医科数学第二章第二节 初等函数的导数

1、第二节第二节 初等函数的导数初等函数的导数一、按定义求导数一、按定义求导数三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则四、复合函数的导数四、复合函数的导数二、函数的四则运算的求导法则二、函数的四则运算的求导法则五、隐函数的求导法则五、隐函数的求导法则六、对数求导法六、对数求导法七、初等函数的导数七、初等函数的导数八、高阶导数八、高阶导数一、按定义求导数一、按定义求导数常数的导数常数的导数0, )()(yCCxf则则为常数为常数设函数设函数0lim00 xy xyx即即2幂函数的导数幂函数的导数由二项式定理有由二项式定理有为正整数为正整数设函数设函数),(nxynnnnnxxxnnxnxxxxyn)

2、()(! 2) 1()(212. 0)(常数的导数是零常数的导数是零 C所以所以)()(! 2) 1(limlim12100nnnxxxxxnnnxxy 1nnx3 3三角函数的导数三角函数的导数2sin)2cos(2sin)sin(,sinxxxxxxyxy则则设函数设函数xxxxxxy xxcos22sin)2cos(limlim00.)(1nnnxx即即 xxsin)(cos即即同理同理 xxcos)(sin4对数函数的导数对数函数的导数则则且且设函数设函数),10(logaaxya)1 (loglog)(logxxxxxyaaaaxex xxxxxxxy axxxaxxaxxln1lo

3、g1)1 (limlog1)1 (log1limlim000axxaln1)(log即即特别地，特别地，ea 时时xx1)(ln并且并且处也可导处也可导在点在点分母不为零分母不为零差、积、商差、积、商则它们的和、则它们的和、处可导处可导在点在点如果函数如果函数,)(,)(),(xxxvxu).0)()()()()()()()( )3();()()()( )()( )2();()( )()( ) 1 (2 xvxvxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxuxvxu二、函数的四则运算的求导法则二、函数的四则运算的求导法则证证(1)(1)()()(xvxuxf设xxfxxfxfx)()

4、(lim)(0 xxvxuxxvxxux)()()()(lim0 xxvxxvxuxxux)()()()(lim0)()(xvxu , )()()(xvxuxf则有hxfhxfxfh)()(lim)(0hxvxuhxvhxuh)()()()(lim0)()()()(xvxuxvxuhhxuh )(lim0)(xu)(hxvhxv)( )(xu)(hxv证证(2):(2):设证证(3)(3),0)( ,)()()( xvxvxuxf设设xxfxxfxfx)()(lim)(0 xxvxxvxxvxuxvxxux)()()()()()(lim0 xxvxuxxvxxux)()()()(lim0 xx

5、vxxvxvxxvxuxvxuxxux)()()()()()()()(lim0)()()()()()()()(lim0 xvxxvxxvxxvxuxvxxuxxux2)()()()()(xvxvxuxvxu 推论推论 niiniixuxu11)( )()1()( )()2(xuCxCu )()()u()()()u()()(1xuxxuxuxxuxunnnii 22113解解:xxxycos432.sin223的导数的导数求求xxxy例例2-7 例例2-8 设树枝上树叶能覆盖的面积设树枝上树叶能覆盖的面积 决定阳光的多决定阳光的多少少,设树枝同主干的夹角为设树枝同主干的夹角为 ,则则 ,求求 关

6、于关于 的变化率的变化率.Acos)(kAAA解解:)sin(cos)(coscos)cos(kkkA例例2-9.cottan的导数的导数和和求求xyxy解解:)cossin()(tan xxxyxxxxx2cos)(cossincos)(sin xxx222cossincos xx22seccos1 .csc)(cot2xx 同理可得同理可得.sec)(tan2xx即即例例2-9.cscsec的导数的导数和和求求xyxy解解:)cos1()(sec xxyxx2cos)(cos .tansecxx xx2cossin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得xxxtansec)(se

7、c即即三、反函数的求导法则三、反函数的求导法则定理定理2-1.)(1)( ,)(,0)()( yxfIxfyyIyxxy且有导内也可在对应区间那么它的反函数且内单调、可导在某区间如果函数即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数即：反函数的导数等于直接函数导数的倒数. .的单调性可知的单调性可知由由)(xfy , 0 y于是有于是有,1yxxy ,)(连续连续xf),0(0 xy0)( y 又知又知xyxfx 0lim)(yxy 1lim0)(1y 证明：证明：,xIx 任取任取xx 以以增增量量给给), 0(xIxxx .)(1)(yxf即即解：解：,)2,2(sin内内单单调调、可可导导在在

8、yIyx, 0cos)(sin yy且且内内有有在在)1 , 1( xI)(sin1)(arcsin yxycos1 y2sin11 .112x .11)(arccos2xx 同理可得同理可得;11)(arctan2xx .11)cot(2xx arc.arcsin的的导导数数求求函函数数xy 例例2-10即即)(arcsin x.112x .的的导导数数求求指指数数函函数数xay 例例2-11解：解：且且单调可导单调可导上上在在互为反函数互为反函数与与,), 0(log,log yxyxayaax0ln1)(logayya且且上上也也可可导导在在所所以以它它的的反反函函数数,),(xayaa

9、ayyaxaxlnln)(log1)(即即aaaxxln)(特别地特别地,当当 时时,ea xxee )()( )()(002为为生生理理常常数数a、k、rakrrrrvv 例例2-12 正常呼吸时正常呼吸时,气流速度气流速度 是气管半径是气管半径 的函数的函数,即有公式即有公式:vr 求咳嗽时求咳嗽时,气管半径气管半径 随气流速度随气流速度 的变化而扩张的变化而扩张的变化率的变化率.rv解：解：2020323211rrrakakrrrdrdvdvdr四、复合函数的导数四、复合函数的导数定理定理2-2为为且其导数且其导数处可导处可导在点在点则复合函数则复合函数处可导处可导对应对应点点在在而而处

10、可导处可导在点在点设函数设函数,)(,)(,)( xxfyuxufyxxu 即即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导求导，乘以中间变量对自变量求导. .( (链式法则链式法则) ) )()()(xufxf或或dxdududydxdy证明：证明：,)(可可导导在在点点由由uufy )0lim()(0uufuy故故uuufy)(则则xyx0lim)(lim0 xuxuufxxuxuufxxx000limlimlim)().()(xuf推广推广),(),(),(xvvuufy设设则复合函数则复合函数 的导数为的导数为)(xf

11、y.dxdvdvdududydxdy)()()(xvufy或或例例2-13.)arctan3(4的导数的导数求函数求函数xyx解：解：则则令令,arctan3,4xuuyx)arctan3()(4xudxdududyyx)113ln3(423xux)113ln3()3(423xarctnaxxx例例2-14.cosln的导数的导数求函数求函数xey 解：解：则则令令,cos,lnxevvuuy)()(cos)(lnxevudxdvdvdududyyxxxeeexutan)sin(1 例例2-15.)1(sinarcsin2的导数的导数求函数求函数xexy解：解：)1sin()1sin(2 )1

12、(sinarcsinarcsinarcsin2xxxexexexy)1)(1cos()1sin(2arcsinarcsinarcsinxxxexexex)111)(1cos()1sin(22arcsin2arcsinarcsinxexexexxxx.的导数的导数求函数求函数xxxy 解：解：)(21 xxxxxxy)(211(21 xxxxxxx)211(211(21xxxxxx .812422xxxxxxxxxx 例例2-16 例例2-17 证明幂函数的求导公式证明幂函数的求导公式 对任意实对任意实数指数数指数 成立成立.1)(aaaxxa证明证明: 将将 化为化为 ,则则axy xaeyl

13、n)ln()(lnlnxaeeyxaxa11lnaaxaaxaxxxae例如例如,xxxx2121)()(21212211)()1(xxxx 例例2-18 有关血管中血液流动的速度有关血管中血液流动的速度 的的 Poiseuilles 定律由下面的公式表出定律由下面的公式表出v)(422rRv扩张扩张.那么动脉中血液流速那么动脉中血液流速 关于时间关于时间 的变化率为多少的变化率为多少?vtmin/1024cmdtdR其中其中, 是血管半径是血管半径, 是血管横截面上离中轴线距离是血管横截面上离中轴线距离 处的血液流速处的血液流速. 皆是物理常数皆是物理常数.已知阿司匹林具有已知阿司匹林具有舒

14、张微细血管的作用舒张微细血管的作用.假定病人遵医嘱服用了两片阿司匹假定病人遵医嘱服用了两片阿司匹林林,在随后的一段时间里在随后的一段时间里,动脉血管的半径以速率动脉血管的半径以速率vr,RdtdRdRdvdtdv由由Poiseuille定律定律RdRdv24所以所以410224RdtdRdRdvdtdv 若某处的血管半径若某处的血管半径 ，则在该处，则在该处血液流速的变化率为血液流速的变化率为,4,02. 0cmRmin/108602. 0cmvR 解：由所作假设，解：由所作假设， 由由 决定，而决定，而 又随时间又随时间 而而变化，故变化，故 是是 复合函数复合函数.则则vtvtRR五、隐函

15、数的求导法则五、隐函数的求导法则 如果联系两个变量如果联系两个变量 和和 的函数式是由方程的函数式是由方程 来确定的，这样的函数称为来确定的，这样的函数称为隐函数隐函数.0),(yxFyx.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxF)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化例如例如013 yx31xy（显化）（显化）15sin345xxyy)(xyy （不能显化）（不能显化）问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? 直接从方程直接从方程 两边来求导两边来求导,称为隐函数的称为隐函数的求导法则求导法则.0),(yxF 解解: 方程两边分别关于方程两边分

16、别关于 求导求导,则由复合函数求导法则由复合函数求导法则和四则运算法则有则和四则运算法则有xyxyyey解得解得xeyyy. 1,0yx从从原原方方程程解解得得时时当当1100exeyyyxyx所以所以 例例2-19 已知函数已知函数 是由方程是由方程 确定的确定的.求求 和和yy0 xyexyey 例例2-20 设生物总数设生物总数 的生长规律的生长规律 满足下列满足下列 logistic方程方程N)(tNN rtlelNN110其中其中, 均为常数均为常数,且且 .试求生长率试求生长率0,Nrl0l).(tN解解: 将将 写成如下形式写成如下形式rtlelNN1100)1 (0lNNleN

17、rt两边对两边对 求导得求导得tNlerleNNleNrleNrtrtrtrt10整理得整理得)1 ( )(0lNrkNkNrN六、对数求导法六、对数求导法 方法方法: 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形函函数数多多个个函函数数相相乘乘除除和和幂幂指指xvxu例例2-21.)4)(3()2)(1(3的导数的导数求函数求函数xxxxxy解：对函数取自然对数，得解：对函数取自然对数，得)4ln()3ln() 2ln() 1ln(ln321lnxxxxxy两边对两边对 求导，得求导，得

18、x)413121113(211xxxxxyy)413121113()4)(3()2)(1(213xxxxxxxxxxy所以所以例例2-22.),0(sinyxxyx 求求设设解：对函数取自然对数，得解：对函数取自然对数，得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx xxxxxxxCtansec)(secsec)(tancos)(sin0)(2 1.基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式xxxxxxxxxcotcsc)(csccsc)(cotsin)(cos)(21 a

19、xxaaaaxxln1)(logln)( xxeexx1)(ln)( 七、初等函数的导数七、初等函数的导数2211)(arctan11)(arcsinxxxx 2211)cot(11)(arccosxxxx arc2.函数的和、差、积、商的求导法则函数的和、差、积、商的求导法则设设)(),(xvvxuu 可导，则可导，则（1） vuvu )(, （2）uccu )(（3）vuvuuv )(, （4）)0()(2 vvvuvuvu.( ( 是常数是常数) )C )()()(xufxf或或dxdududydxdy3.复合函数的导数复合函数的导数八、高阶导数八、高阶导数即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数,)()(xxfxfxxfxxfxfx)()(lim) )(0.)() )(,处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在xxfxf记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, .)(,),(4444)4()4(dxxfddxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.)(,),(3333dxxfddxydyxf 记作记作阶导数阶导数的的函数函数阶导数的导数称为阶导数的导数称为的的函数函