )4x3(k 1)1 ( 24 x2(k ) )42、（8 分）解： Jacobi 迭代法：k 0,1,2,3,）9）为满足条件x1( k 1)1 (24 3x2(k ) )4x2( k 1)1 (303x1( k1)x3(k ) )41x3(k1)(24x2(k1) )4Gauss-Seidel迭代法：k0,1,2,3,0301343BJD(LU)0445103(BJ )(或)0.790569004，84x1(k 1)(1) x1( k)4( 24 3x2(k )

22、 )x2(k 1)(1) x2(k)4(30 3x1( k 1)x3(k) )x3( k 1)(1)x3(k )( 24 x2(k 1) )4SOR迭代法：k0,1,2,3,yn(0)1ynhf ( xn , yn ) 0.9yn0.1五、 1、（ 15 分）解：改进的欧拉法：yn 1ynh f ( xn , yn )f (xn 1 , yn(0)1 )0.905 yn 0.0952所以 y(0.1)y11 ；经典的四阶龙格库塔法：yn 1ynh k12k22k3k4 6k1k2f ( xnk3f ( xnk4f ( xn2、（8 分）解：设则p( x) H 3 (x)f (xn , yn )

23、h , ynh k1 )22h , ynh k 2 )22h, ynhk3 )H 3 (x)k( xx0 ) 2 (xk1k2 k3k40 ，所以 y(0.1) y11 。H 3 (xi )f ( xi )H 3 ( xi ) f( xi ) i0,1的 Hermite插值多项式，x1 ) 2代入条件 p( x2 )f (x2 ) 得：六、（下列2 题任选一题， 4 分）37111、解：将 f (x) 1, x, x2 , x3分布代入公式得：A20, B20 ,B30, D20H 3 ( xi )f (xi )构造 Hermite 插值多项式 H 3(x) 满足 H 3 ( xi )f( x

24、i ) i0,1其中 x00, x1 1则有：1xH 3 ( x) dx S( x) ，f ( x) H 3 ( x)f (4 ) ( ) x2 ( x 1) 204!2、解：101001101011103所以 2225 h3 y (xn )该方法是二阶的。主项： 12数值计算方法试题二答案一、判断题：（共 10 分，每小题分）1、（）2、（）3、（）4、（）5、（）6、（）7、（）8、（）二、填空题：（共 10 分，每小题 2 分）1、 91, 18! 、0 2 、_二 _ 3 、 _二 _4、 _16 、90_5、336、=7、 0三、简答题：（ 15 分）1、 解：迭代函数为 (x)ln

25、( 4 x) / ln 22、 答： Gauss消去法能进行到底的条件是各步消元的主元素akk(k ) 全不为 0，如果在消元过程中发现某个主元素为0，即使 det( A)0 ，则消元过程将无法进行；其次，即使主元素不为 0，但若主元素 a (kkk ) 的绝对值很小，用它作除数，将使该步消元的乘数绝对值很大，势必造成舍入误差的严重扩散，以致于方程组解的精确程度受到严重影响，采用选主元的技术， 可避免主元素 akk(k ) =0 或 a(kkk) 很小的情况发生， 从而不会使计算中断或因误差扩大太大而使计算不稳定。3、 解：四、解：cos x 1x2x 4( 1) n x2n2!4!(2n!

26、)f ( x)1显然精确成立；hh2h 0h2 1xdxh1f (x)x 时， 0；22h2h3h22h31f ( x)x2时， 0xdx320hh02h22 h12 ；h3h4h3122 ；f ( x)x3时， 0xdx420h12h03hh4h5h4123h5f ( x)x4时， 0xdx520h12h04h6 ；所以，其代数精确度为3。xk 11 (xka )12xkaak0,1,2五、证明：2xk2xk故对一切 k1,2, xka 。xk 11a11)1又 x k(12 )(1所以 xk 1xk ，即序列 xk是单调递减有下界，2xk2从而迭代过程收敛。p( x)x2x1六、解：是。因

27、为 f ( x) 在基点 1、 2 处的插值多项式为12f (1)f (2)2133 f (1)f ( 2)p( x) dx02。其代数精度为 1。七、证明：由题意知： AXb, A XbrAXbbAXA X1AXb又XXAA1 rAcond (A)Xbb所以。八、解：设 H (x)N 2 ( x)ax( x1)( x2)H (x)12 x1 x( x1) ax( x 1)( x2)所以2由 H '(0)3 得： a14H (x)1 x35 x 23x 1所以44令 R(x) f (x)H (x) ，作辅助函数 g (t)f (t )H (t)k( x)t 2 (t1)(t2)则 g(

28、t ) 在 0,3上也具有4 阶连续导数且至少有4 个零点： tx,0,1，2反复利用罗尔定理可得：k ( x)f(4)( )4!，(g( 4) ()0)R( x) f ( x)H ( x)k (x) x2( x1)( x2)f ( 4 ) ()2( x1)( x2)4!x所以bn1f ( x )w ( x )dxAk f ( x k )九、证明：形如 ak1的高斯（ Gauss）型求积公式具有最高代数精度 2n+1 次，它对 f (x) 取所有次数不超过2n+1 次的多项式均精确成立n 1bAik ( xi ) j (xi )k (x)j ( x)w( x) dx 0a1） i 1li ( x j )0ij2）因为 l i1ij(x) 是 n 次多项式，且有bn 1l k ( x)l j ( x)w( x)dxAi l k ( xi )l j ( xi )0kj )所以 ai1(3）取 f ( x) l i2 ( x) ，代入求积公式：因为l i2 ( x) 是 2n 次多项式，bn1Aj l i ( x j ) 2li (x)w( x) dxAia所以j1故结论成立。十、解：数值计算方法试题三答案一.(24分)f1xx (2) (2(1) (2 分)x 1分) 102x12 x2(3) (2分)x2x1(4) (