无穷级数公式

1、常数项级数：等比数列： 1qq2qn11qn等差数列：123n( n 1) n1q2调和级数： 1111 是发散的23n级数审敛法：、正项级数的审敛法 根植审敛法（柯西判 别法）：1时，级数收敛1设：limnun，则时，级数发散1n时，不确定1、比值审敛法：2时，级数收敛U n 1 ，则1设：lim时，级数发散U n1n时，不确定1、定义法：3sn u1u2un ;lim sn存在，则收敛；否则发 散。n交错级数 u1u2u3u4(或 u1u2 u3,un0)的审敛法 莱布尼兹定理：un un1u1 ,其余项 rn的绝对值 rn un 1。如果交错级数满足，那么级数收敛且其和 slim un0

2、n绝对收敛与条件收敛：(1)u1u2un，其中 un为任意实数；(2) u1u2u3un如果 ( 2)收敛，则 (1)肯定收敛，且称为绝对 收敛级数；如果 ( 2)发散，而 (1)收敛，则称 (1)为条件收敛级数。调和级数：1 发散，而( 1) n 收敛；nn级数：1收敛；n21 时发散p级数：n pp1时收敛幂级数：23nx1时，收敛于11x1 x xxxx1时，发散对于级数(3) a 0a1 xa 2 x2an xn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在 R，使xR时发散 ，其中 R称为收敛半径。xR时不定10时， R求收敛半径的方法：设lim a n 1，其

3、中 a n， an1是 (3 )的系数，则0时， Rna n时，R 0函数展开成幂级数：函数展开成泰勒级数：f ( x)f (x0 )( xx0 )f (x0 ) ( x x0 )2f (n ) ( x0 ) (xx0 ) n2!n!余项： Rnf (n1) ( ) (xx0 ) n 1, f ( x)可以展开成泰勒级数的充要条件是： lim Rn0(n1)!nx0 0时即为麦克劳林公式：f ( x)f ( 0)f (0) xf (0) x2f (n) (0) xn2!n!一些函数展开成幂级数：(1 x) m1mxm( m1) x2m(m1)( mn 1) xn( 1 x 1)2!n!sin

4、x xx3x5( 1) n 1 x2n1(x)3!5!( 2n1)!欧拉公式：eixeixcos x2e或cos x i sin xeeixsin x2ixix三角级数：f (t) A0An sin( n ta0(an cosnxbn sin nx)n )n 12n 1其中， a0aA0， an An sinn， bnAn cos n， tx。正交性：1,sin x,cos x,sin 2x, cos2xsin nx, cosnx 任意两个不同项的乘积在 ,上的积分 0。傅立叶级数：f ( x )a 0( a n cos nx bn sin nx )，周期22n 1an1f ( x) cos nxdx(n0,1,2)其中1bnf ( x) sin nxdx( n1,2,3)11211121（相加）1222223582346111211121（相减）224 26 22 23 24 22412正弦级数：a n2f ( x) sin n xdxn1,2,3f ( x )b n sin nx是奇函数0， b n0余弦级数：bn2f ( x ) cos nxdxn0,1,2f ( x)a 0a n cos nx是偶函数0， a n20周期为 2l的周期函数的傅立叶级数：a 0( a n cosnxnx ，周期2 lf ( x )lb