626刚体的定轴转动PPT课件

1、 4-1刚体的定轴转动刚体的定轴转动 4-2力矩转动定律转动惯量力矩转动定律转动惯量 4-3力矩的功定轴转动的动能定理力矩的功定轴转动的动能定理 4-4角动量角动量守恒定律角动量角动量守恒定律本章教学内容本章教学内容第1页/共65页 一一 理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌理解描写刚体定轴转动的物理量，并掌握角量与线量的关系握角量与线量的关系. 二二 理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕理解力矩和转动惯量概念，掌握刚体绕定轴转动的转动定理定轴转动的转动定理. 三三 理解角动量概念，掌握质点在平面内运理解角动量概念，掌握质点在平面内运动以及刚体绕定轴转动情况下的角动量守恒问题动以及刚体绕定轴转动情

2、况下的角动量守恒问题. 五 能运用以上规律分析和解决包括质点和刚体的简单系统的力学问题. 四 理解刚体定轴转动的转动动能概念，能在有刚体绕定轴转动的问题中正确地应用机械能守恒定律.第2页/共65页全章的教学始终以进行。由力矩的定义及牛顿第二定律导出刚体绕定轴转动的转动定律,并与牛顿第二定律类比教学。 力矩的功与力的功类比;刚体的转动动能与质点的平动动能类比; 刚体的角动量定理及角动量守恒定律与质点(系)的角动量定理及角动量守恒定律类比;刚体绕定轴转动的机械能守恒定律与质点的机械能守恒定律类比。 第3页/共65页1.刚体的运动刚体的运动 在讨论问题时可以忽略由于受力而引起的形状和体积的改变的理想

3、模型。 刚体在运动中，其上任意两点的连线始终保持平行。AA A BB B 一一.刚体定轴转动刚体定轴转动运动学运动学对点、对轴（只讨论定轴转动）O转轴(定轴转动)质心的平动+绕质心的转动 各质元的线量一般不同（因为半径不同）但角量（角位移、角速度、角加速度）都相同。第4页/共65页 AA2.描述刚体转动的物理量描述刚体转动的物理量对定轴转动的刚体可选取垂直于转轴的一个平面进行研究.xo Pr 转动平面点P(r, )的转动可代表整个刚体的转动.描述点P转动的物理量为:(1). 角坐标角坐标 (t)一般规定逆时针转动为正.定义:dtd 单位: rad/s逆时针转动时， 0顺时针转动时 ， 0顺时针

4、转动时 ， 0(2).角速度角速度第6页/共65页, 刚体作加速转动; 反之减速转动.加速转动方向一致减速转动方向相反 定轴转动时 方向只需用正负表示:3.刚体刚体匀变速转动匀变速转动当为常量时有:20 质点作匀变速直线运动公式.类似于角速度矢量角速度矢量 刚体定轴转动时,只需用正负来表示方向.角速度方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法则确定。(3).角加速度角加速度定义:单位: rads-2dtd第7页/共65页0t 20012tt 22002 () 对点P有考虑 v , r , 都是矢量rv r v Pdarrdt ()nar, 刚体作加速转动; 反之减速转动.加速转动方向一致减速转动方向

5、相反 定轴转动时 方向只需用正负表示:3.刚体刚体匀变速转动匀变速转动当为常量时有:20 质点作匀变速直线运动公式.类似于第8页/共65页v = r tdvdarrdtdt 2 ran 一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动. 开始时它的角速度 0=0,经过300秒后,角速度 =18000转/分.已知其角加速度与时间成正比.问在这段时间内,转子转过多少转?0t 20012tt 22002 () 对点P有考虑 v , r , 都是矢量rv r v Pdarrdt ()nar第9页/共65页 已知 = Ct即:tdtdC d = Cdt ttdtd00C 2C21t 由条件 t=300s 时

6、1-srad60060218000 753006002222 tCv = r tdvdarrdtdt 2 ran 一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动. 开始时它的角速度 0=0,经过300秒后,角速度 =18000转/分.已知其角加速度与时间成正比.问在这段时间内,转子转过多少转?第10页/共65页再由:dtd dttdtd2150 积分 002150tdttd3450t 在0300s内, ,转过的230045022 N= 3 104 转2150t 为 已知 = Ct即:tdtdC d = Cdt ttdtd00C 2C21t 由条件 t=300s 时1-srad6006021800

7、0 753006002222 tC第11页/共65页二二 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩ZfrPdOzM 转动 平面 frMz sinfrMz 满足右手法则.（1） 外力在转动平面内外力在转动平面内 ( sin )frf r 只有切向分力才可能改变转动状态。即：再由:dtd dttdtd2150 积分 002150tdttd3450t 在0300s内, ,转过的230045022 N= 3 104 转2150t 为第12页/共65页 只有在转动平面内的力 才能产生转动, ,才能改变 刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内（

8、3）外力产生的合力矩）外力产生的合力矩nMMMM 21对定轴定轴转动:nMMMM 21 合力矩是各分力产生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩二二 刚体定轴转动动力学刚体定轴转动动力学 1、力对转轴的力矩、力对转轴的力矩ZfrPdOzM 转动 平面 frMz sinfrMz 满足右手法则.（1） 外力在转动平面内外力在转动平面内 ( sin )frf r 只有切向分力才可能改变转动状态。即：第13页/共65页由于成对内力大小相等,方向相反，则其力臂必相同.故力矩大小相等. 一对内力对转轴的合力矩为零.故: 半径为R,质量为m的均匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动,盘与桌面

9、间的摩擦系数为 ,求转动中的摩擦力矩的大小. 只有在转动平面内的力 才能产生转动, ,才能改变 刚体定轴转动的转动状态。（2）外力不在转动平面内）外力不在转动平面内（3）外力产生的合力矩）外力产生的合力矩nMMMM 21对定轴定轴转动:nMMMM 21 合力矩是各分力产生的力矩的代数和.(4)一对内力对转轴的力矩一对内力对转轴的力矩第14页/共65页设盘厚度为h,以盘轴心为圆心取半径为r, 宽为dr的微圆环,其质量为h0drrdrRmr22dm=dvrdrhhRm22它对桌面的为:由于成对内力大小相等,方向相反，则其力臂必相同.故力矩大小相等. 一对内力对转轴的合力矩为零.故: 半径为R,质量

10、为m的均匀圆盘在水平桌面上绕中心轴转动,盘与桌面间的摩擦系数为 ,求转动中的摩擦力矩的大小.第15页/共65页drRmgrgdmdN22与桌面间的为:32312RRmgRdrrRmgdMM0222rdrRmgdNdf22090sinrdfdM 该摩擦力的为:mgR32drrRmg222设盘厚度为h,以盘轴心为圆心取半径为r, 宽为dr的微圆环,其质量为h0drrdrRmr22dm=dvrdrhhRm22它对桌面的为:第16页/共65页2. 转动定律转动定律(定轴定轴)恒矢量恒矢量则则, 0 iM若zOrifiFi mi i i与桌面间的为:32312RRmgRdrrRmgdMM0222rdrR

11、mgdNdf22090sinrdfdM 该摩擦力的为:mgR32drrRmg222第17页/共65页设刚体中质元 mi受外力Fi ,内力fi 作用法向力的力矩为零.iiiiamfF 对 mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fisin i+fisin i= miait外力矩内力矩两边乘以riait=ri 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 2. 转动定律转动定律(定轴定轴)恒矢量恒矢量则则, 0 iM若zOrifiFi mi i i第18页/共65页：iiiiiiiirfrFsinsiniiirm2 Fi sin i =（ mi ri2） ir内力力矩和为零，则有 2iirmJJM 矢量式

12、 JM 上式为设刚体中质元 mi受外力Fi ,内力fi 作用法向力的力矩为零.iiiiamfF 对 mi用牛顿第二定律：切向分量式为：Fisin i+fisin i= miait外力矩内力矩两边乘以riait=ri 2sinsiniiiiiiiirmrfrF 第19页/共65页(1)(1)定轴转动时M.JM.J均为代 数量. .式中必 须对同一定轴而言。（2 2）定律具有矢量性和 瞬时性。(3) ,iiiMMM 先先求求再再求求 m反映质点的平动惯性，（4 4）amF 地位相当 JM 与J反映刚体的转动惯性：iiiiiiiirfrFsinsiniiirm2 Fi sin i =（ mi ri2

13、） ir内力力矩和为零，则有 2iirmJJM 矢量式 JM 上式为第20页/共65页由转动惯量的定义知: 2iirmJ它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和.:iiirmJ2三三.转动惯量转动惯量(1)(1)定轴转动时M.JM.J均为代 数量. .式中必 须对同一定轴而言。（2 2）定律具有矢量性和 瞬时性。(3) ,iiiMMM 先先求求再再求求 m反映质点的平动惯性，（4 4）amF 地位相当 JM 与J反映刚体的转动惯性第21页/共65页的刚体: dmrJ2单位:kgm2dldmdsdmdVdm质量为质量为质量为其中 分别为质量的、和。由转动惯量的定义知: 2iirm

14、J它是刚体中各质元的质量与各质元到转轴的距离平方的乘积之和.:iiirmJ2三三.转动惯量转动惯量第22页/共65页 一质量为m, 长为l 的均匀长棒. 求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量. 建立如图坐标系xOdxx在x处取长为dx的质元dxlmdxdm dxxdmxdJ22 2/2/2lldxxJ 3121l 2121ml 的刚体: dmrJ2单位:kgm2dldmdsdmdVdm质量为质量为质量为其中 分别为质量的、和。第23页/共65页xO ldxxJ02 231ml 用JC表示刚体过质心的转动惯量JC2121ml cdd=l /2231ml 222121 lmmlJ 一质量为m, 长

15、为l 的均匀长棒. 求通过棒中心并与棒垂直的轴的转动惯量. 建立如图坐标系xOdxx在x处取长为dx的质元dxlmdxdm dxxdmxdJ22 2/2/2lldxxJ 3121l 2121ml 第24页/共65页 JC是刚体通过质心的转动惯量, d是过质心的转轴到另一平行转轴的距离.2mdJC2mdJJC 求质量为m,半径为R的细圆环或匀质圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量.xO ldxxJ02 231ml 用JC表示刚体过质心的转动惯量JC2121ml cdd=l /2231ml 222121 lmmlJ 第25页/共65页 2iirmJ 222mRmRRmii 或 dmRdmrJ

16、2222mRdmR （不计厚度） 细圆环的质量可认为全部集中在半径为 R 的圆周上 , 故2JmR JC是刚体通过质心的转动惯量, d是过质心的转轴到另一平行转轴的距离.2mdJC2mdJJC 求质量为m,半径为R的细圆环或匀质圆盘绕通过中心并与圆面垂直的转轴的转动惯量.第26页/共65页rdr在r 处取宽为dr 的细圆环设质量面密度2Rm 细环元的面积: S=2 rdr则 dm = dS = 2 rdrdrrdmrdJ322 RdrrdJJ032 4241R 221mR 2iirmJ 222mRmRRmii 或 dmRdmrJ2222mRdmR （不计厚度） 细圆环的质量可认为全部集中在半径

17、为 R 的圆周上 , 故2JmR 第27页/共65页1. 与刚体的体密度 有关(几何形状简单,则与质量m有关)2. 与刚体的几何形状(及体密度 的分布)有关.3.与转轴的位置及转轴的取向有关.定义: 22GiimrrmJ rG 叫刚体的回转半径rdr在r 处取宽为dr 的细圆环设质量面密度2Rm 细环元的面积: S=2 rdr则 dm = dS = 2 rdrdrrdmrdJ322 RdrrdJJ032 4241R 221mR 第28页/共65页 下图所示刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？( (棒长为L L、圆半径为R R）2131LmJLL 252RmJoo 2002002)

18、(RLmJdmJJLLmOm222)(5231RLmRmLmooL12LLJJJ 1. 与刚体的体密度 有关(几何形状简单,则与质量m有关)2. 与刚体的几何形状(及体密度 的分布)有关.3.与转轴的位置及转轴的取向有关.定义: 22GiimrrmJ rG 叫刚体的回转半径第29页/共65页刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用细杆长为l, 质量为m ,求从竖直位置由静止转到 角时的角加速度和角速度.O PNl 细杆受力P 和N1sin2pNMMmgl 下图所示刚体对经过 棒端且与棒垂直的轴的转动惯量如何计算？( (棒长为L L、圆半径为R R）2131LmJLL 252RmJoo 20

19、02002)(RLmJdmJJLLmOm222)(5231RLmRmLmooL12LLJJJ 第30页/共65页 Jmgl sin21而231mlJ 于是 sin23lgdtd 利用 dddtddddtd dlgdsin23 有利用 t=0, 0=0, 0=0刚体定轴转动定律的应用刚体定轴转动定律的应用细杆长为l, 质量为m ,求从竖直位置由静止转到 角时的角加速度和角速度.O PNl 细杆受力P 和N1sin2pNMMmgl 第31页/共65页积分: 00sin23dlgd在 角时,角速度为)cos1(3 lg Jmgl sin21而231mlJ 于是 sin23lgdtd 利用 dddtd

20、dddtd dlgdsin23 有利用 t=0, 0=0, 0=0第32页/共65页定轴ORthmv0=0绳mgT ma TGNMf实验测出： R, m1, h, t1, m2, t2)1(:maTmgm 对对)2(: JMTRf 对飞轮对飞轮由运动学关系)3( Ra )4(212ath 第33页/共65页联立上四个方程:2211/0156. 02smtha N3 .78)(111 agmT)5()(11aRMRTJf 对第一次测量其中对第二次测量23222/104 . 62smtha N2 .39)(222 agmT)6()(22aRMRTJf 其中mgT ma TGNMf)1(:maTmg

21、m 对对)2(: JMTRf 对飞轮对飞轮由运动学关系)3( Ra )4(212ath 第34页/共65页21212()R TTJaa 联立(5)(6)式得a= rMg-T=maTr=JMg r=J (J=Mr2/2)abmm联立上四个方程:2211/0156. 02smtha N3 .78)(111 agmT)5()(11aRMRTJf 对第一次测量其中对第二次测量23222/104 . 62smtha N2 .39)(222 agmT)6()(22aRMRTJf 其中第35页/共65页xOPrdd rF 1、力矩的功力矩的功|cosrdFrdFdW rdF cos tFFcos MddW

22、一一.刚体转动的动能定理刚体转动的动能定理MrFcos MdW力矩作功是力作功的角量表达式2、转动动能、转动动能iiiKvmE221所有质元的动能之和为：22221)(21Jrmiiiiiirm2)(21第36页/共65页212kEJ 3、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：dtdtdJ21ddtdJ2121Md21222121 JJ 21 dJ或由 MdW力矩作功是力作功的角量表达式2、转动动能、转动动能iiiKvmE221所有质元的动能之和为：22221)(21Jrmiiiiiirm2)(21第37页/共65页dMJJdtdddJJddtd 当=1时，=1 2121dJdM21

23、22212121JJdM21222121 JJ 212kEJ 3、定轴转动的动能定理、定轴转动的动能定理力矩做功：dtdtdJ21ddtdJ2121Md21222121 JJ 21 dJ或由第38页/共65页合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：iighm iiiPhgmE 重整个刚体：dMJJdtdddJJddtd 当=1时，=1 2121dJdM2122212121JJdM21222121 JJ 第39页/共65页 一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。 对于含有刚体的系统,

24、,则此系统的机械能守恒。212cEJmgh 常常量量5.刚体的刚体的机械能守恒机械能守恒定律定律:ciiimghhmg )( 合外力矩对定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。4、刚体的重力势能、刚体的重力势能hhihcxOmCm一个质元：iighm iiiPhgmE 重整个刚体：第40页/共65页1. 质点的角动量质点的角动量定义: 质点m对点O的prL vmrOxyzrv d moxyzLrmvijkxyzmvmvmv 注意:(1) L 是矢量.(2)质点的角动量是对参考 点而言的.(3)其大小可以表达为 大小: 方向满足.第41页/共65页 质点在平面上作圆周运动,质点对O的角动量大

25、小为:zov mr若考虑方向有 JmrL 22. 质点的角动量定理质点的角动量定理dtvmdF)( oxyzLrmvijkxyzmvmvmv 注意:(1) L 是矢量.(2)质点的角动量是对参考 点而言的.(3)其大小可以表达为 大小: 方向满足.第42页/共65页用r 叉乘上式两边)(vmdtdrFr vmdtrdvmdtdrvmrdtd )()(且0 vvvdtrd故作用于质点的合力对参考点O的力矩 , 等于质点对该点O的角动量对时间的变化率.则)(vmrdtdFr 而vmrL FrM , ,tLMdd 质点在平面上作圆周运动,质点对O的角动量大小为:zov mr若考虑方向有 JmrL 2

26、2. 质点的角动量定理质点的角动量定理dtvmdF)( 第43页/共65页上式还可写为LtMdd M dt 叫。积分形式:1221LLdtMtt 对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.1.M1.M和L L应对同一参考点。2.2.定律只适用于惯性系。用r 叉乘上式两边)(vmdtdrFr vmdtrdvmdtdrvmrdtd )()(且0 vvvdtrd故作用于质点的合力对参考点O的力矩 , 等于质点对该点O的角动量对时间的变化率.则)(vmrdtdFr 而vmrL FrM , ,tLMdd 第44页/共65页3. 质点的角动量守恒

27、定质点的角动量守恒定律律若 M = 0, 则恒矢量恒矢量 vmrL即当质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.iiiioFoF;注意 如。 F / r但过参考点( )( )上式还可写为LtMdd M dt 叫。积分形式:1221LLdtMtt 对同一参考点对同一参考点O,质点所质点所受的冲量矩等于质点角动受的冲量矩等于质点角动量的增量量的增量.1.M1.M和L L应对同一参考点。2.2.定律只适用于惯性系。第45页/共65页质点在同样外力作用下，对某参考点力矩为零，而对另一参考点力矩不为零，如圆锥摆对圆心o角动量守恒, 而对悬点角动量不守恒。3. 质点的角动量守恒

28、定律质点的角动量守恒定律若 M = 0, 则恒矢量恒矢量 vmrL即当质点所受对参考点O的合力矩为零时,质点对该参考点O的角动量为一恒矢量.iiiioFoF;注意 如。 F / r但过参考点( )( )第46页/共65页如图所示,一半径为R的光滑圆环置于竖直平面内, 有一质量为m的小球穿在圆环上, 并可在圆环上滑动. 小球开始静止于圆环上的A点(该点通过环心O的水平面上), 然后从点A开始下滑.设小球与圆环间的摩擦略去不计.求小球滑到点B时对环心O的角动量和角速度. ARO B A OPTv小球受重力P,支持力T 作用为:tLMdd 由(方向向里)M = mgR cos 第47页/共65页有d

29、tdLmgR cos又dtd dgRmLdLcos32 2dmRdtdL 2mRL , ,由: t=0, 0= 0, L0= 0 LdgRmLdL0032cos sin21322gRmL 即 sin2132242gRmRm ARO B A OPTv小球受重力P,支持力T 作用为:tLMdd 由(方向向里)M = mgR cos 第48页/共65页2/1sin2 Rg4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图刚体上的一个质元 mi 对z轴(或O点)的角动量为Zivirim iiiiiimrvmrL2 JL 有dtdLmgR cos又dtd dgRmLdLcos32 2dmRdtdL 2mR

30、L , ,由: t=0, 0= 0, L0= 0 LdgRmLdL0032cos sin21322gRmL 即 sin2132242gRmRm 第49页/共65页刚体对z轴的角动量 iiiirmLL 2 J 5.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元i)(2 iiiirmdtddtdLM 内内外外iiiMMM 外外内内外外iiiiMMMM对所有质元求和: )(iiLdtdMM外外而刚体的内力矩和为零.2/1sin2 Rg4.刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量如图刚体上的一个质元 mi 对z轴(或O点)的角动量为Zivirim iiiiiimrvmrL2 JL 第50页/共

31、65页刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.由)( JdtddtdLM 当J为恒量时 JdtdJM 转动定律的另一种表达形式.)( Jdtd dtdL 刚体对z轴的角动量 iiiirmLL 2 J 5.刚体定轴转动的角动量定理刚体定轴转动的角动量定理对质元i)(2 iiiirmdtddtdLM 内内外外iiiMMM 外外内内外外iiiiMMMM对所有质元求和: )(iiLdtdMM外外而刚体的内力矩和为零.第51页/共65页再看 : Mdt = dL两边积分:21121LttLMdtdLLL1122 JJ ttMdt1作用在物体上的等于物体角动量的增量

32、.刚体绕某定轴转动时,作用于刚体的合外力矩等于刚体绕此定轴的角动量随时间的变化率.由)( JdtddtdLM 当J为恒量时 JdtdJM 转动定律的另一种表达形式.)( Jdtd dtdL 第52页/共65页6.刚体的角动量守恒定刚体的角动量守恒定律律如: M=0, 则有:L = J = 恒量即：1. 当J = 恒量, J = J 0 , 则 = 0 ,如:回转仪, 定向装置.再看 : Mdt = dL两边积分:21121LttLMdtdLLL1122 JJ ttMdt1作用在物体上的等于物体角动量的增量.第53页/共65页2 J = J 0 如: 滑冰运动员旋转时两臂收拢转速快。在有心力作用

33、下的质点其角动量守恒.如:天体的运动,电子的绕核运动,合外力都不为零,则动量不守恒,但角动量守恒.若刚体由几部分组成, 角动量守恒时,如一部 分运动,则其它部分必 反向运动.6.刚体的角动量守恒定刚体的角动量守恒定律律如: M=0, 则有:L = J = 恒量即：1. 当J = 恒量, J = J 0 , 则 = 0 ,如:回转仪, 定向装置.第54页/共65页 细杆长为l可绕O点转动,当细杆水平静止时,小虫以速率v0垂直落到距点O为l/4处,并向A点爬行.设小虫和细杆质量都为m.细杆以恒定的角速度转动,小虫的爬行速率为多少?O Av0APr 2 J = J 0 如: 滑冰运动员旋转时两臂收拢

34、转速快。在有心力作用下的质点其角动量守恒.如:天体的运动,电子的绕核运动,合外力都不为零,则动量不守恒,但角动量守恒.若刚体由几部分组成, 角动量守恒时,如一部 分运动,则其它部分必 反向运动.第55页/共65页 22041214lmmllmv小虫与细杆的碰撞为完全非弹性碰撞,且略去重力的冲量矩,小虫在爬行时,系统受重力矩 cosmgrM 角速度为恒定,由角动量定理此时细杆获得角速度lv0712 )( JdtddtdLM dtdJ 细杆长为l可绕O点转动,当细杆水平静止时,小虫以速率v0垂直落到距点O为l/4处,并向A点爬行.设小虫和细杆质量都为m.细杆以恒定的角速度转动,小虫的爬行速率为多少?O Av0APr 第56页/共65页系统的为22121mrmlJ 即:dtdrmrdtdJmgr 2cos 由 = tcos2drgtdt 22041214lmml