医科数学2.4 导数的应用

1、第四节第四节 导数的应用导数的应用一、中值定理一、中值定理二、二、LHospital法则法则三、函数的单调性与极值三、函数的单调性与极值四、函数的最大值与最小值四、函数的最大值与最小值五、曲线的凹凸性与拐点五、曲线的凹凸性与拐点六、函数曲线的渐近线六、函数曲线的渐近线七、函数作图七、函数作图一、中值定理一、中值定理定理定理2-3 费马（费马（Fermat）定理）定理 设函数设函数 在点在点 及其邻域里连续，且当及其邻域里连续，且当 在在此邻域里时，总有此邻域里时，总有 或总有或总有 .则当则当 存在时存在时,有有 .)(xxx)()(x)()(x)(0)( 证明证明: 设设 ,则对则对 附近的

2、任意一点附近的任意一点 都有都有 .)()(xxx0)()(x当当 时时, ,则有则有0)()(xx0 x0)()(lim0 xxx当当 时时, ,则有则有0 x0)()(xx0)()(lim0 xxx所以所以,若若 存在存在,)(xxxxxx)()(lim)()(lim)(00因此只有因此只有 , 时类似时类似.0)()()(x定理定理2-4 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理 设函数设函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续, ,在开区间在开区间 内内可导可导, ,且且 ，则在，则在 内至少有一点内至少有一点 , ,使得使得 . . ,ba),(ba)(x)()(ba),(ba0)(几何解释几

3、何解释: :ab1 2 xyo)(xy., 水平的水平的在该点处的切线是在该点处的切线是点点上至少有一上至少有一在曲线弧在曲线弧CABC 证明证明: 若若 在在 上为常数上为常数,则则 .那么那么 内的任何一点都可取作内的任何一点都可取作 ,并且并且, .)(x,ba)(0)(bxax),(ba0)( x 设设 在在 上不是常数上不是常数,由闭区间上连续函数的性由闭区间上连续函数的性质质, 在在 上必有最大值上必有最大值 和最小值和最小值 ,且且 与与 中中至少有一个不等于至少有一个不等于 .不妨假设不妨假设 ,则在则在 内内至少存在一点至少存在一点 ,使使 .由于由于 ,故故 存在存在,由由

4、定理定理 2-3 得知得知 .)(x,ba)(x,baMmMm)(a)(aM),(baM)(),(ba)(0)(证明证明: : 因为因为连连续续在在3 , 1)(xf0) 3() 1 () 1(fff且且. 0)(),1 , 1(11xfx使使存在存在. 0)(),3 , 1 (22xfx使使存在存在).3 , 1 () 1 , 1(.2220)( 和和它它们们分分别别在在个个实实根根方方程程恰恰有有个个实实根根，所所以以，次次代代数数方方程程，至至多多有有是是又又 xf 例例2-352-35 已知函数已知函数 . .直接判直接判断方程断方程 之实根的个数与范围之实根的个数与范围. .)3)(

5、1)(1()(xxxxf0)( xf所以所以,由罗尔定理可知由罗尔定理可知定理定理2-5 拉格朗日拉格朗日(Lagrange）中值定理）中值定理 设函数设函数 在闭区间在闭区间 上连续上连续, ,在开区间在开区间 内内可导可导, ,则在则在 内至少有一点内至少有一点 , ,使使 ,ba),(ba)(xf),(baabafbff)()()(ab1 2 xoy)(xfy ABCD几何解释几何解释:.,ABCAB线线平平行行于于弦弦在在该该点点处处的的切切一一点点上上至至少少有有在在曲曲线线弧弧证明证明: 分析分析:).()(bfaf 条件中与罗尔定理相差条件中与罗尔定理相差化为罗尔定理的结论形式化

6、为罗尔定理的结论形式0)()()(,xxabafbfxfba）使得）使得（欲证存在欲证存在作辅助函数作辅助函数xabafbfxfxF)()()()(满满足足罗罗尔尔定定理理的的条条件件)(xF. 0)(,),(Fba使得使得内至少存在一点内至少存在一点则在则在0)()()( abafbff即即abafbff)()()( 注意注意: :拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.推论推论1 1则,0)(,时),(若xfbaxcxf)(),(bxac为常数为常数推论推论2则),()

7、(,时),(若xgxfbaxcxgxf)()(),(bxac为常数为常数2arccosarcsinxxxxxfarccosarcsin)(设设0)11(11)(22xxxfCxf)(0arccos0arcsin)0(f又又2022C即即2arccosarcsinxx例例2-36 2-36 证明证明证明证明: :例例2-37 2-37 证明对任意实数证明对任意实数 和和 , ,总有总有pqqpqparctanarctan证明证明: :xxfarctan)(设设由由拉拉格格朗朗日日中中值值定定理理上上连连续续且且可可导导在在.),()(xf)(arctanarctanqpfqpqpqp211)(之

8、之间间与与在在qp.00)()(lim,)()(,)()(0未定式未定式型型或或称为称为那末极限那末极限于零或都趋于无穷大于零或都趋于无穷大都趋都趋与与两个函数两个函数时时或或如果当如果当xgxfxgxfxxxxax例如例如xxxtanlim0bxaxxsinlnsinlnlim0)00()( 二、二、LHospital法则法则洛必达法则洛必达法则型未定式解法型未定式解法型及型及:001定理定理2-6 LHospital法则法则设函数设函数 与与 满足下列三个条件满足下列三个条件)(xf)(xg (1) 当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都趋于都趋于 或都趋于或都趋于 ;0 xx x)(x

9、f)(xg0 (2) 当当 (或或 )时时,函数函数 与与 都存在都存在,且且 ;0 xx x)(xf )(xg0)( xg(3) 存在或者无穷大存在或者无穷大)()(limxgxf则当则当 或或 时时,0 xx x)()(lim)()(limxgxfxgxf)00(.sinlim30 xxxx求求例例2-382-38解解:30sinlimxxxx203cos1limxxx616sinlim0 xxx例例2-392-39.1arctan2limxxx求求22111limxxx221limxxx1)00(解解:xxx1arctan2lim例例2-402-40.lnlim2xxx求求解解:021l

10、im21limlnlim22xxxxxxxx)( 例例2-412-41.sinlnsinlnlim0bxaxx求求)( 解解:axbxbbxaxaxsincossincoslim0axbbxaxsinsinlim0bxaxxsinlnsinlnlim01coscoslim0axabbxabx)0( 方法：方法：将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类将其它类型未定式化为洛必达法则可解决的类型型 .),00()( 方法方法:,10 .0100 或或型未定式解法型未定式解法00,1 ,0 ,02型型0（1）).0（lnlim求0 xxx例例2-422-42解解:xxxlnlim0 xxxlnlim

11、0101limxxx0lim0 xx)( xxxxxsinsinlim00cossincos1lim0 xxxxx0101 .0000 方法方法:型型（2）).1sin1(lim0 xxx求求例例2-432-43解解:)1sin1(lim0 xxx方法方法: ln01ln0ln01000取对数取对数.0 解解: :)0(0 xxxeln0limxxxelnlim02011limxxxe0e1xxxe1lnlim0型型00,1 ,0（3）.lim0 xxx求求例例2-442-44xxx0lim解解: :)1( xxxeln111limxxxe1lnlim111lim1xxe1 e解解: :)(0

12、 )ln(cotln1ln1)(cotxxxex取对数得取对数得)ln(cotln1lim0 xxxxxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim011e原式原式.lim111xxx求求例例2-452-45xxx111lim.)(cotlimln10 xxx求求例例2-462-46解解: :例例.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 极限不存在极限不存在洛必达法则失效洛必达法则失效)cos11 (limxxx原式原式1注意：注意：洛必达法则不是万能的洛必达法则不是万能的xyo)(xfy xyo)(xfy abAB0)( xf0)(

13、xfabBA三、函数的单调性与极值三、函数的单调性与极值1函数的单调性函数的单调性 定理定理2-7 设设 在区间在区间 内可导且内可导且 或或 ,则在区间则在区间 上上 是单调增加是单调增加(单调减少单调减少)的的.)(xf),(ba0)( xf0)( xf),(ba)(xf证证:),(,21baxx任取任取,21xx 且且应用拉氏定理应用拉氏定理, ,得得)()()()(211212xxxxfxfxf 012 xx, 0)(),( xfba内，内，若在若在0)(f则则).()(12xfxf.),()(上单调增加上单调增加在在baxfy , 0)(),( xfba内，内，若在若在0)(f则则)

14、.()(12xfxf.),()(上单调减少上单调减少在在baxfy .)2, 0(cos)1 (sin)( 的单调性的单调性内内在区间在区间讨论函数讨论函数f例例2-472-47解解: :0sin)1 (sin)1 (coscos)(f内内是是单单调调增增加加在在区区间间所所以以函函数数)2, 0()(f例例2-48 2-48 求函数求函数 的单调区间的单调区间.32)2(1)(xxf解解: :3231)(xxf.,2导数不存在导数不存在时时当当 x时，时，当当2x, 0)( xf上单调减少上单调减少在在), 2( 时，时，当当 x2, 0)( xf上单调增加上单调增加在在)2 ,(单调区间为

15、单调区间为，)2 ,()., 2( 例例2-49 2-49 证明当证明当 时时, ., .1x)1/(ln/ )1ln(xxxx解解: : 设设xxxfln)(1x0ln1)(xxf.), 1 ()(是单调增加是单调增加在在xf所以所以,当当 时时,1x)1 ()(xfxf即即)1ln()1 (lnxxxx)1/(ln/ )1ln(xxxx注意：注意：求单调区间的方法求单调区间的方法.,)()(0)(符号符号然后判断区间内导数的然后判断区间内导数的的定义区间的定义区间不存在的点来划分函数不存在的点来划分函数的根及的根及用方程用方程xfxfxf解解:.31292)(23的的单单调调区区间间确确定

16、定函函数数xxxxf),( :D12186)(2xxxf)2)(1(6xx得，得，解方程解方程0)( xf. 2, 121xx时，时，当当1x, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在) 1 ,(时，时，当当21 x, 0)( xf上单调减少；上单调减少；在在)2 , 1 (时时，当当 x2, 0)( xf上上单单调调增增加加；在在), 2(单调区间为单调区间为，) 1 ,(，)2 , 1 ()., 2( 例例2-502-50oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x2函数的极值函数的极值 函数的极大值与极小值统称为函数的极大值与极小值统称为极值极值,使函数取得极值

17、使函数取得极值的点称为的点称为极值点极值点. 定义定义2-3 设函数设函数 在在 处及其邻域内有定义处及其邻域内有定义, ,若在此邻域内总有若在此邻域内总有)(xf)()(0 xfxf)(0 xx 或或 则称则称 为为 的一个极大值的一个极大值或极小值或极小值.并称并称 为为 的极大值点的极大值点或极小值点或极小值点.)(xf)(0 xf0 x)(xf 定理定理2-8 设函数设函数 在点在点 处可导处可导, ,且在且在 处取处取得极值得极值, ,则则 . .0 x0 x0)(0 xf)(xfy 满足满足 的点的点, ,称为驻点称为驻点. .0)(xf)()(0 xfxf0 x 注意注意: 可导

18、函数的的极值点必定是驻点可导函数的的极值点必定是驻点,但函数的驻点但函数的驻点不一定是极值点不一定是极值点.例如例如3xy 00 xy.0不是极值点但 x如何来判断驻点是极值点呢如何来判断驻点是极值点呢? 定理定理2-9 (第一判别法第一判别法) 设函数设函数 在点在点 的某邻域的某邻域内可导内可导,且且 ;)(xfy 0)(0 xf (1) (1)若若 时，时， 时时, , 则则 在在 点取得极大值点取得极大值. .; 0)(xf0)(xf)(xf0 x0 xx 0 xx (2) (2)若若 时，时， 时时, , 则则 在在 点取得极小值点取得极小值. .; 0)(xf0)(xf)(xf0

19、x0 xx 0 xx 0 xxyo0 x xyo0 x (是极值点情形是极值点情形) (3) (3)若当若当 在在 两侧时两侧时, , 符号不变，则符号不变，则 在在 点不取极值点不取极值. .)(xf)(xf0 x0 xxxyo0 x xyo0 x (不是极值点情形不是极值点情形)注意注意: :函数的不可导点函数的不可导点,也可能是函数的极值点也可能是函数的极值点.求极值的步骤求极值的步骤: :);()1(xf 求导数求导数;)2(的的点点求求驻驻点点，和和导导数数不不存存在在;,)()3(判断极值点这些点左右的正负号检查xf .)4(求极值求极值如函数如函数 在在 不可导不可导,但但 取得

20、极小值取得极小值.xxf)(0 x0 xxy xyo解解:33323253) 1(2)(xxxxxxf列表讨论列表讨论x)0 ,(),52()52,0()(xf )(xf 00 极大值极大值极小值极小值325. 025453)52(3f极小值0)0(f极大值例例2-51 2-51 求求 的极值的极值. .32) 1()(xxxf0)( xf令521x得驻点.0;是导数不存在的点x052 定理定理2-10 (第二判别法第二判别法) 设函数设函数 在在 点有二阶点有二阶导数导数,且且 .)(xfy 0)(0 xf(1)若若 ,则则 是是 极大值极大值;0)(0 xf)(0 xf)(xf(2)若若

21、,则则 是是 极大值极大值;0)(0 xf)(0 xf)(xf(3)若若 ,无法判断无法判断 是否在是否在 处取得极值处取得极值.0)(0 xf)(xf0 x证明证明:)1(0000)()(lim)(xxxfxfxfx 0异号与故00)()(xxxfxf，当0 xx ; 0)()(0 xfxf所所以以,函函数数)(xf在在0 x处处取取得得极极大大值值 ，当0 xx 0)()(0 xfxf0 x，令0)( xf. 2, 421xx得驻点解解: :2463)(2xxxf)2)(4( 3xx66)( xxf018)4( f60)4(f故极大值018)2( f48)2(f故极小值例例2-52 2-5

22、2 求求 的极值的极值. .20243)(23xxxxf注意注意: :. 92,)(,0)( 00 仍用定理处不一定取极值在点时xxfxfoxyoxybaoxyabab.,)(,)( 值与最小值存在上的最大在上连续，则在若函数baxfbaxf四、函数的最大值与最小值四、函数的最大值与最小值求最大值与最小值步骤求最大值与最小值步骤: :(1)求驻点和不可导点求驻点和不可导点; (2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小比较大小,那个最大就是最大值那个最大就是最大值,那个最小就是最小值那个最小就是最小值; 注意注意: :如果区间内只有一个极值如果区间内只有

23、一个极值,则这个极值就是最则这个极值就是最值值.(最大值或最小值最大值或最小值)解解: :) 1)(2(6)(xxxf得解方程, 0)( xf1, 221xx计算得计算得23)3(f34)2(f7) 1 (f142)4(f例例2-52 2-52 求函数求函数 在在 的最值的最值. .4 , 314123223xxxy，最大值142)4(f比较得比较得:. 7) 1 (f最小值实际问题求最值应注意实际问题求最值应注意: :(1)建立目标函数建立目标函数; (2)求最值求最值值或最小所求的最大为点，则该点的函数值即若目标函数只有唯一驻)( 例例2-53 2-53 胚胎发育阶段胚胎发育阶段, ,主血

24、管分出支血管主血管分出支血管, ,以向距主以向距主血管距离为血管距离为 的组织的组织 供血供血. .如果支血管与主血管垂直如果支血管与主血管垂直, ,则则支血管长度支血管长度 为最小为最小. .显然显然, , 较小较小, ,则血液从分支点流到则血液从分支点流到 处所需平均血压就较小处所需平均血压就较小. .但是供血血压但是供血血压 不仅与支血管不仅与支血管长度长度 有关有关, ,还与支血管与主血管的夹角还与支血管与主血管的夹角 有关有关. .设设 正比正比于于 与与 之积之积, ,比例系数为比例系数为 . .试以所给条件为依据试以所给条件为依据, ,说明存在最佳角度说明存在最佳角度 , ,使使

25、 最小最小, ,从而有利于心血管系统从而有利于心血管系统. .lAaaAplpl)1 (kp解解: 由直角三角形边角关系由直角三角形边角关系,sin/al sin)1 ()1 (sin)1 ()(kaakklpp20令令0)(pp 00491858017. 1为极小值)(0p由于这是唯一的极值由于这是唯一的极值,所以也是最小值所以也是最小值.2sincos)1 (sin)(kapp0)( p 例例2-54 2-54 肌肉注射或皮下注射药物后肌肉注射或皮下注射药物后,血中的药物浓血中的药物浓度可表示为度可表示为解解)(2112tteeAC 令令 ,可得可得0C)(121212tteeAC 121

26、2lnln t1 )()(2122211222211221121tttteeAeeAC 其中其中 、 是大于零的常数是大于零的常数,且且,问时间问时间 为为 何值时何值时,药物浓度为最大药物浓度为最大,最大浓度是多少最大浓度是多少?A1 2 12 t121)()lnln(2121212 AC0)lnln(12121)ln(ln11212 eAC故故 时时, 取极大值取极大值1212lnln tC. 由于由于C在在 上只有一个极大值点上只有一个极大值点,且且 , ), 0 t0C1212lnln t121)(212maxAC121)(212A即当时间即当时间 时时,血药浓度为最大血药浓度为最大,

27、其最大浓度其最大浓度为为.所以所以 时时,C达到最大值达到最大值1212lnln t问题问题:如何研究曲线的弯曲方向如何研究曲线的弯曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的上方于所张弦的上方xyo)(xfy 1x2x图形上任意弧段位图形上任意弧段位于所张弦的下方于所张弦的下方ABC五、曲线的凹凸性与拐点五、曲线的凹凸性与拐点凹凹凸凸)2)()()2(2)()()2(21212121xfxfxxfxfxfxxf或定义定义2-4都有两点内任意如果对内连续在设,),(,)( 21xxbabaxf那么称那么称 在在 内的图形是内的图形是凹的凹的(或或凸的凸的)

28、.)(xf,baxyo)(xfy xyo)(xfy abAB递增递增)(xf abBA0 y递减递减)(xf 0 y观察有什么结论？.),()(, 0)()2(;),()(, 0)() 1 (内是凸的在则若内是凹的在则若baxfxfbaxfxf 定理定理2-112-11内若在二阶导数内具有在上连续在如果),(,),(,)( bababaxf例例2-542-54.3)(3的凹凸性判断曲线xxxf解解: :233)(xxfxxf6)( 时，当0 x, 0)( xf为凹的；为凹的；在在曲线曲线)0 ,(时，当0 x, 0)( xf.), 0(为为凸凸的的在在曲曲线线 .)0 , 0(点点是是曲曲线线

29、由由凸凸变变凹凹的的分分界界点点注意到注意到,;)(,(,)()3(000即为拐点点变号两近旁xfxxfx .)(,(,)(000不是拐点点不变号两近旁xfxxfx 求拐点的求拐点的步骤步骤:);()1 (xf 求连续曲线上凹凸的分界点称为连续曲线上凹凸的分界点称为曲线的曲线的拐点拐点. .)()(,(,)( 000的拐点是连续曲线也可能点不存在若xfyxfxxf 注意注意:0, 0)()2(xxf点点找找出出实实根根和和二二阶阶不不可可导导令令 0)( xf令;51x得x) 5/1,(), 0( )0 , 5/1()(xf )(xf 0凹的凹的凸的凸的凹的凹的拐点拐点非拐点非拐点解解:332

30、5)(xxxf例例2-55 2-55 讨论曲线讨论曲线 的凹凸性并求拐点的凹凸性并求拐点. .32) 1()(xxxf349) 15(2)(xxxf .)(,0不存在时当xfx 5/10不存在不存在)25156,51(3定义定义2-5:2-5:.)(,)( 的渐近线就称为曲线直线那么的距离趋向于零如果动点与某一直线远离原点时限上的一动点沿着曲线无当曲线xfyllxfy六、函数曲线的渐近线六、函数曲线的渐近线1.1.垂直渐近线垂直渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线垂垂直直于于 x)(lim)(lim00 xfxfxxxx或如果.)(0的的一一条条垂垂直直渐渐近近线线就就是是那那么么xfyxx,21

31、xy例如例如2 x有垂直渐近线有垂直渐近线: :2.2.水平渐近线水平渐近线)(轴轴的的渐渐近近线线平平行行于于 x)()(lim)(lim为常数或如果AAxfAxfxx例如例如xyarctan有水平渐近线两条有水平渐近线两条: :.2,2 yy.)(的一条水平渐近线就是那么xfyAy0yx223.3.斜渐近线斜渐近线.)(limbaxxfx .)(的的一一条条斜斜渐渐近近线线就就是是曲曲线线那那么么xfybaxy 如果如果 且且,)(limaxxfx 例例2-56 2-56 求求 渐近线渐近线. .xxxf2arctan)(解解:12arctanlimxxxax22arctanlim)(li

32、mxaxxfbxx有两条斜渐近线所以baxy2xy极值点；上下降，在什么地方有区间上上升，哪个区间哪个，可以确定函数图形在借助于一阶导数的符号 拐点；上为凸，在什么地方有区间上为凹，哪个区间哪个，可以确定函数图形在借助于二阶导数的符号 . 准确得比较态，并把函数的图形画也就可以掌握函数的性点后，、凹凸以及极值点和拐知道了函数图形的升降.数的导数描绘函数图形数的导数描绘函数图形因此，我们可以利用函因此，我们可以利用函七、函数作图七、函数作图利用函数特性描绘函数图形步骤利用函数特性描绘函数图形步骤第二步第二步判断函数周期性与奇偶性判断函数周期性与奇偶性; 求函数求函数 的定义域的定义域,以确定描绘

33、的范围以确定描绘的范围;第一步第一步)(xfy 第四步第四步 确定这些区间上确定这些区间上 、 的符号的符号,并由此并由此讨论曲线的升降和凹凸讨论曲线的升降和凹凸,以及极值点和拐点以及极值点和拐点;)(xf)(xf第三步第三步 求求 的一阶导数的一阶导数 和二阶导数和二阶导数 ,并并在定义域内在定义域内,求出使求出使 、 为零的点和不存在的点为零的点和不存在的点.把这些点由小到大排序把这些点由小到大排序,从而把定义域分成若干区间从而把定义域分成若干区间,然后然后列表；列表；)(xf)(xf)(xf)(xf)(xf第五步第五步 确定渐近线确定渐近线,并根据需要补充曲线与坐标轴并根据需要补充曲线与坐标轴的交点坐标的交点坐标.最后根据列表内容绘出函数曲线的图像最后根据列表内容绘出函数曲线的图像.例例2-57 2-57 描绘函数曲线描绘函数曲线 的图像的图像. .xxxf2arctan)( 解解: 函数的定义域为函数的定义域为 . 是奇函