数列求和方法带例题和练习题

1、数列的求和 数列求和主要思路:1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；2 求和过程中注意分类讨论思想的运用；3.转化思想的运用；数列求和的常用方法一、利用常用求和公式求和k =12 3|l| n三】n(n 1)23、利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法1、等差数列求和公式：Sn22(q=1)2、等比数列求和公式：Sn 二5(1-qn)a1- anq/八-d(q 式 1)l.1 q1qnSn =、"2 2 2 2 2 1Sn 二' k =123|l| n n(n 1)(2n 1)k 二6_=25、sn 八 k3 =13 23 33 川 n3 二 n

2、(n 1)2IL 2公式法求和注意事项(1)弄准求和项数n的值；(2)等比数列公比q未知时，运用前n项和公式要分类。例 1 求和 1 x x2 xn ° ( n _ 2, x = 0 )二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列an bn的前n项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列例 2求和：sn =1 3x 5x2 7x3(2n -1)xn例3.求数列-4- -6-前n项的和.23n '2 2 2 2三、倒序相加法如果一个数列与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列前n项和即可用倒序相

3、加发，如等差数列的前 n项和就是此法推导的2°22乜2。2。例 4 求 sin 1 sin 2 sin 3飞in 88 sin 89 的值例 4 变式训练 1:求 cos1 ° + cos2° + cos3° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.例 4 变式训练 2:数列a n:印=1, a2 = 3, a3 = 2, an = an 1 - an，求 S2002.例4变式训练3:在各项均为正数的等比数列中，若a5a6 =9,求log 3 a1log 3 a 亠log3a10的值.四、分组法求和有一类数列，既不是等差

4、数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或 常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可例5已知数列：an /的通项公式a. =3n 21，求数列CaJ的前n项和S.。例5变式训练1:求111111亠 T111之和.n个 1例5变式训练2 :求数列的前n项和：1 3,2 4,3 5川|, n（n，2）,川;1 1 1例6 .求数列的前n 项和：1 1,4,-2 7, ,3n - 2，a a五、裂项相消法：这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后 .通项分解（裂项）如:1 n(n 1)

5、(2)n(n 2)2 n11 1(一-n2)(3)1 1(2n -1)(2n 1) 2(2n 1(5)(2n)2an%(n-1)(n-2)4n(n 1)(n 1)(n 2)an£2(n1) -nn 2n(n 1) 2n n(n 1)1_ _n-1n 52 (n 1)2，则S(n 1)2n工 为等差数列，公差为 d,a.二 f(n 1) - f(n)例7 .求数列1112 ' 231的前n项和.1 _ x(1 _x)Sn =1 2xn A1_-(2n")xn（设制错位）（错位相减）12n2例&在数列an中，an，又bn，求数列bn的前n项的和.n +1 n +

6、1n +1an，an出111 1例8变式训练1:求数列的前n项和：丄，二，丄 川1x3 2 汉 4 3汉 5 n（n +2）参考答案：例2解：x=1时Sn -1 3x 5x2 7x3（2n -1）xnJ 设 xSn = 1 x 3x2 5x3 7 x4 亠 亠(2 n - 1)xn得 (1 -x)Sn =1 2x 2x2 2x3 2x42xnJ -(2n - 1)xn(1-x)22n1例3解：由题可知，却的通项是等差数列2n的通项与等比数列歹的通项之积2 22 23 2n22 23 241 2 2设Sn2Sn得（1-）Sn =222 2 22=2六S”=4-齐2n 1n + + + ., ”十

7、 23 242n2n_ 2n 12“ 1（设制错位）（错位相减）例 4.解：设 S = sin21 sin 2 2 sin237n2 88sin2 89将式右边反序得S = sin 89 sin 88（倒序）“ 2 2又因为 sin x =cos(90 -x), sin x cos x = 1+得（反序相加）2幻2幻2幻2£272£2 S 二(sin 1 cos 1 ) (sin 2 cos 2 )(sin 89 cos 89 ) = 89S= 44.5例 4 变式训练 1:解：设 Sn= cos1 ° + cos2° + cos3° + +

8、COS178° + cos179°cos n - -cos(180 -n )（找特殊性质项）g (2n _ 1)xn+ -(2n +1)xn +(1 +x)Sn Sn=(cos1° + cos179°) + ( cos2° + cos178°) +(cos3° + cos177° ) + + (cos89° + cos91 °) + cos90 °(合并求和)=0例4变式训练2:解：设 S2002 =+ a? + a3 + + a2oo2由 a! = 1,去=3, a3 = 2, an

9、 2 - an d 'an 可得a4 = 1, a5 = 3, a6 = 2,a7=1,a8= 3,a?= 2, aio = 1,aii=3,ai2 =-2,a6k 1 - 1, a6k 2-3, a6k 3 = 2, a6k 4 - 一1, a6k 5 - 一3,a6k 6 - _2（找特殊性质项）（合并求和）a6k 1' a6k 2' a6k 3' a6k 4' a6k 5' a6k 6 = 0S2oo2 a1 ' a? ' 83 a 2002=(a1 ' a2 * a3 a6 )(a7a8 a12 )(a6k 1，a

10、6k 2a6k:：；6)(a1993 ' a1994 ' a1998) a1999 ' a2000 ' a 2001 ' a2002a1999' a2000' a2001' a2002=a6k 1' a6k 2' a6k 3' a6k：；4=5例4变式训练3:解：设Sn二 log 3 a1 log 3 a 小 log 3a10由等比数列的性质m n 二 p q= amaapaq（找特殊性质项）和对数的运算性质loga M loga N =loga M N得S(log3 a1Iog3a10) (Iog3 a2

11、 Iog3 a9)亠 -(log3 a5 log3 a6)(合并求和)=(log3a1 印。)(logsa? a?)亠 亠(log 385 6)=log 3 9 log 3log 3 9=10例5略1 1例5变式训练1:解：由于11119999(10k -1)(找通项及k个 19k个 19特征）1 11 111 "1 1*n个1111 1=-(101 -1) -(102 1) (103 -1)(10n -1)99991123n 1=(10 1010 亠T0)(1 1 1 亠 1)99n个1（分组求和）-10(10n -1) n910 -19=(10n 1 一10 一9n)81例 5

12、变式训练 2: n(n 2) = n2 2n , & =(122232 n2) 2 (12 3 - n)二 n(n 1)(2n 7)1 1 16 解：设 Sn = (11)(4)( 27)山3n - 2)aaa将其每一项拆开再重新组合得1 1Sn = (1 -a12a7解：设&解:当a= 1时,当a =1时,anSnSnSn1nj)(147 囂囂 3n _ 2)a丄(3n _1)n = (3n +1)n=21n a_ 1a.(3n-1)na -a1(3n T)na 121i122.3. n 、n 1=(2 - .1)( .3 - . 2)( n 1 -n)ann +1 n +1

13、2 o 1 k8(J2 2数列b n的前n项和11111Sn =8(-)(-)(-)223341 1.(一 )n（分组）（分组求和）（裂项）（裂项求和）（裂项）（裂项求和）1例8变式训练1:=8U)8nn 11 111n(n 2厂尢一 n 2)'8n2 7n A .44n2 5n B .33n2 3n C .24.等比数列 Sn ' 的前n项和为Sn，且 4a1,2a2,a3成等差数列?右 a1 =1,则 S4 =C.15161111.数列 1 ,2,3 ,4 -,24816.1 丄 n2 + nA . B .2n 2的前n项和为丄工n c .2n2丄 J 1 D .2n21n

14、2n.已知等差数列& 中,a5a9 - a7 -10,记 Sn-a1a' an，则S13的值为A . 130260156D . 168111111 1 1 1 1 1 1 &月飞一严叫一苻）2尹厂丙一苻）-数列求和练习、选择题.设an /是公差不为0的等差数列，q = 2且a1,a3,a6成等比数列，则:af的前n项和Sn =.等差数列"a 的前n项和为Sn,已知am j am 1-am = 0, S2m=38，则m =A . 38B . 20C . 10n+6项的和为Tn,则当Tn最小时,n的值为.等差数列中,Sn是其前n项和，D . 3ISP2，则的值为A

15、 -2006B 2006C -2008D 2008.将二进制数（111丄）2转换成十进制是16A .217 -2B . 216 _2C . 216 -1D . 215_19 .设等比数列an的前n项和为Sn,且 Sn0（ nN ）,则下列等式成立的是10.11.12.13.14.15.、16.1718.19.20.21 .a . & & 七 B . gS2nSnS2n 'SnSnS2n"SnS3nS2n 'SnS3 _'SnS2 _'SnS3 _' S2nSn2已知二次函数y=n(n 1)x-(2n 1)x 1，当n依次取1,2

16、34，,10时，其图像在x轴上所截得的线段的长度的总和为C .工111112B .巴11数列 1,12,12 22,12 222n，的前 n 项和 SnA. 2nnB. 2 nC. 2n1 -n2n 1 -n - 2等差数列玄"和 bn的前n项和分别为Sn与Tn,对一切自然数n,都有5=_?亠，则电等于b5nTn 3n 191420C .311117数列乩1的通项公式是an，若前n项的和为10,则项数n为A . 11B .已知三角形的三边构成等比数列，它们的公比为99C.120q，则q的取值范围是121A . (0,1宁)B .(2 2C.1,5数列飞n2 +3 n +22n 1 A

17、 .2n 4填空题的前n项和为2n -1 B .2n 2C.n2n 4n 1 D .2n 2等差数列an前n项和为Sn?已知2am 4 + am 1 - a m =0，S2m -J =38,则 m =.已知f (1,1) =1 ,且对任意正整数m、n若f(m, n) = k ,贝U f (m, n 1 k 1f (1,1 0 0)0数列an中，a1 =1, a 2且an 2 -a 1(-1)n,则S°0 =列 an的通项公式是an=1-2n,其前n项和为Sn,则数列-Sn 的11项和为n数列an?的前n项和Sn二n2-4n，2,则a1a2a10已知等差数列 On 的前n次和为Sn，且

18、S2 =10, S5 =55，则过点P(n,an)和Q(n ' 2,an ) ( n -N* )的直线方向向量的坐标可以是22.已知数列aj的前n项和Sn =12n n2，则数列ja. 的前n项和Tn =12n223.在数列an中,an,又bn，则数列bn的前n项和为n +1 n +1n +1anan +Ss124. 在等差数列CaJ中，Sn是其前n项的和，且6二鸟，00920072,则数列的前n项的和是2009 2007§ “? 25. 在小时候，我们就用手指练习过数数.一个小朋友按如图所示的规则练习数数，数到2008时对应的指头是 。(填出指头的名称，各指头的名称依次为大

19、拇指、食指、中指、无名指、小指).三、解答题26. 设等差数列 V 的前n项和为Sn若印-5，且它的前11项的平均值是5.(1)求等差数列的公差 d ;求使Sn - 0成立的最小正整数n.27.已知数列an是等差数列，且a3=5,a5=9 ,Sn是数列an的前n项和.(I )求数列an的通项公式an及前n项和Sn ；28.(n)若数列bn满足bn =，且Tn是数列bn的前n项和，求bn与Tn .已知正项数列an中，前n项和Sn 口(an 2)28(1)求证：数列an是等差数列;1(2 )若bnan -30，求数列bn的前n项和Tn的最小值。229在等比数列an中，an 0 (n，N*)，公比

20、q，(0,1)，且 a1a5 2a3a5 a2a 25 , a3与的等比中项为2。(1) 求数列a n的通项公式；(2) 设bn = log 2 an，数列b n的前n项和为Sn,当1 '旦，最大时，求n的值。12n30.已知等差数列an的首项a1,公差d 0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第 二项、第三项、第四项.(1)求数列an的通项公式;t,使得对任意的(2 )设bn- (nN*), Sn b2川川'bn,是否存在最大的整数n(an +3)n均有Snt总成立？若存在，求出t;若不存在，请说明理由.36专题24数列求和参考答案一、选择题1 . A2 . C3

21、 . C4 . A5 . C6 . C7 . C8 . C9 . D10 . B11 . D12 . B13 . C14 . D15 . C二、填空题16 . 1017.100018.260019 . -6620 . 6621 . 2f2+12nn 1 乞 n 乞 6,n N22 - Tn =2n -12n 72 n _7,n N三、解答题8nn.23.24.25.食指n 1n 1解:；印5,印川a111111ae11dn(n 1 )2/ Sn = najd = n -6n 0比=印2d二5,解得:耳=1,d =2a5 = a 4d = 9 n 6且n N*使Sn 0成立的最小正整数 n为727解：（I ）设数列an的公差为d，由题意可知:- an = ai (n - 1)d =12(n -1)=2n -1(a an)n2(1 2n -1)n2n .2(n )；bSn(n 1) n=（】_1）（丄一丄）（丄一丄），n（1 _12233 4n n 1)二128 .解：2 2°）当2时，弘-乩-8-8，整理得：an ' an 4 an and 4 - 0 ,.数列 an是正项数列，anan-l = 0 ,-4=0 ,- an -an4 =4 ( n 一