高等数学课件：8-3全微分

1、2021-12-151第三节第三节 全微分全微分 (Total differential)一一 问题的提出问题的提出二二 全微分的定义全微分的定义三三 可微的条件可微的条件四四 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用五五 小结小结六六 思考判断题思考判断题2021-12-152一一 问题的提出问题的提出在许多实际问题中，我们需要研究函数形如在许多实际问题中，我们需要研究函数形如的全增量的全增量),(),( 0000yxfyyxxf 为为时时，圆圆柱柱体体体体积积的的改改变变与与各各自自获获得得增增量量当当底底半半径径和和高高，高高为为半半径径为为例例如如，设设一一圆圆柱柱体体的的底底

2、hrhr,hrhhrrV22)()( hrrhrhrhrrrh222)()(22 2021-12-153可可近近似似表表示示为为的的改改变变量量很很小小，时时，圆圆柱柱体体体体积积与与当当Vhr hrrrhV22 的高阶无穷小，所以的高阶无穷小，所以其余部分是其余部分是22)()(hr )()(2222hrohrrrhV 线性主部线性主部无穷小量无穷小量2021-12-154),(),(yxfyxxfZx ),(),(yxfyyxfZy 1、 函函数数对对x和和对对y的的偏偏增增量量 2 2 全微分的定义全微分的定义(Definition of total differential),(),(

3、yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),(2 二二元元函函数数对对x对对y的的偏偏微微分分 2021-12-155 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx的某邻域内的某邻域内有定义，并设有定义，并设),(yyxxP 为这邻域内的为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差任意一点，则称这两点的函数值之差 ),(),(yxfyyxxf 为函数在点为函数在点 P对应于自变量增量对应于自变量增量yx ,的全增的全增量，记为量，记为z ， 即即 z =),(),(yxfyyxxf 3 3 全增量的概念全增量的概念2021-12-156 如果函数),(y

4、xfz 在点),(yx的全增量),(),(yxfyyxxfz 可以表示为)( oyBxAz ，其中BA,不依赖于yx ,而仅与yx,有关，22)()(yx ，则称函数),(yxfz 在点),(yx可微分，yBxA 称为函数),(yxfz 在点),(yx的全微分，记为dz，即 dz=yBxA . 4 4 全微分的定义全微分的定义 函数若在某区域 D 内各点处处可微分， 则称这函数在 D 内可微分. 2021-12-157三三 可微的条件可微的条件 如果函数如果函数),(yxfz 在点在点),(yx可微分可微分, , 则函数在该点连续则函数在该点连续. . 事实上事实上),( oyBxAz , 0

5、lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf 故故函函数数),(yxfz 在在点点),(yx处处连连续续.定理定理1 12021-12-158 定定理理 2 2（必必要要条条件件） 如如果果函函数数 在在点点 可可微微分分，则则该该函函数数在在点点 的的偏偏导导数数必必存存在在，且且函函数数在在该该点点的的全全微微分分为为 ),(yx),(yx),(yxfz .dyyzdxxzdz 2021-12-159证证如如果果函函数数),(yxfz 在在点点),(yxP可可微微分分, ),(yyxxPP的的某某个个邻邻域域)( oyBxAz 总成立总成立,当当0 y

6、时，上式仍成立，时，上式仍成立，此时此时| x ,),(),(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(lim0,xz 同理可得同理可得.yzB 2021-12-1510一元函数在某点的导数存在一元函数在某点的导数存在 微分存在微分存在多元函数的各偏导数存在多元函数的各偏导数存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(处处0)0 , 0()0 , 0( yxff )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 2021-12-1511如如果果考考虑虑点点),(yxP 沿沿着着直直线

7、线xy 趋趋近近于于)0 , 0(，则则 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 说说明明它它不不能能随随着着0 而而趋趋于于 0,0 当当 时，时，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函数在点函数在点)0 , 0(处不可微处不可微.2021-12-1512说明说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全：多元函数的各偏导数存在并不能保证全 微分存在，微分存在，证证),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf ),(),(yxfyyxf 定定理理 3 3（充充分分条条件件） 如如果果函函数数 在在点点 可可导导，且且该该函函数数的的偏偏导导数数在在点

8、点 连连续续，且且函函数数在在该该点点是是可可微微的的。 ),(yx),(yx),(yxfz 2021-12-1513),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理xxyxfx 1),( （依偏导数的连续性）（依偏导数的连续性）且且当当0, 0 yx时时，01 .其中其中1 为为yx ,的函数的函数,2021-12-1514xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 故函数故函数),(yxfz 在点在点),(yx处可微处可微.同理同理),(),(yxfyyxf ,

9、),(2yyyxfy 当当0 y时，时，02 ,2021-12-1515记全微分为记全微分为.dyyzdxxzdz 全微分的定义可推广到三元及三元以上函数全微分的定义可推广到三元及三元以上函数.dzzudyyudxxudu 通常我们把二元函数的全微分等于它的两个通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理也适用于二元以上函数的情况叠加原理也适用于二元以上函数的情况2021-12-1516解解,2xyexzxy ,xyxeyz , 222)1 ,2( exz,2)1 ,2(eyz .)22(22)2, 1(dyedxe

10、dz 所求全微分所求全微分例例 1 1 计计算算函函数数 在在点点 处处的的全全微微分分.2xezxy ) 2 , 1 (2021-12-1517解解,2yxu ,2xyyu dzzudyyudxxudu 的全微分的全微分计算函数计算函数例例zxyusin 22 zzucos zdzxydydxycos22 2021-12-1518例例 3 3 计计算算函函数数yzeyxu 2sin的的全全微微分分.解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 2021-12-1519多元函数连续、可导、可微的关系多元函

11、数连续、可导、可微的关系函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续函数可导函数可导2021-12-1520例例 4 4 试证函数试证函数 )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在点点)0 , 0(连续且偏导数存在，但偏导数在点连续且偏导数存在，但偏导数在点)0 , 0(不连续，而不连续，而f在点在点)0 , 0(可微可微.思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分 )0 , 0(),( yx，)0 , 0(),( yx讨论讨论.2021-12-1521证证令令,cos x,sin y则则22)0,0()

12、,(1sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f 故函数在点故函数在点)0 , 0(连续连续, )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf2021-12-1522当当)0 , 0(),( yx时，时， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 当当点点),(yxP沿沿直直线线xy 趋趋于于)0 , 0(时时,),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.2021-12-1523所以所以

13、),(yxfx在在)0 , 0(不连续不连续.同理可证同理可证),(yxfy在在)0 , 0(不连续不连续.)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )()(22yxo 故故),(yxf在点在点)0 , 0(可微可微. 0)0,0( df2021-12-1524四四 全微分在近似计算中的应用全微分在近似计算中的应用都较小时，有近似等式都较小时，有近似等式连续，且连续，且个偏导数个偏导数的两的两在点在点当二元函数当二元函数yxyxfyxfyxPyxfzyx ,),(),(),(),(.),(),(yyxfxyxfdzzyx 也可写成也可写成.),(),(),(),(yyxfxyxfyxfyyxxfyx 2021-12-1525例例 5 5 计算计算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.解解.),(yxyxfz 设函数设函数.02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf08. 1)04. 1( 02. 2 dzff 1 )2 ,