高等数学课件：8-1多元函数的基本概念

1、2021-12-151第八章第八章 多元函数微分法及其应用多元函数微分法及其应用 前面介绍了一元函数沿前面介绍了一元函数沿x轴方向的变化率与轴方向的变化率与函数的微小变化，即导数与微分。作为推广，函数的微小变化，即导数与微分。作为推广，下面介绍二元函数沿两个坐标轴方向的变化率下面介绍二元函数沿两个坐标轴方向的变化率以及沿任意方向的函数的微小变化，即偏导数以及沿任意方向的函数的微小变化，即偏导数和全微分。多元函数偏导数和全微分统称为多和全微分。多元函数偏导数和全微分统称为多元函数微分学元函数微分学。2021-12-152第一节第一节 多元函数基本概念多元函数基本概念一一 问题的提出问题的提出三三

2、 多元函数的概念多元函数的概念四四 多元函数的极限多元函数的极限五五 多元函数的连续性多元函数的连续性六六 小结与思考判断题小结与思考判断题二二 平面点集平面点集(Conception of functions of several variables)2021-12-153一一 问题的提出问题的提出观察几个例子观察几个例子 例例1 理想气体的体积理想气体的体积V与温度与温度T成正比，成正比，而与压强而与压强P成反比，它们之间的关系，由下成反比，它们之间的关系，由下面的公式给出面的公式给出PTRV （其中（其中R是比例常数）是比例常数） 例例2 三角形的面积三角形的面积A依赖于三角形的两依赖于

3、三角形的两条边条边b和和c,以及这两边的夹角以及这两边的夹角C，它们之间的，它们之间的关系，由下面的公式给出关系，由下面的公式给出CbcAsin21 这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。这两个例子的实质是依赖于多个变量的函数关系。2021-12-154 设设),(000yxP是是xoy平平面面上上的的一一个个点点， 是是某某一一正正数数，与与点点),(000yxP距距离离小小于于 的的点点),(yxP的的全全体体，称称为为点点0P的的 邻邻域域，记记为为),(0 PU， 1 邻域邻域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx二二 平面点集平面点集( (

4、Plane point set)Plane point set) 的去心邻域的去心邻域点点0P),(0 PU |00PPP2021-12-1552 区域区域(Domain).)(的的内内点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域一一个个点点如如果果存存在在点点是是平平面面上上的的是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设EPEPUPPE .EE 的内点属于的内点属于E1P （1）内点）内点.)( )2(的的外外点点为为则则称称，的的某某一一邻邻域域点点果果存存在在是是平平面面上上的的一一个个点点如如是是平平面面上上的的一一个个点点集集，设设外外点点EPEPUPPE 2P 2021-12-156的的

5、边边界界点点为为），则则称称可可以以不不属属于于，也也本本身身可可以以属属于于的的点点（点点也也有有不不属属于于的的点点，于于的的任任一一个个邻邻域域内内既既有有属属如如果果点点EPEEPEEPEP 的的边边界界的的边边界界点点的的全全体体称称为为EE（3）边界点）边界点;10EE的的内内点点必必属属于于注注：.30EEE也可能不属于也可能不属于的边界点可能属于的边界点可能属于;2 0EE的的外外点点必必定定不不属属于于2021-12-157（4）聚点）聚点 设设 E 是是平平面面上上的的一一个个点点集集，P 是是平平面面上上的的一一个个点点，如如果果点点 P 的的任任何何一一个个邻邻域域内内

6、总总有有无无限限多多个个点点属属于于点点集集 E，则则称称 P 为为 E 的的聚聚点点.内点一定是聚点；内点一定是聚点； 边界点可能是聚点；边界点可能是聚点；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是边界点也是聚点边界点也是聚点EEE也也可可能能不不属属于于的的聚聚点点可可能能属属于于点点集集2021-12-158EP .为开集为开集则称则称的点都是内点，的点都是内点，如果点集如果点集EE41),(22 yxyx例如，例如，即为开即为开集集（5）开集）开集(6）闭集）闭集为闭集。为闭集。为开集，则称为开集，则称的余集的余集如果点集如果点集EEEC例如，例如，为开集为开集41),(22

7、yxyx为闭集为闭集41),(22 yxyx非开非闭集非开非闭集41),(22 yxyx2021-12-159连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.94| ),(22 yxyx例如，例如，xyo开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.例如，例如，xyo.4| ),(22 yxyx2021-12-1510是是连连通通的的开开集集，则则称称且且该该折折线线上上的的点点都都属属于于连连结结起起来来，任任何何两两点点，都都可可用用折折线线内内是是开开集集如如果果对对于于设设DDDD （7）连通集）连通集连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.94

8、| ),(22 yxyx例如，例如，开开区区域域连连同同它它的的边边界界一一起起称称为为闭闭区区域域.例如，例如，.4| ),(22 yxyx2021-12-15110| ),( yxyx有界闭区域；有界闭区域；无界开区域无界开区域xyo例如，例如，无界点集无界点集为有界点集，否则称为为有界点集，否则称为则称则称即即，不超过不超过的距离的距离与与使任意的使任意的，如果存在正数如果存在正数的某一定点的某一定点对于点集对于点集EKAPKAPAEPKAE 4| ),(22 yxyx（8）有界点集、无界点集）有界点集、无界点集2021-12-15123 n维空间维空间(Space n) 设设n为为取取

9、定定的的一一个个自自然然数数，我我们们称称n元元数数组组),(21nxxx的的全全体体为为n维维空空间间，而而每每个个n元元数数组组),(21nxxx称称为为n维维空空间间中中的的一一个个点点，数数ix称称为为该该点点的的第第i个个坐坐标标.),(21nxxxP),(21nyyyQ.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ 设两点为设两点为 nRPPPPPU ,|),(00 比如：比如： 当当 时，便为数轴、平面、空间两时，便为数轴、平面、空间两点间的距离点间的距离3, 2, 1 n2021-12-1513三三 多元函数的概念多元函数的概念 设设D是是平平面面上上的的一一个个点点集集，

10、如如果果对对于于每每个个点点DyxP ),(，变变量量z按按照照一一定定的的法法则则总总有有确确定定的的值值和和它它对对应应，则则称称z是是变变量量yx,的的二二元元函函数数，记记为为),(yxfz 当当2 n时时，n元元函函数数统统称称为为多多元元函函数数.类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数,:在上的二元函数在上的二元函数为定义为定义或称映射或称映射DRDf)(DPPfz ),(21nxxxfu 2021-12-1514例例1 1 求求 的定义域的定义域)ln(),(yxyxf 解解所求定义域为所求定义域为.0| ),( yxyxD)arcsin(),(22yxyx

11、f 例例2 2 求求 的定义域。的定义域。解解所求定义域为所求定义域为.1| ),(22 yxyxD. 122 yx0 yx2021-12-1515 二元函数二元函数 的图形的图形),(yxfz 设设函函数数),(yxfz 的的定定义义域域为为D，对对于于任任意意取取定定的的DyxP ),(，对对应应的的函函数数值值为为),(yxfz ，这这样样，以以x为为横横坐坐标标、y为为纵纵坐坐标标、z为为竖竖坐坐标标在在空空间间就就确确定定一一点点),(zyxM，当当),(yx取取遍遍D上上一一切切点点时时，得得到到一一个个空空间间点点集集),(),(| ),(Dyxyxfzzyx ，这这个个点点集集

12、称称为为二二元元函函数数的的图图形形. 2021-12-1516说明：二元函数的图形通常是一张曲面说明：二元函数的图形通常是一张曲面.2021-12-1517xyzoxyzsin 例如例如2222azyx 例如例如2021-12-1518定定 义义1 1 设设 函函 数数),(yxfz 的的 定定 义义 域域 为为),(,000yxPD是是其其聚聚点点，如如果果对对于于任任意意给给定定的的正正数数 ，总总存存在在正正数数 ，使使得得对对于于适适合合不不等等式式 20200)()(|0yyxxPP的的 一一 切切点点，都都有有 |),(|Ayxf成成立立，则则称称 A A 为为函函数数),(yx

13、fz 当当0 xx ，0yy 时时的的极极限限， 记记为为 Ayxfyyxx ),(lim00 （或或)0(),( Ayxf这这里里|0PP ）. 四四 多元函数的极限多元函数的极限2021-12-1519注意：注意：（2）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP （3）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（1）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似（4）二重极限）二重极限 不同于二次极限不同于二次极限);,(lim00yxfyyxx),(limlim),(limlim0000yxfyxfyyx

14、xxxyy和和2021-12-1520例例3 3 求证求证 证证0lim22200 yxyxyx0222 yxyx222yxyx y , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx所以结论成所以结论成立立22yx 0222yxyx2021-12-1521例例4 4 求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx ,)sin(lim2222200yxyxyxyxyx 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22200 yxyxyxyxu2 多元函数的极

15、限可以应用一元函数求多元函数的极限可以应用一元函数求极极限限的的法法则则2021-12-1522例例4 4 证明证明 不存在不存在 证证2200limyxxyyx 取取,kxy 2220limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故极限不存在故极限不存在2200limyxxyyx 2021-12-1523（1） 令令),(yxP沿沿kxy 趋趋向向于于),(000yxP，若若极极限限值值与与k有有关关，则则可可断断言言极极限限不不存存在在；（2） 找两种不同趋近方式，使找两种不同趋近方式，使),(lim00yxfyyxx存在，存在，但两者不相等，此时也可断

16、言但两者不相等，此时也可断言),(yxf在点在点),(000yxP处极限不存在处极限不存在确定极限不存在的方法：确定极限不存在的方法：2021-12-1524 设设n元元函函数数),()(yxfPf 的的定定义义域域为为点点集集),(,000yxPD是是 其其 聚聚 点点 且且DP 0， 如如 果果)()(lim00PfPfPP , ,则则称称n元元函函数数)(Pf在在点点0P处处连连续续. . 五五 多元函数的连续性多元函数的连续性1 1 定义定义上上连连续续。在在就就称称函函数数的的每每一一点点都都连连续续，那那么么在在如如果果函函数数DyxfDyxf),(),(2021-12-1525例

17、例5 5 讨论函数讨论函数 ) 0 , 0 (),(, 0) 0 , 0 (),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxf在在(0,0)处的连续性处的连续性解解01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 当当 时，时， 22)0()0(0yx2021-12-1526故函数在故函数在(0,0)处连续处连续.),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 01sin)(lim222200 yxyxyx 01sin)(2222yxyx2021-12-1527 设设0P是是函函数数)(Pf的的定定义义域域的的聚聚点点，如如果果)(Pf在在点点0P

18、处处不不连连续续，则则称称0P是是函函数数)(Pf的的间间断断点点.2 间断点间断点函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：函数的间断点的判定（只要满足下列一条）：函数在此点无定义；函数在此点无定义；)1无极限；无极限；函数在此点有定义，但函数在此点有定义，但)2极极限限不不等等于于函函数数值值；极极限限，函函数数在在此此点点有有定定义义，有有)32021-12-1528例例6 6 讨论函数讨论函数 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)的连续性的连续性解解取取kxy 2200limyxxyyx 222203limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而

19、变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在故函数在故函数在(0,0)处不连续处不连续2021-12-15293 闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在D D上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域D D上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在D D上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在D D上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理2021-12-1530多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数多元初等函