《自动控制理论》课件-第二章 控制系统的数学模型

2-1建立数学模型的一般方法2-2传递函数2-3动态结构图及等效变换2-4信号流图及梅逊公式2-5控制系统的传递函数第二章控制系统的数学模型引言定义：控制系统的输入和输出之间动态关系的数学表达式即为数学模型。用途：

1）分析实际系统2）预测物理量3）设计控制系统表达形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特性线性系统传递函数微分方程频率特性拉氏变换傅氏变换

系统数学模型的建立一般采用解析法和实验辨识法，本章主要讨论如何用解析法来建立线性定常系统的微分方程、传递函数以及动态结构图等数学模型。2-1建立数学模型的一般方法例1：RC电路。根据电路理论中的基尔霍夫电压（KVL）定律，有

图2-1RC电路由上面两式消去中间变量，得到若令，则可得如下形式式中，为电路的时间常数。因此，电路的动态数学模型是一阶常系数线性微分方程。例2：如图所示的RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输入变量的运动方程。RLCur(t)uc(t)i(t)电阻u(t)=i

(t)·Ri(t)=u(t)=i(t)dtu(t)=Ldi

(t)dti(t)=i(t)=电容电感依据：基尔霍夫定律

由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)

（两边求导）例3：两级RC电路。根据基尔霍夫定律电压（KVL），有消去中间变量和后得到：令，，，则得到该网络的动态数学模型是一个二阶常系数线性微分方程。例4：积分器。根据运算放大器的性质，有因此，改写成积分形式为：改写成微分方程形式为：例5:机械位移系统,物体在外力F(t)作用下产生位移y(t)，写出运动方程。输入F(t)，输出y(t)理论依据:牛顿第二定律,物体所受的合外力等于物体质量与加速度的乘积.mF1(弹簧的拉力)F(t)外力F2阻尼器的阻力例6：旋转运动：摆锤。假设所有质量都集中到终端，折合到枢轴点得转动惯量。相对于枢轴点的所有力矩之和包括由重力产生的力矩以及施加的力矩。应用牛顿定律有通常改写成如下形式：由于在方程中存在项，所以该方程是非线性的。进行线性化，假定摆锤的运动范围足够小，则，那么上述运动方程可以变成线性方程：根据上述的例子，可以得到列写系统微分方程的一般步骤：1）确定系统的输入、输出变量；2）根据已知的物理或化学定律，写出运动过程的微分方程；3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程；4）整理，与输入有关的放在等号右面，与输出有关的放在等号左面，并按照降阶次进行排列。

许多表面上看来似乎毫无共同之处的控制系统，其运动规律可能完全一样可以用一个运动方程来表示，称它们为结构相似系统例1的RLC电路和例4的机械位移系统就可以用同一个数学表达式分析，具有相同的数学模型。例7电枢控制直流电动机负载：转动惯量 粘性摩擦

负载转矩其中R、L分别为电枢回路的内阻、电感ua(t)为电枢回路的控制电压,ia(t)电枢回路电流分析：输入ua,输出wm信号流动：

ua→ia

→Mm→ωm

u→i：根据基尔霍夫电压定律，电枢回路有下列关系：(电势平衡方程式)反电势Ea大小与转速成正比：

i→M：在磁场强度不变的情况下，电动机产生的力矩M与电枢回路的电流成正比（经线性化处理），即：对电机转轴，根据牛顿定律，有：

(转矩平衡方程式)

微分方程描述写成：例8

汽车悬挂系统图a为简化了的悬挂系统。假设P点上的运动为系统的输入量，车体的垂直运动为系统的输出量，位移从无输入量作用时的平衡位置开始测量。b中表示汽车的质量，表示弹簧系数，为阻尼器的阻尼系数。则有整理即得到该系统的运动方程：例9

生态控制系统讨论两种细菌生存的竞争问题，设两种细菌在时刻的数量分别为和，由于繁殖条件相同，它们的生存是有竞争的。若人为加入一定的药物作为控制量，那么和将按下列方程变化式中，和分别表示和自身的繁殖系数；和为相互竞争系数；和为药品杀伤系数。这两个联立的一阶非线性微分方程就是该生态系统的数学模型。

解析法（机理建模法）对所研究的实际系统来说，必须已知其基本规律并进行一定的简化和假设，只能用于简单系统的建模，对于比较复杂的实际生产过程来说，这种建模方法有很大的局限性。

实验建模法通过实验的方法给模型未知系统施加某种特定的测试输入信号，记录其输出响应，并选用适当的数学模型去逼近，以此来获得一个与所测系统等价的数学模型。辨识步骤：（1）设计实验，获取待辨识系统的输入输出数据；（2）选择模型结构，根据数学模型的用途和对实际对象的了解，确定使用哪类模型；（3）参数估计，包括判别辨识结果好坏的准则（最小二乘准则，极大似然准则等），选择参数估计方法，得到参数的估计值；（4）辨识模型检验，检验获得的数学模型是否合乎要求。2-2非线性微分方程的线性化

在工程实际中，绝大多数系统是非线性的。许多非线性系统在一定条件下可近似视为线性系统。对于某些非线性系统，若研究的是系统在某一工作点（平衡点）附近的性能，或是系统变量在动态过程中偏离平衡位置不大时的性能，则可采用“小偏量法”进行线性化。小偏量法：

不失一般性，考虑一个非线性系统，输入量为，输出量为。若在给定处各阶导数存在，则在处可展成为泰勒级数忽略二次及高次项有

或例.设铁芯线圈电路如图a)所示，其磁通与电流之间的关系如图b)所示。试列写以为数入量，为输出量的电路微分方程。

解：（1）由KVL，可得,该方程为非线性方程。（2）找出中间变量与其他变量的关系并线性化。设线圈原来工作在平衡状态，而且在附近连续可导，它可展成为泰勒级数，即式中，为余项，和为平衡点处的磁链和激磁电流。略去上中的各高阶项及余项，得到近似式式中，为平衡点处的导数值，可令称为动态电感，则将上式化为该式表明，经线性化后，线圈中电流增量与磁链增量之间已成为线性关系，即则有展开后有（因为）所以平衡点的增量（小变化量）是所取平衡点处的电感值，亦用平衡点处的切线代替曲线而得到的变量。将平衡点的增量方程，称之为线性化增量方程，这种线性化的方法称为小偏差法。求线性化微分方程的过程：（1）按物理或化学定律列出原始方程式，并确定平衡点附近各变量的数值；（2）找出方程中的非线性关系，若平衡点附近各阶导数存在，则可进行线性化：1）将此函数展成泰勒级数；2）忽略高次项，留下一次项，得一次近似式并求出数值；（3）将原方程中的变量以平衡点的值加增量来表示，经整理可得以增量表示的线性方程。2-3用拉氏变换求解线性微分方程

一、传递函数的定义定义：设函数当≥0时有定义，且当时，若积分（为复参量）存在，则称为函数的变换式，记为，是的象函数。另外有逆运算，为的反变换。其中，是一个实常数且大于的所有奇异点的实部。二、几种典型函数的拉氏变换1．单位阶跃函数2．单位斜坡函数

≥0<0≥0<03．等加速度函数

4．指数函数≥0<0≥0<05．正弦函数6．单位脉冲函数且定义

，则≥0<01．线性性质设，，均为常数，则有2．微分性质若

，则有3．积分性质

，则三、拉氏变换的基本性质4．终值定理与初值定理终值定理：若，且

存在，则，或初值定理：若

存在，则有5．位移定理若

，则有

6．延迟定理若，又时，则对于任意常数，有，或由复变数表达式推导成为时间表达式的数学运算称为拉氏反变换，其符号为。的形式通常为的有理分式函数，即

其中≥，一般在对进行拉氏反变换时，首先将的分母进行因式分解得到以下形式

四、拉氏反变换（1）无重根，即

或

可按下式求得例1求

的拉氏反变换。解：因为

所以

（2）有重根设为阶重根，为单根，则

可为……例2求

的拉氏反变换。解：设，在此有的二重零点，的单零点。所以

而拉氏反变换为

例3.求的拉氏反变换。解：的展开式如下由于，上式两边同乘并令得简化得解之得用乘方程两边，并令得所以

故的拉氏反变换为（≥0）五、用拉氏变换求解微分方程例1如图所示阻容网络在闭合之前，电容上有初始电压，求开关瞬时闭合后电容的端电压。解：网络的微分方程为两边进行拉氏变换得所以展成部分分式，有两端反变换则有下图为中各分量的相应曲线。应用拉氏变换法求解微分方程的步骤归纳如下：（1）对线性微分方程的每一项进行拉氏变换，将微分方程变成关于的代数方程；（2）整理代数方程，求得待求函数的拉氏变换表达式；（3）对拉氏变换式进行反变换得到待求函数的时域表达式，即微分方程的解。2-4传递函数（transferfunction）

用微分方程来描述系统比较直观，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。一、传递函数的定义和概念定义：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用G(s)表示。以上一节例（1）RLC电路的微分方程为例：设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：G(s)R(s)C(s))一般形式：设线性定常系统（元件）的微分方程是：y(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：分母中s的最高阶次n即为系统的阶次。

因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以G(s)的分母阶次大于等于分子阶次，即,是有理真分式，若,我们就说这是物理不可实现的系统。二、传递函数的性质

(1)传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；

(2)传递函数与微分方程一一对应；

(3)传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；

(4)传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；

(5)传递函数与系统的输入输出的位置有关；

(6)传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。例.根据系统微分方程求响应：,解：系统传递函数，它的极点为，无零点，在零初始状态下所以传递函数中有共轭复数极点，系统瞬态响应为衰减振荡过程，其幅度、衰减速度和振荡频率由极点和零点决定，而稳态性能由传递系数决定。系统的稳定性仅由微分方程的特征根，即传递函数的极点决定；零点不影响系统的稳定性，但对瞬态过程的形式有影响。三、典型环节的传递函数

1）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。式中——环节的放大系数，为一常数。传递函数为：实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。2）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。

实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。传递函数为：式中T——环节的时间常数。3）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。传递函数为：4）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。传递函数为：式中——环节的时间常数。5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。传递函数为：6）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。传递函数为：式中——延迟时间以上6种是常见的基本典型环节的数学模型1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的；2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数，有不同的传递函数；3）环节是相对的，一定条件下可以转化；4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。四、关于传递函数的几点说明传递函数的概念只适用于线性定常系统，是一种在复域中描述其运动特性的数学模型。2.传递函数是复变量s的有理真分式函数，即，且所有系数均为实数（因为系统中元件参数是实数）。传递函数是一个输入变量和一个输出变量之间的关系，表征了系统的固有特性。建立一个系统的传递函数时，必须指明是哪一个输入变量和哪一个是输出变量之间的传递函数。传递函数与微分方程之间可以相互转换。用微分算子替换传递函数中的复变量s，用输入和输出变量的时间函数替换传递函数中的象函数，就可以由传递函数得到微分方程。

5.传递函数是在零初始条件下定义的，它与输入信号的拉氏变换的乘积仅反映了系统在零初始条件下的响应规律。若要求解系统在非零初始条件下的响应，则应该先由传递函数求出系统的微分方程，然后在考虑初始条件的情况下求解该微分方程，从而得到系统在非零初始条件下的响应表达式。

6.一个系统的传递函数，可以通过该系统在零初始条件下的单位脉冲响应的拉氏变换求得，即，并且由传递函数拉氏反变换可求得系统的单位脉冲响应，即。2-5动态结构图及等效变换一、动态结构图的组成1、信号线：有箭头的直线，箭头表示信号传递方向。2、引出点：信号引出或测量的位置。从同一信号线上引出的信号，数值和性质完全相同3、综合点：对两个或两个以上的信号进行代数运算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相减。4、方框：表示典型环节或其组合，框内为对应的传递函数，两侧为输入、输出信号线。二、动态结构图的建立例：建立如图所示的双T网络的动态结构图。1）建立各元件的微分方程2）将各元件的微分方程进行拉氏变换，并改写成以下相乘形式3）绘出系统的动态结构图按照变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来作用：1）直观形象的分析变量之间的关系

2）方便求解传递函数三、典型连接方式及等效变换1、串联及等效2、并联及等效3、反馈及等效四、等效移动规则1、引出点的移动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12）后移在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框

在移动支路中串入所越过的传递函数方框2、综合点的移动在移动支路中串入所越过的传递函数的倒数方框

在移动支路中串入所越过的传递函数方框1）后移G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-2）前移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3相邻综合点之间可以随意调换位置

3）相邻综合点移动x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻引出点和综合点之间不能互换!结构图等效变换方法1三种典型结构可直接用公式2相邻综合点可互换位置3相邻引出点可互换位置注意：1不是典型结构不可直接用公式2引出点综合点相邻，不可互换位置例1：试简化系统结构图，并求系统传递函数。方法1:引出点后移例2：试简化系统结构图，并求系统传递函数。例2：试简化系统结构图，并求系统传递函数。方法2:引出点前移方框图简化

例3：引出点前移引出点交换G4(s)输入不变G1(s)+G2(s)G1(s)+G2(s)按前移做—变为无交叉的两部分：反馈相加G(s)例4：试简化系统结构图，并求系统传递函数。

上图所示是一个多环反馈系统，存在两个互相交错的局部反馈回路，在化简时刻考虑将信号综合点作适当移动，如将环节后的综合点前移。再利用结构图化简的基本公式可得到系统的传递函数。例5：多环系统，试对其进行化简并求闭环传递函数。将所有信号引出点均移至的输出端，即可得到若干相互独立的回路。例6：推导，，和。（在推导作用下的输出时，可以假设为零，反之亦然）解：由图可得则有解得于是可以求得下列的传递函数，，和：，，利用结构图化简规则，求取系统闭环传函：（1）确定系统的输入输出量；（2）利用移动规则消除交叉连接；（3）利用基本规则写出总的传递函数。x1x4x3x2abc12-6信号流图及梅逊公式一、信流图的基本概念

支路：表示变量之间的传输关系。

节点：表示系统中的变量。

信号流图是一种表示线性化代数方程组变量间关系的图示方法。信号流图由节点和支路组成信流图的基本术语1、源节点：只有输出支路，没有输入支路的节点称为源点，它对应于系统的输入信号，或称为输入节点。2、汇节点：只有输入支路，没有输出支路的节点称为阱点，它对应于系统的输出信号，或称为输出节点。3、混合节点：既有输入支点也有输出支点的节点称为混合节点。输入节点（源点）输出节点（汇点）输入节点（源点）信流图的基本术语4、通道：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）构成的路径称为通道。5、开通道：与任一节点相交不多于一次的通路称为开通道。6、闭通道：如果通道的终点就是通道的起点，并且与任何其他节点相交不多于一次的称为闭通道或称为回环。7、回环增益：回环中各支路传输的乘积称为回环增益。8、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其他节点相交不多于一次的通道，该通道的各传输乘积称为前向通道增益。9、不接触回环：如果一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。二、信流图的绘制1、由结构图绘制信流图结构图信流图变量传递关系综合点变成混合节点－12、由方程组绘制信流图首先按照节点的次序绘出各节点，然后根据各方程式绘制各支路。当所有方程式的信号流图绘制完毕后，即得系统的信号流图。三、梅逊（Mason）增益公式例1设某系统的方框图如图所示，试求其传递函数∑前向通道传函之积：例2前向通道（2条）：

⊿1=1⊿2=1-cdP1=acegi=P1⊿1+P2⊿2=acegi+kgi(1-cd)P2=kgiL2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbij1-31-41-52-42-53-55-6L3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdb回环6个：

两个互不接触回环7对：

三个互不接触回环1组：

⊿=1-L1+L2-L3

61 2 3 4 5L2=abef+abgh+abij+cdgh+cdij+efij+kfdbijL3=abefijL1=ab+cd+ef+gh+ij+kfdbL1L2=(G1H1)(-G2H2)L1=G1H1L2=–G2H2L3=–G1G2H31-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2G3G2+G1G2+G2R(s)[](1-G1H1)N(s)例3：梅逊公式求C(s)(1-G1H1)C(s)=梅逊公式求E(s)E(s)=1-G1H1+G2H2+G1G2H3-G1H1G2H2(1+G2H2)(-G3G2H3)R(s)[](–G2H3)+N(s)+例4：梅逊公式求闭环传递函数前向通道（3条）：

四个独立回路：

两个不相接触的回路，因此系统的特征式为：

仅存在与通道不相接触的回路，故：

所以

2－7控制系统的传递函数一、系统的开环传递函数定义为把主反馈通道断开，得到的传递函数二、输入作用下系统的闭环传递函数三、扰动作用下系统的闭环传递函数四、系统的总输出五、误差传递函数输入作用下的误差传递函数扰动作用下的误差传递函数六、系统的总误差例：简化图示系统结构图，并求出相应的传递函数C/R,C/N

仅考虑R作用时，结构图可以简化为

仅考虑N作用时，结构图可以简化为2－8线性系统的状态空间描述一、几个重要概念1、状态与状态变量：

动态系统的状态，是指能够完全地描述系统时域行为的一个最小变量组，该变量组中的每个变量称为状态变量。2、状态向量与状态空间：如果一个系统有个状态变量，用它们作为分量所构成的向量称为该系统的状态向量，即；由轴，轴轴组成的维空间称为状态空间。3、状态方程与输出方程：设多输入、多输出系统中有个输入变量和个输出变量，定义个状态变量为，则可用下列方程描述系统系统的输出变量可表示为若定义则可变成（1）（