数学建模试题

1、2012-2013 第一学期数学建模试题卷班级： 2010 级 统计姓名：石光顺学号： 20101004025成绩：一、用 Matlab 求解以下优化问题（ 10分）用Matlab 求解下列线性规划问题：解：首先化 Matlab 标准型，即121x111 ，x24123x3然后编写 Matlab 程序如下：f=-3,1,1;a=1,-2,1;4,-1,-2;b=11,-3;aeq=-2,0,3;beq=1;x,y=linprog(f,a,b,aeq,beq,zeros(3,1);x,y=-y运行结果：x =0.00002.33330.3333y =-2.6667即当 x10, x22.3333

2、, x30.3333 时， max z2.6667。二、求解以下问题，列出模型并使用Matlab 求解（ 20分）某厂生产三种产品I，II ，III 。每种产品要经过A, B 两道工序加工。设该厂有两种规格的设备能完成A 工序，它们以 A1, A2 表示；有三种规格的设备能完成B 工序，它们以B1, B2, B3 表示。产品I 可在A, B 任何一种规格设备上加工。产品II 可在任何规格的A 设备上加工，但完成B 工序时，只能在B1设备上加工；产品III 只能在A2 与 B2 设备上加工。已知在各种机床设备的单件工时，原材料费，产品销售价格，各种设备有效台时以及满负荷操作时机床设备的费用如表1

3、，求安排最优的生产计划，使该厂利润最大。表 1解：（ 1）根据题意列出所有可能生产产品I 、 II 、III的工序组合形式，并作如下假设：按 (A1，B1)组合生产产品 I ，设其产量为 x1 ; 按 (A1，B2)组合生产产品 I ，设其产量为 x2 ; 按 (A1，B3)组合生产产品 I ，设其产量为 x3 ; 按 (A2，B1)组合生产产品 I ，设其产量为 x4 ; 按 (A2，B2)组合生产产品 I ，设其产量为 x5 ; 按 (A2，B3)组合生产产品 I ，设其产量为 x6 ; 按 (A1，B1)组合生产产品 II ，设其产量为 x7 ; 按 (A2，B1)组合生产产品 II ，

4、设其产量为 x8 ; 按 (A2，B2)组合生产产品 III ，设其产量为 x9 ;则目标函数为：约束条件为：目标函数整理得：（2）用 Matlb 程序求解目标函数，编写程序如下：f=-0.37;-0.31;-0.40;-0.34;-0.34;-0.43;-0.65;-0.86;-0.68;a=5,5,5,0,0,0,10,0,00,0,0,7,7,7,0,9,126,0,0,6,0,0,8,8,00,4,0,0,4,0,0,0,110,0,7,0,0,7,0,0,0;b=6000;10000;4000;7000;4000;x,y=linprog(f,a,b,zeros(9,1);x,y=-y

5、输出结果为：x =0.0000762.7155437.28450.000095.9051134.14410.0000500.0000324.1379y =1.1521e+003即当可以获得最大利润1152 元。三、使用图论知识求解下面问题，并使用Matlab 求解（ 20 分）北京（ Pe）、东京 (T) 、纽约 (N) 、墨西哥城 (M) 、伦敦 (L) 、巴黎 (Pa) 各城市之间的航线距离如表 2。表2由上述交通网络的数据确定最小生成树。解：（1）根据表 2得北京（ Pe）、东京 (T) 、纽约 (N) 、墨西哥城 (M) 、伦敦 (L) 、巴黎 (Pa) 之间的无向连线图如下：（2）用

6、 prim 算法求上图的最小生成树用 result 3 n 的第一、二、三行分别表示生成树边的起点、终点、权集合。Matlab 程序如下：a=zeros(6);a(1,2)=56;a(1,3)=35;a(1,4)=21;a(1,5)=51;a(1,6)=60;a(2,3)=21;a(2,4)=57;a(2,5)=78;a(2,6)=70;a(3,4)=36;a(3,5)=68;a(3,6)=68;a(4,5)=51;a(4,6)=61;a(5,6)=13;a=a+a'a(a=0)=inf;result=;p=1;tb=2:length(a);while size(result,2)=l

7、ength(a)-1temp=a(p,tb);temp=temp(:);d=min(temp);jb,kb=find(a(p,tb)=d);j=p(jb(1);k=tb(kb(1);result=result,j;k;d;p=p,k;tb(find(tb=k)=;endresult输出结果为：result =11315432562135215113由输出结果可知最小生成树的边集为 v1v4 , v1v3 ,v3v2 , v1v5 ,v5v6 , 且有v1v4 21,v1v3 35, v3v2 21,v1v551,v5 v613 。最小生成树的值为 sum=v1v3v3v2 v1v5 v5v6

8、141。v1v4该图的最小生成树如下图：四、综合题（ 50分）飞机降落曲线在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线（图1）.图 1根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条五次多项式 .飞行的高度为 h ，飞机着陆点 O 为原点，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数 u .出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ，此处 g 是重力10加速度 . 1. 若飞机从距降落点水平距离s 处开始降落，试确定出飞机的降落曲线. 2.求开始下降点 s 所能允许的最小值 .关于飞机降落曲线的研究摘要飞机的降落过程是飞机技术人员十分关注的一个问题， 为了能够实现飞机

9、安全降落着地， 本文采用待定系数法首先对飞机的降落曲线作出相应的假设，然后对飞机在降落过程中作出合理的假设，利用微分学复合函数的求导法则，确定出了符合实际的飞机降落曲线以及飞机在一定的高空中开始降落时距离着地点的最小水平距离。关键词 ：微分学 复合函数求导竖直加速度一、问题重述经验表明，水平飞行的飞机，其降落曲线为一条五次多项式 . 飞机的飞行高度为 h ，着陆点为原点 O ，且在这个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数 u . 现考虑飞机能够安全着陆，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ，其中 g 是重力加速度 . 若飞机从距降落点水平距离s 处开10始降落，试解决以下两个问题：问题一

10、：确定出飞机的降落曲线.问题二：开始下降点s 所能允许的最小值。二、模型假设与符号约定2.1 、模型假设1.飞机的降落曲线为 y a0 a1 x a2 x2a3 x3a4 x4a5 x5(0 x s) ；2.飞机自身的高度不计；3.飞机降落过程中垂直加速度的最大绝对值不得超过g ；104. 飞机降落过程中，都保持水平飞行姿态；5. 为了能够保证飞机安全着陆，假设有飞机开始降落时竖直方向的加速度与速度大小均为 0，飞机在原点着地时竖直方向上的加速度与速度大小也为 0.2.2 、符号说明1. h ：飞机开始降落时的竖直高度；2. u ：飞机降落过程中的水平恒定速度；3. s ：飞机开始降落时与着陆

11、点 o 的水平距离；4. y : 飞机降落过程中与地面的竖直高度 ;5. x ：飞机降落过程中与着陆点 o 的水平距离；26. d 2y ：飞机降落过程中竖直方向的加速度； dt7. dy ：飞机降落过程中竖直方向的速度。dt三、问题分析本模型主要是对飞机降落曲线进行模拟，以便更好的预测飞机开始降落到着陆点的水平距离，为飞机驾驶员提供一定的数据支撑，以此避免发生不必要的危险。飞机降落过程中， 都保持水平飞行姿态，能过让乘客感觉不到有任何的不适；在模型中采用待定系数法，列出飞机的飞行曲线，并根据飞机的竖直加速度的最大绝对值不能超过g ，以此求解 s 的最小值。10四、模型建立与求解4.1、问题一

12、模型建立与求解根据微分学中复合函数求导法则有：飞机在竖直方向的速度大小dydy dxy '( x) u ；dtdx dtd2yd( dy)飞机在竖直方向的加速度大小dty ''(x)u2.dt2dt由假定飞机降落曲线为 y a0a1 xa2 x2a3 x3a4 x4a5 x5 得：根据模型假设以及飞机从高度为h 的高空开始降落时，距降落点（原点O）水平距离为 s ，飞机在降落的过程中保持水平；有a00a10即a0a1s a2s2a3 s3a4 s4a5s5hu(a12a2s 3a3 s24a4 s35a5 s4 )02a2u 20u2 (2a26a3 s12a4 s22

13、0a5 s3 ) 0解得： a0 0, a1 0, a2 0, a310h3 , a415h4, a56h5 .sss因此，飞机的降落曲线为：y10hx315h46hx5x 0, s .s34x5ss4.2 、问题二的模型建立与求解由问题一飞机的降落曲线为y10h3 x315h4x46h5x5x 0, s ，则飞机在竖直方向的加速度sssd 2 y60h2180h2x2120h2 3；dt23uxs4us5u xs记 a(x)d 22y . 则dt令 a '(x)60h3u2360h4u2 x360h5 u2 x20 得：sss当 x133 s 时， a( x) 在 0, s 上取得最

14、大值10hu2 ；63s2当 x2363s 时， a(x) 在 0, s 上取得最小值10hu2 .3s2即飞机在降落过程中的最大加速度的绝对值| a( x) |10 2hu2 .3s于是根据题目要求有所以 su100h10u3h.3g3g即开始下降点 s 所能允许的最小值为 10u3h .3g五、模型检验由上述设计可知在飞机的降落曲线为一个五次多项式与实际相符，飞在机开始降落距离着地点的水平距离s10u3h的情况下，竖直方向上的加速度不超过g（远小于重力加速度g），所以3g10在降落曲线为该五次多项式下飞机的降落过程是安全的。六、模型的评价优点：飞机在降落过程中，考虑比较全面，利用微分的知识解决了相关问题；模型假设合理，基本上符合实际，具有可推广型。缺点：不能很直观地看出模型。参考文献：1 欧阳光中 朱学炎 金福临 陈传璋，数学分析 3 版，北京：高等教育出版社， 2007.4.2 赵静 但琦，数学建模与数学实验 3 版，北京：高等教育出版社， 2008.1.第四题分以下几部分完成1. 论文题目；2. 论文摘要（不得超过 300 字）3. 关键词（不得少于三个）4. 论文正文：问题提出（按你的理解对所给题目做更清晰的表述） ；问题分析（根具问题的性质，你打算建立什么样的数学