高等数学课件：5-3 定积分的换元法和分部积分法

1、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1第三节第三节 定积分的换元法和分部积分法定积分的换元法和分部积分法 第五章第五章 二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 不定积分不定积分一、定积分的换元法一、定积分的换元法 换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法定积分定积分换元积分法换元积分法分部积分法分部积分法返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三2一、一、定积分的换元法定积分的换元法 定理定理1 设函数, ,)(baCxf单值函数)(tx满足:1), ,)(1Ct 2) 在,上,)(bta;)(,)(batfxxfbadd)()(t)(t证证:

2、所证等式两边被积函数都连续, 因此积分都存在 ,且它们的原函数也存在 .,)()(的一个原函数是设xfxF是的原函数 , 因此有则baxxfd)()()(aFbF)(F)(Ftfd)(t)(tF)(tf)(t)(t则返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三31) 当 , 即区间换为，时,定理 1 仍成立 .2) 必需注意换元必换限换元必换限 , 原函数中的变量不必代回 .3) 换元公式也可反过来使用 , 即) )(tx令xxfbad)(或配元f)(t)(dt配元不换限配元不换限tfd)(t)(ttfxxfbadd)()(t)(ttfd)(t)(t说明说明: :返回返回上页上

3、页下页下页目录目录2021年12月15日星期三4).0(d022axxaa解解: 令,sintax 则,dcosdttax ;0,0tx时当.,2tax时 原式 =2attad)2cos1 (2202)2sin21(22tta0242a20ttdcos222xayxoyaS且例例1 计算返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三5.d12240 xxx解解: 令, 12 xt则,dd,212ttxtx,0时当x,4时x.3t 原式 =ttttd231212ttd)3(21312)331(213tt 13322; 1t且 例例2 计算返回返回上页上页下页下页目录目录2021年1

4、2月15日星期三6例例3 计算350sinsin.xxdx解解:350sinsinxxdx320ossincxxdx2320ssincoxdxx322sin( cos )xxxd3202sinsinxxd322sinsinxxd20522sin5x2522sin5x.54 返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三7, ,)(aaCxf设证证:(1) 若, )()(xfxfaaaxxfxxf0d)(2d)(则xxfaad)(2) 若, )()(xfxf0d)(aaxxf则xxfad)(0 xxfad)(0ttfad)(0 xxfad)(0 xxfxfad )()(0,d)(2

5、0 xxfa时)()(xfxf时)()(xfxf,0偶倍奇零偶倍奇零tx令例例4返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三8奇函数奇函数偶函数偶函数返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三9( )da TTf xx0()daf tTt 0( )dattf 0( )daxxf 0( )d( )dTa Taf xxf xx返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三10返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三11思考思考填空填空:提示提示: 令令, txu_d)(sindd0100ttxxx则ttxxd)(sin0100ud

6、0 xu100sinx100sin返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三12二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 定理定理2 , ,)(, )(1baCxvxu设则)()(d)()(xvxuxxvxubaabbaxxvxud)()(证证:)()()()( )()(xvxuxvxuxvxu)()(xvxuabxxvxuxxvxubabad)()(d)()(baxxvxud)()()()(xvxuabbaxxvxud)()(上积分两端在,ba返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三13返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三14

7、返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三15返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三16返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三17返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三1820dcosttn20dcosxxn20dsinxxInn证证: 令20dcosxxn,22143231nnnn n 为偶数,3254231nnnn n 为奇数,2xt则20dsinxxn022d)(sinttn令,sin1xun,sin xv 则,cossin) 1(2xxnunxvcossincos1xxInn022022dcossin) 1(xxxnn0例例12 证明返回返回上页上页下页下页目录目录2021年12月15日星期三192022dcossin) 1(xxxnInn2022d)sin1 (sin) 1(xxxnn2) 1(nInnIn) 1( 由此得递推公式21nnnnII于是mI2mm21212mI122mm而0I20dx,220dsinxxInn201dsinxxI1故所证结论成立 .0I1I22mI2232mm42mI 214