高等数学课件：1-5 极限运算法则

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第五节第五节 极限运算法则极限运算法则 第一章第一章 （Techniques for Finding Limits）二、函数极限的四则运算法则二、函数极限的四则运算法则一、数列极限的四则运算一、数列极限的四则运算三、无穷小量的运算法则三、无穷小量的运算法则四、复合函数的极限运算法则四、复合函数的极限运算法则返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2一、数列极限的四则运算一、数列极限的四则运算,lim,limByAxnnnn则有则有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim)2(,00)3(时且当BynBAy

2、xnnnlimBABA定理定理1 若若注意：注意： 定理定理1中的（中的（1）、（）、（2）可推广到有限个收敛）可推广到有限个收敛数列的情形数列的情形. 例如，例如，lim, lim,limnnnnnnxAyBzC，如果则有则有limnnnnxyzlimlimlimnnnnnnxyzABClimnnnnx y zlimlimlimnnnnnnxyzA B C返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三3?321lim2222nnnnnn解解: 原式21(1)2limnn nn)11(21limnn例例111limlim(1)2nnn11(lim1lim)2nnn1(1 0)21

3、2返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三4二、函数极限的四则运算法则二、函数极限的四则运算法则定理定理2 若若（）（）lim ( )( ).f xg xAB（）（）（）（）lim ( ) ( ).f x g xAB（）（）lim( ),lim( )f xAg xBlim ( )( ).f xg xAB( )lim.0( )f xABg xB（）说明说明: 定理定理 2中的（中的（1）、（）、（2）可推广到有限个函数相）可推广到有限个函数相乘的情形乘的情形 .推论推论 1 )(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )推论推论 2 nnxfxf )(lim)(li

4、m( n 为正整数为正整数 )返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5三、无穷小量的运算法则三、无穷小量的运算法则定理定理3 有限个有限个无穷小的代数和仍是无穷小无穷小的代数和仍是无穷小 111limnnnn？说明说明: 无限个无限个无穷小之和无穷小之和不一定不一定是无穷小是无穷小 !共共n个个返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三6有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小定理定理4证证: 设设, ),(10 xxMu 又设又设,0lim0 xx即即,0,02当当),(20 xx时时, 有有M取取,min21则当则当),(0 xx

5、时时 , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是是0 xx 时的无穷小时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用利用定理定理4 可知可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线的渐近线 .例例2 求求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三832lim(35).xxx例例3 求求解解

6、: 32lim(35)xxx32limxx2lim3xx2lim5x32limxx23limxx5323 2 57例例4 2321lim35xxxx解解: 由例由例3得，得，32lim(35)70 xxx2321lim35xxxx2232lim(1)lim(35)xxxxx222limlim17xxx221757返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9对于有理整函数（多项式）对于有理整函数（多项式） 101( )nnnf xa xa xa我们指出，我们指出， 或有理分式函数或有理分式函数( )( ),( )P xF xQ x其中其中 ( ),( )P x Q x都是多项式

7、，都是多项式， 且且 0()0,Q x要求其当要求其当0 xx时的极限，时的极限， 只要把只要把 0 x代入函代入函中即可；中即可； 但但对于有理分式函数，对于有理分式函数， 如果代入如果代入 0 x后，后，分母等分母等 于零，于零， 则没有意义，则没有意义， 不能通过直接代入的方法求极限不能通过直接代入的方法求极限 事实上，事实上， 设多项式设多项式 101( ),nnnf xa xa xa则则0lim( )xxf x0101lim()nnnxxa xa xa00(lim )nxxax011(lim )nxxax0limnxxa10010nnna xa xa0()f x返回返回上页上页下页下

8、页目录目录2021年12月15日星期三10又设有理分式函数又设有理分式函数 ( )( ),( )P xF xQ x其中其中 ( ),( )P x Q x都是多项式，都是多项式， 于是，于是， 00lim( )(),xxP xP x00lim( )();xxQ xQ x如果如果 0()0,Q x则则 0lim( )xxF x)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP0()F x如果如果 0()0,Q x则则不能直接不能直接用商的运算法则用商的运算法则 ，那就需要那就需要特别考虑特别考虑 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11例例53113lim11

9、xxx解解: 当当1x 时，时， 括号内两式的分母均趋于括号内两式的分母均趋于0， 于是不能于是不能直接应用四则运算法则来计算。直接应用四则运算法则来计算。将函数变形得，将函数变形得，31311xx23311xxx 2(1)(2)(1)(1)xxxxx2(2)1xxx所以，所以，3113lim11xxx21(2)lim1xxxx1 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三123232357lim.642xxxxxx解解: x时时,分子分子.32573lim426xxxxx分子分母同除以分子分母同除以3,x则则36分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式例例6 求求12返回返回上页

10、上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13232548lim253xxxxx解解: x时时,分子分子.233548lim532xxxxxx分子分母同除以分子分母同除以3,x则则02分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式例例7 求求0返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14例例8322548lim253xxxxx解解: 由由例例7相同的方法得，相同的方法得，232253lim0548xxxxx而函数而函数 322548253xxxx 与函数与函数232253548xxxx互为倒数，互为倒数， 所以，所以，322548lim253xxxxx 返回返回上页上页下页下页目

11、录目录2021年12月15日星期三15为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 当mn 当一般有如下结果：一般有如下结果：返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16四、复合函数的极限运算法则四、复合函数的极限运算法则定理定理5 设设00lim( ),xxg xu且且 x 满足满足100 xx时时,0( ),g xu又又0lim( ),uuf uA则有则有0lim ( )xxf g x0lim( )uuf uA证（略）证（略） 说明说明: 若定理中若定理中0lim( ),xxg x 则类似可得

12、则类似可得0lim ( )xxf g xAufu)(lim返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim3(3)(i3)3l mxxxx例例9 求求31lim3xx16 原式原式 =16limuu6166返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三18解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则则, 1lim1ux令令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2例例10 求求返回返回上页上页下页

13、下页目录目录2021年12月15日星期三19内容小结内容小结1. 极限运算法则极限运算法则(1) 数列和函数极限的四则运算法则数列和函数极限的四则运算法则(2) 无穷小运算法则无穷小运算法则(3) 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法0) 1xx 时时, 用代入法用代入法 ( 分母不为分母不为 0 )0)2xx 时时, 对对00型型 , 约去公因子约去公因子x)3时时 , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂 “ 抓大头抓大头”(2) 复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变

14、量Th1Th2Th3Th4Th5返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三20思考与练习思考与练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 为什么为什么 ?答答: 不存在不存在 . 否则由否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知)(limxg存在存在 , 与已知条件与已知条件矛盾矛盾.问问返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三21. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021则原式 =22011limttt111lim20tt 0t2. 求求返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三22.0)1(lim33xaxx解解 : 令令,1xt 则则tatt33011lim001atatt3301lim